Logique intuitionniste et s´emantique de Kripke

Logique

Logique intuitionniste et s´emantique de Kripke

Lucie Le Briquer

1 D´ eduction naturelle intuitionniste

Pr´ecedemment : on a montr´e la correction de la d´eduction naturelle, i.e. si un jugement est prouvable, il est valide.

Remarque.

D´eduction naturelle N K₀ diff`ere deN J<sub>0</sub>(intuitionniste) qui correspond `a N K₀−(Abs) + (⊥E) Γ` ⊥

Γ`ϕ(⊥E) Γ,¬ϕ` ⊥ Γ`ϕ (Abs)

Si Γ`ϕest prouvable dansN K<sub>0</sub> alors Γ`ϕest valide Th´eor`eme 1 (correction)

Si Γ`ϕest valide dansN K0alors Γ`ϕest prouvable Th´eor`eme 2 (compl´etude)

Soit Γ`ϕvalide tel que ∀var propAde Γ`ϕ,{A,¬A} ∩Γ6= ø Alors Γ¬ϕest prouvable dansN J0

Lemme 3

Preuve.

Par r´ecurrence sur (|Γ|,|ϕ|) o`u

|Γ|= nombre de formules dans Γ

|ϕ|= taille (= nombre de connecteurs logiques dansϕ)

• ϕ=T

• ϕ=⊥

– Cas 1 : ..

– Cas 2 : ∃ψ∈Γ−Lit(P) On pose Γ⁰= Γ− {ψ}

Γ⁰` ¬ψest valide alors par r´ecurrence il est prouvable Γ<sup>0</sup>` ¬ψ

Γ⁰, ψ` ¬ψ(Aff)

Γ⁰, ψ`ψ(Ax) Γ<sup>0</sup>, ψ` ⊥ (¬E)

• ϕ∈Lit(P)

• ϕ=¬T

• ϕ=¬⊥

• ϕ=ψ1∧ψ2: Γ`ψ1et Γ`ψ2 sont valides donc par r´ec prouvables + (∧I)

• ϕ=¬(ψ1∧ψ2) : Γ` ¬ψ1 ou Γ` ¬ψ2 est valide

supposons par sym´etrie Γ` ¬ψ1 est valide donc prouvable par r´ecurrence

Γ, ψ1∧ψ2`ψ1∧ψ2

(Ax) Γ, ψ1∧ψ2`ψ1

(∧E1) Γ` ¬ψ<sub>1</sub> Γ, ψ1∧ψ2` ¬ψ1

(Aff)

Γ, ψ1∧ψ2` ⊥ (¬E)

Γ` ¬(ψ1∧ψ2) (¬I)

• etc.

Γ`ϕ Γ,¬ϕ` ⊥(¬L) est d´erivable dansN J0

Lemme 4

Preuve.

Γ`ϕ Γ,¬ϕ`ϕ(Aff)

Γ,¬ϕ` ¬ϕ(Ax)

Γ,¬ϕ` ⊥ (¬E)

Remarque.

On note :

Γ,¬ϕ` ⊥ Γ`ϕ (Abs) Γ` ¬¬ϕ

Γ`ϕ (DN)

Γ`ϕ∨ ¬¬ϕ(TE)

N J₀+ (Abs), N J₀+ (DN), N J₀+ (TE) sont ´equivalents Lemme 5

Preuve.

(du th´eor`eme)

On suppose Γ`ϕvalide.

On montre par r´ecurrence surA(Γ`ϕ) =|{A|Aapparaˆıt dans Γ`ϕet {A,¬A} ∩Γ = ø}|

• siA(Γ`ϕ) = 0 : lemme pr´ec´edent

• sinon soit Atq{A,¬A} ∩Γ = ø

Γ, A`ϕet Γ,¬A`ϕsont valides, par rec sont prouvables

Γ`A∨ ¬A(TE)

Γ, A`ϕ(HR)

Γ,¬A`ϕ(HR)

Γ`ϕ (∨E)

