? Spé - St Joseph/ICAM Toulouse ?

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Math. - CC 2 - S2 - Analyse

vendredi 7 mai 2021 - Durée 1 h

Toutes les réponses seront justifiées. La notation tiendra compte du soin apporté à la rédaction.

EXERCICE 1

On considère la fonctionf :x7→

Z +∞

0

e^{−t(1−itx)}dt 1. Montrer quef est définie surR.

2. Montrer que pour toutp∈N, l’intégrale Z +∞

0

t^pe^−tdtconverge. On la noteIp.

3. Déterminer une relation entreI_p+1 et I_p, pour tout entier naturelp, et en déduire la valeur deI_p. 4. Montrer quef est indéfiniment dérivable surR, et déterminerf^(p)(x), pour toutp∈N, et toutx∈R. 5. En déduire le rayon de convergence de la sérieX

p≥0

f^(p)(0)

p! x^p. La fonctionf est-elle développable en série entière au voisinage de 0 ?

EXERCICE 2

Soient n et N deux entiers naturels non nuls. On lance successivement n boules au hasard dans N cases numérotées de 1 àN. On suppose que les différents lancers sont indépendants et que la probabilité qu’une boule tombe dans une case donnée est 1

N.

Une case peut contenir plusieurs boules. On noteTn le nombrede cases non videsà l’issue desnlancers.

1. Déterminer, en fonction denetN, les valeurs prises par la variableTn(on distinguera les casn≤N etn > N).

2. Donner la loi deT1 et deT2. Calculer leurs espérances.

3. On fixe désormaisn≥2. CalculerP(Tn= 1)et P(Tn =n)

4. A l’aide de la formule des probabilités totales, montrer que pour tout entierk≥1: P(Tn+1=k) = k

N P(Tn=k) +N−k+ 1

N P(Tn=k−1). (??) 5. On noteG_n la fonction génératrice de la variableT_n.

a. Rappeler la définition deGn. Montrer qu’iciGn est définie surR. b. Rappeler le lien entreGn etE(Tn).

c. En utilisant(??), montrer que, pour toutx∈R: Gn+1(x) = 1

N(x−x²)G⁰_n(x) +xGn(x) d. En déduire que E(Tn+1) =

1− 1

N

E(Tn) + 1, puis que :E(Tn) =N

1−

1− 1 N

ⁿ .

6. Pour1≤k≤N, on noteY_k le nombre de boules dans la caseketZ_k la variable valant 0 si la casekest vide, et 1 si elle contient au moins une boule.

a. Donner la loi de Yk, puis celle deZk.

b. Les variables aléatoires (Zk)_1≤k≤N sont-elles mutuellement indépendantes ?

c. Exprimer Tn en fonction des variables aléatoires(Zk)_1≤k≤N, et retrouver ainsi l’expression deE(Tn).

Fin de l’énoncé d’analyse

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