cours 15 2.3 FACTORISATION

(1)

cours 15

2.3 FACTORISATION

(2)

(3x² + 4x 5)(2x 7)

(3)

(3x² + 4x 5)(2x 7)

= 3x²(2x 7) + 4x(2x 7) 5(2x 7)

(4)

(3x² + 4x 5)(2x 7)

= 3x²(2x 7) + 4x(2x 7) 5(2x 7)

= 6x³ 21x² + 8x² 28x 10x + 28

(5)

(3x² + 4x 5)(2x 7)

= 3x²(2x 7) + 4x(2x 7) 5(2x 7)

= 6x³ 21x² + 8x² 28x 10x + 28

= 6x³ 13x² 38x + 28

(6)

(3x² + 4x 5)(2x 7)

= 3x²(2x 7) + 4x(2x 7) 5(2x 7)

= 6x³ 21x² + 8x² 28x 10x + 28

= 6x³ 13x² 38x + 28

Comment faire le chemin inverse?

(7)

(3x² + 4x 5)(2x 7)

= 6x³ 13x² 38x + 28

(8)

(3x² + 4x 5)(2x 7)

= 6x³ 13x² 38x + 28

(9)

Avec les nombres entiers, il s’avère souvent utile de les factoriser en nombre premier pour aider à simplifier une expression.

(10)

Avec les nombres entiers, il s’avère souvent utile de les factoriser en nombre premier pour aider à simplifier une expression.

Dans la même veine, factoriser un polynôme en facteur de degré plus petit aide grandement lors de simplification.

(11)

Mise en évidence simple

(12)

Mise en évidence simple

Pour faire une mise en évidence, on doit regarder si tous les termes du polynôme ont des facteurs en commun.

(13)

Mise en évidence simple

Exemple

(14)

Mise en évidence simple

Exemple

^4x³ ^{+ 8x}²

(15)

Mise en évidence simple

Exemple

^4x³ ^{+ 8x}² ^{= 4x}²^(x ^{+ 2)}

(16)

Mise en évidence simple

Exemple

4x³ + 8x² = 4x²(x + 2)

(17)

Mise en évidence simple

Exemple

7x⁴ + 21x³ 14x

Exemple

4x³ + 8x² = 4x²(x + 2)

(18)

Mise en évidence simple

Exemple

7x⁴ + 21x³ 14x = 7x(x³ + 3x² 2)

Exemple

4x³ + 8x² = 4x²(x + 2)

(19)

Faites les exercices suivants

p.63 ex 3.1

(20)

Mise en évidence double

(21)

Mise en évidence double

Dans certains cas particuliers, il arrive que lorsqu’on met des termes en évidence, des facteurs mis en commun soient les mêmes.

(22)

Mise en évidence double

Exemple

(23)

Mise en évidence double

Exemple

^3x³ ^{+ 2x}² ^18x ¹²

(24)

Mise en évidence double

Exemple

^3x³ ^{+ 2x}² ^18x ¹²

= x²(3x + 2) 6(3x + 2)

(25)

Mise en évidence double

Exemple

^3x³ ^{+ 2x}² ^18x ¹²

= x²(3x + 2) 6(3x + 2)

= (x² 6)(3x + 2)

(26)

Exemple

(27)

4x³ 6x² 2x + 3

Exemple

(28)

4x³ 6x² 2x + 3

= 4x³ 2x 6x² + 3

Exemple

(29)

4x³ 6x² 2x + 3

= 4x³ 2x 6x² + 3

= 2x(2x² 1) 3(2x² 1)

Exemple

(30)

4x³ 6x² 2x + 3

= 4x³ 2x 6x² + 3

= 2x(2x² 1) 3(2x² 1)

= (2x 3)(2x² 1)

Exemple

(31)

Faites les exercices suivants

p.64 ex. 3.2 et

p.65 Ex. 3.1

(32)

x² y²

Différence de carrés

(33)

x² y² x

x

Différence de carrés

(34)

x² y²

y y

x

Différence de carrés

(35)

x² y²

y y

x

Différence de carrés

(36)

x² y²

y y

x

x y

Différence de carrés

(37)

x² y²

y y

x

x y

Différence de carrés

(38)

x² y²

y y

x

x y

Différence de carrés

(39)

x² y²

y y

x

x y

Différence de carrés

(40)

x² y²

y y

x

x y

Différence de carrés

(41)

x² y²

y y

x

x y

x + y

Différence de carrés

(42)

x² y²

y y

x

x y

x + y

= (x + y)(x y)

