LYCÉE ALFRED KASTLER 1S 2017–2018 Devoir maison no07 – mathématiques
Donné le 21/11/2017 – à rendre le 28/11/2017 Exercice 1
1. En posantt =x2, on obtient x4 = (x2)2 =t2.
Alors (E) se ramène à l’équation 6t2+ 39t−21 = 0.
2. On calcule : ∆ =b2−4ac= 392−4×6×(−21) = 2025 = 452 >0.
Il y a donc deux solutions : t1 = −b−√
∆
2a = −39−45
2×6 = −84
12 =−7 ett2 = −b+√
∆
2a = −39 + 45 12 = 1
2 3. On a posé t=x2 et on a trouvé deux valeurs de t, −7et 1
2. On doit donc résoudre : x2 =−7 etx2 = 1
2.
La première équation n’a pas de solution (un carré ne peut pas être négatif).
La seconde a pour solutions r1
2 et− r1
2. On peut noter : r1
2 = 1
√2 =
√2
√2√ 2 =
√2 2 . L’ensemble de solutions de l’équation (E) est donc :
(
−
√2 2 ;
√2 2
)
Exercice 2 1. On a :
−→AE =−−→ AD+−−→
DE (Chasles)
=−−→
AD+ 2−−→
DC
=−−→
AD+ 2−→
AB car ABCD et un parallélogramme
= 2−→
AB+−−→ AD 2. De même :
−→AF =−→
AB+−−→
BF (Chasles)
=−→
AB+3 2
−−→ BC
=−→
AB+3 2
−−→
AD car ABCD est un parallélogramme 3. D’après les deux questions précédentes, on aE(2; 1) et F
1;3
2
. 4. Le vecteur−→
EF dirige la droite (EF). Or −→
EF(xF −xE;yF −yE) soit −→
EF
−1;1 2
. Donc l’équation de la droite (EF) est de la forme 1
2x+y+c= 0.
Or E(2; 1)appartient à (EF) donc 1
2×2 + 1 +c= 0 ⇔2 +c= 0⇔c=−2.
Ainsi, (EF) a pour équation 1
2x+y−2 = 0.
5. La droite(AB)correspond à l’axe des abcisses dans le repère, donc elle a pour équationy = 0.
6. Le pointM(x;y) appartient à (EF) et à (AB) donc ses coordonnées satisfont les deux équa- tions y= 0 et 1
2x+y−2 = 0.
Alors 1
2x−2 = 0, donc x= 2×2 = 4, et M a pour coordonnées (4; 0).
7. On a −−→
EM(xM −xE;yM −yE) donc −−→
EM(2;−1). Or −→
EF
−1;1 2
. On remarque alors que −−→
EM =−2−→
EF. On peut écrire aussi : −−→
EM = 2−→
F E.
Également, avec la relation de Chasles : −−→
F M =−→
F E+−−→
EM =−→
F E+ 2−→
F E = 3−→
F E.