2 Calcul des s´ equents

Un s´equent Γ`∆ o`u Γ,∆ sont des multi-ensembles de formules PourI⊆P : IΓ`∆ si ou bien∃ϕ∈T I 2ϕou bien∃ϕ∈∆Iϕ D´efinition des r`egles deLK0

Γ`∆ est valide ssi Γ`∆ est prouvable enLK0

Th´eor`eme 6 (correction et compl´etude)

Γ`∆ est prouvable dansLK<sub>0</sub>+cut ssi Γ`∆ est prouvable dansLK₀ O`u :

Γ`ϕ,∆ Γ, ϕ`∆

Γ`∆ (cut)

Th´eor`eme 7 (´elimination des coupures)

Preuve.

Supposons Γ`∆ est prouvable dansLK<sub>0</sub>+cut. Par correction de LK<sub>0</sub>+cut, Γ`∆ est valide.

Par compl´etude deLK₀, Γ`∆ est prouvable dansLK₀.

Si Π est une preuve de Γ ` ∆ dans LK<sub>0</sub> (sans cut) et si Γ<sup>0</sup> ` ∆⁰ apparait dans Π alors

∀ϕ⁰ ∈Γ⁰∪∆⁰, ∃ϕ∈Γ∪∆ telle queϕ⁰ est une sous-formule deϕ.

Th´eor`eme 8 (propri´et´e de la sous-formule)

Preuve.

DansLK0, on ne fait que ”casser” des formules. On fait apparaˆıtre une nouvelle ϕavec la r`egle Cut.

Remarque.

Ce th´eor`eme permet de montrer qu’on ne peut avoir de preuve de ⊥.

Γϕ`ϕ(Ax)

Γ, ϕ1, ϕ2`ψ

Γ, ϕ1∧ϕ2`ψ(∧L) Γ`ϕ1 Γ`ϕ2

Γ`ϕ1∧ϕ2

(∧R)

Γ, ϕ1, ϕ2`ψ

Γ, ϕ1∧ϕ2`ψ(∧L) Γ`ϕ1 Γ`ϕ2

Γ`ϕ1∧ϕ2

(∧R)

Γ, ϕ₁`ψ Γ, ϕ<sub>2</sub>`ψ

Γ, ϕ1∨ϕ2`ψ (∨L) Γ`ϕ_i Γ`ϕ1∨ϕ2

(∨Ri)

Γ`ϕ<sub>1</sub> Γ, ϕ<sub>2</sub>`ψ

Γ, ϕ1→ϕ2`ψ (⇒L) Γϕ<sub>1</sub>`ϕ₂ Γ`ϕ1→ϕ2

(⇒R)

Γ`ϕ

Γ,¬ϕ`ψ(¬L) Γ, ϕ` ⊥

Γ` ¬ϕ(¬R) Γ`ψ

Γ, ϕ`ψ(WL) Γ` ⊥

Γ`ϕ(WR) Γ, ϕ, ϕ`ψ

Γ, ϕ`ψ (CL) Γ`ϕ Γ, ϕ`ψ

Γ`ψ (cut) D´efinition 1(LJ0)

1. LJ0+cut=LJ0

2. LJ0 a la propri´et´e de la sous-formule Th´eor`eme 9

Exemples.

A`A(Ax) A`A∧B(∧R1)

¬(A∧B), A` ⊥(¬L)

¬(A∨B)` ¬A (¬R)

¬(A∨B)` ¬B

¬(A∨B)` ¬A∧ ¬B (∧R)

` ¬(A∨B)⇒(¬A∧ ¬B) (⇒R)

3 Mod` eles de Kripke

• W est un ensemble de mondes

• ≤K est un ordre (partiel) sur les mondes

• αK :W −→2^p,αK est croissante : siW ≤KW⁰, alorsαK(W)⊂αK(W⁰) S´emantique de Kripke.

w∈W, K, wϕest d´efini par r´ecurrence surϕ

• K, w⊥jamais

• K, w>toujours

• K, wAssiA∈αK(w)