Différence de carrés

(43)

Exemple

(44)

Exemple

_x² ₉

(45)

Exemple

_x² ₉ ₌ _x² ₃²

(46)

Exemple

_x² ₉ ₌ _x² ₃² _{= (x} _3)(x _{+ 3)}

(47)

Exemple

_x² ₉ ₌ _x² ₃² _{= (x} _3)(x _{+ 3)}

Exemple

(48)

Exemple

_x² ₉ ₌ _x² ₃² _{= (x} _3)(x _{+ 3)}

Exemple

_4x² ₃₆

(49)

Exemple

_x² ₉ ₌ _x² ₃² _{= (x} _3)(x _{+ 3)}

Exemple

_4x² ₃₆ _{= (2x)}² ₆²

(50)

Exemple

_x² ₉ ₌ _x² ₃² _{= (x} _3)(x _{+ 3)}

Exemple

_4x² ₃₆ _{= (2x)}² ₆² _{= (2x} _6)(2x _{+ 6)}

(51)

Exemple

_x² ₉ ₌ _x² ₃² _{= (x} _3)(x _{+ 3)}

Exemple

_4x² ₃₆ _{= (2x)}² ₆² _{= (2x} _6)(2x _{+ 6)}

Exemple

(52)

Exemple

_x² ₉ ₌ _x² ₃² _{= (x} _3)(x _{+ 3)}

Exemple

_4x² ₃₆ _{= (2x)}² ₆² _{= (2x} _6)(2x _{+ 6)}

Exemple

x² 3

(53)

Exemple

_x² ₉ ₌ _x² ₃² _{= (x} _3)(x _{+ 3)}

Exemple

_4x² ₃₆ _{= (2x)}² ₆² _{= (2x} _6)(2x _{+ 6)}

Exemple

x² 3 = x² (p

3)²

(54)

Exemple

_x² ₉ ₌ _x² ₃² _{= (x} _3)(x _{+ 3)}

Exemple

_4x² ₃₆ _{= (2x)}² ₆² _{= (2x} _6)(2x _{+ 6)}

Exemple

x² 3 = x² (p

3)² = (x p

3)(x + p 3)

(55)

Faites les exercices suivants

p. 67 Ex. 3.2

(56)

Produit-somme

(x + a)(x + b)

(57)

Produit-somme

(x + a)(x + b) = x(x + b) + a(x + b)

(58)

Produit-somme

(x + a)(x + b) = x(x + b) + a(x + b)

= x² + bx + ax + ab

(59)

Produit-somme

(x + a)(x + b) = x(x + b) + a(x + b)

= x² + bx + ax + ab

= x² + (b + a)x + ab

(60)

Produit-somme

(x + a)(x + b) = x(x + b) + a(x + b)

= x² + bx + ax + ab

= x² + (b + a)x + ab

Donc si on a un polynôme du deuxième degré dont le coefficient du terme en est 1, on cherche deux nombres dont la somme est le

coefficient de et le produit est le terme constant.

x²

x

(61)

Produit-somme

(x + a)(x + b) = x(x + b) + a(x + b)

= x² + bx + ax + ab

= x² + (b + a)x + ab

x²

x

(62)

Produit-somme

(x + a)(x + b) = x(x + b) + a(x + b)

= x² + bx + ax + ab

= x² + (b + a)x + ab

x²

x

(63)

Produit-somme

(x + a)(x + b) = x(x + b) + a(x + b)

= x² + bx + ax + ab

= x² + (b + a)x + ab

x²

x

(64)

Exemple

(65)

Exemple

_x² _{+ 7x} _{+ 12}

(66)

Exemple

_x² _{+ 7x} _{+ 12}

s = 7

(67)

Exemple

_x² _{+ 7x} _{+ 12}

s = 7 p = 12

(68)

Exemple

_x² _{+ 7x} _{+ 12}

s = 7

p = 12 = 1 ⇥ 12

(69)

Exemple

_x² _{+ 7x} _{+ 12}

s = 7

p = 12 = 1 ⇥ 12 = 2 ⇥ 6

(70)

Exemple

_x² _{+ 7x} _{+ 12}

s = 7

p = 12 = 1 ⇥ 12 = 2 ⇥ 6 = 3 ⇥ 4

(71)

