Sujets Math En Jeans 2007-2008
Sujet no1 : un tour de magie
G´erard le magicien propose le tour suivant. Au d´ebut du tour, il sort de la salle. Son assistant demande alors au public de tirer n cartes au hasard parmi un jeu de 52 cartes.
L’assistant r´ecup`ere les n cartes, en pose n−1 face d´ecouverte sur la table et la derni`ere face cach´ee. Le magicien rentre, regarde les cartes et ´enonce parfaitement la valeur et la couleur de la carte cach´ee. G´erard pr´etend y arriver avecn = 5 cartes. Cela est-il possible, ou le magicien est-il t´el´epathe ? Peut-on y arriver avec n = 4 ? Et si c’est le public qui choisit la carte qui est cach´ee ? Combien de cartes faut-il avec les jeux syldaves de 100 cartes portant simplement les num´eros de 1 `a 100 ?
Sujet no2 : tirs au but
Le jeu du tir au but est un jeu qui se joue `a deux joueurs : un gardien qui peut choisir de plonger soit `a droite, soit `a gauche, et un tireur qui peut tirer soit `a droite, soit `a gauche.
Le tir est arrˆet´e si les deux joueurs choisissent le mˆeme cˆot´e sinon le penalty est marqu´e.
Le but du gardien est ´evidemment d’arrˆeter le plus de tirs, alors que le tireur veut en marquer le plus. Quelle est la meilleure strat´egie pour chacun des joueurs ? Que donne l’affrontement de diff´erentes strat´egies, laquelle gagne le plus souvent ?
En fait, le tireur ´etant droitier, il r´eussit moins bien ses tirs vers la droite. Il en rate mˆeme 1 sur 2. En tenant compte de ce lat´eralisme, quelles sont les strat´egies optimales pour les 2 joueurs ?
Un cerveau humain n’est pas capable de simuler correctement le hasard. Peut-on utiliser ce d´efaut pour programmer un ordinateur `a battre l’ˆetre humain ?
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Sujet no3 : d´emˆelage de marionnettes
Une marionnette est une tresse de trois brins dont les bouts sup´erieurs et inf´erieurs sont fix´es sur une tige rigide. Voici par exemple deux marionnettes :
Peut-on d´emˆeler les marionnettes pr´ec´edentes ? Peut-on trouver des crit`eres permettant de dire si oui ou non une marionnette est d´emˆelable ? Peut-on programmer un robot pour faire automatiquement le d´emˆelage ?
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