• K, wϕ1∧ϕ2 siK, wϕ1 etK, wϕ2

• K, wϕ1∨ϕ2 siK, wϕ1 ouK, wϕ2

• K, wϕ₁⇒ϕ₂si∀w⁰≥KwsiK, w⁰ϕ₁ alorsK, w⁰ ϕ₂

• ... compl´eter

• K, wΓ si pour toutϕ∈Γ, K, wϕ

• K, w(Γ`ϕ) si (K, wΓ impliqueK, w`ϕ)

• Γ`ϕest valide si pour toutK, pour toutw∈K, K, w(Γ`ϕ)

si Γ`ϕest prouvable enLJ<sub>0</sub> alors Γ`ϕest valide.

Th´eor`eme 10(correction)

Preuve.

Par r´ecurrence sur la taille de la preuve de Γ`ϕ. Autrement dit pour toute r`egle, si les pr´emisses sont valides alors la conclusion est valide.

• (⇒R) supposons Γ, ϕ1`ϕ2est valide, montrons que Γ`ϕ1⇒ϕ2 est valide.

SoitK= (W,≤, α) un mod`ele de Kripke, soitw∈W. SupposonsK, wΓ, montrons queK, wϕ1⇒ϕ2

Soitw⁰≥w. Supposons K, w⁰ ϕ₁, montrons queK, wϕ₂

K, w⁰(Γ, ϕ₁`ϕ<sub>2</sub>) par hypoth`ese alorsK, w⁰Γ par lemme de monotonie doncK, w⁰ ϕ₂

Si w≤w⁰ etK, wϕalorsK, w⁰ ϕ Lemme 11(de monotonie)

Γ, ϕ`ϕ(Ax) Γ`ϕ₂ Γ, ϕ₂`ψ

Γ, ϕ2⇒ϕ2`ψ (⇒L) Γϕ<sub>1</sub>`ϕ₂ Γ`ϕ1⇒ϕ2

+ structurelles D´efinition 2(LJ₀^⇒)

si Γ`ϕest valide et Γ, ϕne comportent que⇒alors Γ`ϕest prouvable enLJ₀^⇒ Th´eor`eme 11(compl´etude deLJ₀^⇒)

Preuve.

SiS ⊂ F(P), on noteS^∗={ϕ| ∃Γ⊆S Γ`ϕprouvable en LJ₀^⇒}

• S⊆S^∗ par (Ax)

• (S^∗)^∗=S^∗en utilisant (cut, WL) On dit queS est satur´e siS=S^∗. On poseKU = (W,≤, α) o`u :

• W est l’ensemble des ensembles de familles satur´ees

• ≤=⊆

• α(S) =S∩P

C’est un mod`ele de Kripke (αest monotone)

KU, Sϕssiϕ∈S Lemme 12

Par r´ecurrence surϕ:

• siϕ∈P : KU, Sϕ ⇔ ϕ∈α(S) ⇔ ϕ∈S∩P ⇔ ϕ∈S

• siϕ=ϕ1⇒ϕ2

⇐: supposonsϕ₁⇒ϕ₂∈S montrons queK_U, Sϕ₁⇒ϕ₂ SoitS⁰⊇S, supposons K_U, S⁰ϕ₁ montrons queK_U, S⁰ϕ₂ Par hypoth`ese de r´ecurrenceϕ₁∈S⁰

Par monotonieϕ₁⇒ϕ₂∈S⁰ (S⊆S⁰)

ϕ₁`ϕ₁ (Ax)

ϕ₁, ϕ₂`ϕ₂(Ax)

ϕ₁, ϕ₁⇒ϕ₂`ϕ₂ (⇒L)

Retour `a la preuve du th´eor`eme : Soit Γ`ϕvalide. Γ⊆Γ^∗, Γ^∗ est satur´e.

Montrons queK_U,Γ^∗Γ. Soitϕ∈Γ⊆Γ^∗, par le lemmeK_U,Γ^∗ϕdoncK_U,Γ^∗ϕ.

Par le lemmeϕ∈Γ^∗. Par d´efinition,∃Γ1⊆Γ tel que Γ₁`ϕest prouvable.