Exemple

_x² _{+ 7x} _{+ 12}

s = 7

p = 12 = 1 ⇥ 12 = 2 ⇥ 6 = 3 ⇥ 4

= 3 + 4

(72)

Exemple

_x² _{+ 7x} _{+ 12} _{= (x} _{+ 4)(x} _{+ 3)}

s = 7

p = 12 = 1 ⇥ 12 = 2 ⇥ 6 = 3 ⇥ 4

= 3 + 4

(73)

Exemple

_x² _{+ 7x} _{+ 12} _{= (x} _{+ 4)(x} _{+ 3)}

s = 7

p = 12 = 1 ⇥ 12 = 2 ⇥ 6 = 3 ⇥ 4

= 3 + 4

Exemple

(74)

Exemple

_x² _{+ 7x} _{+ 12} _{= (x} _{+ 4)(x} _{+ 3)}

s = 7

p = 12 = 1 ⇥ 12 = 2 ⇥ 6 = 3 ⇥ 4

= 3 + 4

Exemple

_x² _{+ 2x} ₃₅

(75)

Exemple

_x² _{+ 7x} _{+ 12} _{= (x} _{+ 4)(x} _{+ 3)}

s = 7

p = 12 = 1 ⇥ 12 = 2 ⇥ 6 = 3 ⇥ 4

= 3 + 4

Exemple

_x² _{+ 2x} ₃₅

s = 2

(76)

Exemple

_x² _{+ 7x} _{+ 12} _{= (x} _{+ 4)(x} _{+ 3)}

s = 7

p = 12 = 1 ⇥ 12 = 2 ⇥ 6 = 3 ⇥ 4

= 3 + 4

Exemple

_x² _{+ 2x} ₃₅

s = 2

p = 35

(77)

Exemple

_x² _{+ 7x} _{+ 12} _{= (x} _{+ 4)(x} _{+ 3)}

s = 7

p = 12 = 1 ⇥ 12 = 2 ⇥ 6 = 3 ⇥ 4

= 3 + 4

Exemple

_x² _{+ 2x} ₃₅

s = 2

p = 35 = 5 ⇥ ( 7)

(78)

Exemple

_x² _{+ 7x} _{+ 12} _{= (x} _{+ 4)(x} _{+ 3)}

s = 7

p = 12 = 1 ⇥ 12 = 2 ⇥ 6 = 3 ⇥ 4

= 3 + 4

Exemple

_x² _{+ 2x} ₃₅

s = 2

p = 35 = 5 ⇥ ( 7) = ( 5) ⇥ 7

(79)

Exemple

_x² _{+ 7x} _{+ 12} _{= (x} _{+ 4)(x} _{+ 3)}

s = 7

p = 12 = 1 ⇥ 12 = 2 ⇥ 6 = 3 ⇥ 4

= 3 + 4

Exemple

_x² _{+ 2x} ₃₅

s = 2

p = 35 = 5 ⇥ ( 7) = ( 5) ⇥ 7

= 5 + 7

(80)

Exemple

_x² _{+ 7x} _{+ 12} _{= (x} _{+ 4)(x} _{+ 3)}

s = 7

p = 12 = 1 ⇥ 12 = 2 ⇥ 6 = 3 ⇥ 4

= 3 + 4

Exemple

_x² _{+ 2x} ₃₅ _{= (x} _5)(x _{+ 7)}

s = 2

p = 35 = 5 ⇥ ( 7) = ( 5) ⇥ 7

= 5 + 7

(81)

Lorsque nous aurons la formule quadratique, nous aurons une autre méthode de factorisation.

(82)

Faites les exercices suivants

p.75 Ex. 3.5

(83)

x x³ y³

Différence de cubes

(84)

x x³ y³

Différence de cubes

(85)

x

y x³ y³

Différence de cubes

(86)

x

y x³ y³

Différence de cubes

(87)

x

x x³ y³

y

(88)

x

x y

x x³ y³

y

(89)

x

y

x y

x x³ y³

y

(90)

x

y

x y

x³ y³

y

(91)

x

y

x y

x y x³ y³

y

(92)

x

y

x y

x y x y

x³ y³

y

(93)

x

y

x y

x x²(x y)

y

x y x y

x³ y³

y

(94)

x

y

x y

x x²(x y)

y

x y y²(x y)

x y x³ y³

y

(95)

