LM270 UPMC 2010–2011 TE4a
Universit´ e Pierre et Marie Curie 2010–2011 LM270, TE4a Groupes 1,2,3 (19/5/2011)
Aucun document n’est autoris´e. L’utilisation de tout appareil ´electronique de calcul et des t´el´e- phones portables est interdite. Lorsqu’un calcul est demand´e, d´etaillez les ´etapes en indiquant les op´erations effectu´ees ; un r´esultat final correct mais non justifi´e par les ´etapes du calcul qui y m`enent, ne donnera qu’une partie des points. D’autre part, les correcteurs tiendront compte de la qualit´e de la r´edaction et de la pr´ecision des raisonnements. Ce devoir comporte5exercices et est not´e sur60
Exercice 1 (11 pts). SoitE l’espace affine euclidienR3, muni du rep`ere orthonorm´e canoniqueR0= (O, e1, e2, e3), o`uOd´esigne le point (0,0,0). Soitf la sym´etrie orthogonale gliss´ee par rapport au planP d’´equationx+2y+z= 2, de vecteur de glissementu=e1−e3.
1. (2 pts) D´eterminer la nature g´eom´etrique et les caract´eristiques de la partie lin´eaire−→ f def. 2. (1 pt) D´eterminer un pointI∈ P.
3. (2 pts) Sivest un vecteur non nul deR3et sisd´esigne la sym´etrie orthogonale par rapport au plan vectoriel (Rv)⊥, rappeler la formule exprimants(w) en fonction dewetv, pour toutw∈R3.
4. (6 pts) Soitgla sym´etrie orthogonale par rapport au planP. Pour tout pointM = (x, y, z) deE, exprimer le vecteur−−−−→
Ig(M) puis le vecteur−−−−→
If(M) en fonction de (x, y, z), puis donner les coordonn´ees (x0, y0, z0) du point M0=f(M).
Exercice 2 (12 pts). Soit R2 le plan affine euclidien, muni du rep`ere orthonorm´e canonique (O, e1, e2), o`u O d´esigne le point (0,0). Soiteun r´eel≥0 ; on consid`ere l’ensembleCe={(x, y)∈R2|y2+ (1−e)x2−2x= 0}.
1. (1,5 pts) Quelle est la nature deCelorsquee= 0 ?
2. (7,5 pts) D´esormais, on supposee >0. Donner la forme normale de l’´equation deCeet d´eterminer en fonction de e la nature de la conique Ce. Lorsque Ce est une ellipse, d´eterminer les coordonn´ees de son centre de sym´etrieIeet de ses deux foyersFeet Fe0.
3. (3 pts) Poure= 1
2,1,2, faire un dessin repr´esentantCe. Exercice 3 (10 pts). SoitA= 1
3
−7 4 −4
4 5 −2
−4 −2 5
∈M3(R).
1. (1,5 pts) Citer un th´eor`eme du cours assurant queAest diagonalisable.
2. (6,5 pts) D´eterminer les valeurs propres deA, puis une base orthonorm´ee deR3 form´ee de vecteurs propres deA.
3. (2 pts) En citant un th´eor`eme du cours, d´eterminer la signature de la forme quadratiqueq(x, y, z) =−7x2+ 8xy−8xz+ 5y2−4yz+ 5z2.
Exercice 4(18 pts). On munitE=R3du produit scalaire usuel (|), pour lequel la base canoniqueB0= (e1, e2, e3) est orthonorm´ee. Soit E∗= HomR(E,R) l’espace dual. Pour toutx∈E, soit φx∈E∗ l’applicationw7→(x|w).
1. (3 pts) Montrer que l’applicationθ:E→E∗,x7→φxest lin´eaire et bijective.
2. (2 pts) Pour tout u, v ∈ E, montrer qu’il existe un unique vecteur f(u, v) ∈ E tel que d´etB0(u, v, w) = (f(u, v)|w) pour toutw∈E.
3. (3 pts) Montrer que l’application E ×E → E, (u, v) 7→ f(u, v) est bilin´eaire, et qu’elle est altern´ee (i.e.f(u, u) = 0 pour toutu∈E).
4. (2 pts) ´Ecrivantu=
u1
u2
u3
,v=
v1
v2
v3
et prenantw=e1, puisw=e2etw=e3, d´eterminer les coordonn´ees (f1, f2, f3) dansB0 def(u, v).
5. (2 pts) Soient u, v, w ∈ E. Pour toute base orthonorm´ee directe B de E, montrer que d´etB(u, v, w) = d´etB0(u, v, w).
6. Soientu, v ∈E deux vecteurs unitaires orthogonaux et soitp∈E l’unique vecteur tel que B= (u, v, p) soit une base orthonorm´ee directe deE. En utilisant la question pr´ec´edente montrer que, pour tout w∈E, on a (f(u, v)|w) = (p|w). Que peut-on en conclure ?
7. (3 pts) SoitA=
u1 v1 t1
u2 v2 t2
u3 v3 t3
∈O(3). On suppose quet36= 0. D´eduire des questions 4 et 6 queu1v2−u2v1=
±t3, et que A∈SO(3) si et seulement siu1v2−u2v1=t3.
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Exercice 5 (9 pts). Soit φ la forme bilin´eaire sym´etrique sur R5 dont la matrice dans la base canonique est
A=
1 1 0 1 0
1 −1 −1 0 0
0 −1 1/2 0 0
1 0 0 3/4 1/2
0 0 0 1/2 0
. Soitqla forme quadratique associ´ee.
1. (1 pt) Exprimezq(x1, . . . , x5) en fonction des coordonn´ees (x1, . . . , x5) dans la baseB.
2. (6 pts) ´Ecrivezqcomme somme de carr´es de formes lin´eaires ind´ependantes.
3. (2 pts) D´eterminez la signature et le rang deq.