x

y

x y

x x²(x y)

y

x y y²(x y)

x y

y(x y)²

x³ y³

y

(96)

x

y

x y

x x²(x y)

y

x y y²(x y)

x y

y²(x y) y(x y)²

x³ y³

y

(97)

x²(x y)

y²(x y) y²(x y) y(x y)²

x³ y³

(98)

x²(x y)

y²(x y) y²(x y) y(x y)²

x³ y³ = x²(x y) + 2y²(x y) + y(x y)²

(99)

x²(x y)

y²(x y) y²(x y) y(x y)²

x³ y³ = x²(x y) + 2y²(x y) + y(x y)²

= (x² + 2y² + y(x y))(x y)

(100)

x²(x y)

y²(x y) y²(x y) y(x y)²

x³ y³ = x²(x y) + 2y²(x y) + y(x y)²

= (x² + 2y² + y(x y))(x y)

= (x² + 2y² + xy y²)(x y)

(101)

x²(x y)

y²(x y) y²(x y) y(x y)²

x³ y³ = x²(x y) + 2y²(x y) + y(x y)²

= (x² + 2y² + y(x y))(x y)

= (x² + 2y² + xy y²)(x y)

= (x² + xy + y²)(x y)

(102)

x³ y³ = (x² + xy + y²)(x y)

(103)

x³ y³ = (x² + xy + y²)(x y)

(x² + xy + y²)(x y)

(104)

x³ y³ = (x² + xy + y²)(x y)

(x² + xy + y²)(x y)

= (x² + xy + y²)x (x² + xy + y²)y

(105)

x³ y³ = (x² + xy + y²)(x y)

(x² + xy + y²)(x y)

= (x² + xy + y²)x (x² + xy + y²)y

= x³ + x²y + xy² (x²y + xy² + y³)

(106)

x³ y³ = (x² + xy + y²)(x y)

(x² + xy + y²)(x y)

= (x² + xy + y²)x (x² + xy + y²)y

= x³ + x²y + xy² (x²y + xy² + y³)

= x³ + x²y + xy² x²y xy² y³

(107)

x³ y³ = (x² + xy + y²)(x y)

(x² + xy + y²)(x y)

= (x² + xy + y²)x (x² + xy + y²)y

= x³ + x²y + xy² (x²y + xy² + y³)

= x³ + x²y + xy² x²y xy² y³

(108)

x³ y³ = (x² + xy + y²)(x y)

(x² + xy + y²)(x y)

= (x² + xy + y²)x (x² + xy + y²)y

= x³ + x²y + xy² (x²y + xy² + y³)

= x³ + x²y + xy² x²y xy² y³

(109)

x³ y³

= x³ y³

= (x² + xy + y²)(x y)

(x² + xy + y²)(x y)

= (x² + xy + y²)x (x² + xy + y²)y

= x³ + x²y + xy² (x²y + xy² + y³)

= x³ + x²y + xy² x²y xy² y³

(110)

Exemple

_x³ ₈

(111)

Exemple

_x³ ₈ ₌ _x³ ₂³

(112)

Exemple

_x³ ₈ ₌ _x³ ₂³ _{= (x}² _{+ 2x} _{+ 4)(x} ₂₎

(113)

Exemple

_x³ ₈ ₌ _x³ ₂³ _{= (x}² _{+ 2x} _{+ 4)(x} ₂₎

Exemple

(114)

Exemple

_x³ ₈ ₌ _x³ ₂³ _{= (x}² _{+ 2x} _{+ 4)(x} ₂₎

Exemple

₂₇ _x³

(115)

Exemple

_x³ ₈ ₌ _x³ ₂³ _{= (x}² _{+ 2x} _{+ 4)(x} ₂₎

Exemple

₂₇ _x³ _{= 3}³ _x³

(116)

Exemple

_x³ ₈ ₌ _x³ ₂³ _{= (x}² _{+ 2x} _{+ 4)(x} ₂₎

Exemple

₂₇ _x³ _{= 3}³ _x³ _{= (9 + 3x} ₊ _x²₎₍₃ _x)

(117)

x

Somme de cubes

x³ + y³

(118)

x

Somme de cubes

x³ + y³

(119)

x

y

Somme de cubes

x³ + y³

(120)

x

y

Somme de cubes

x³ + y³

(121)

x

y

Somme de cubes

x³ + y³ (x + y)³

(122)

x

y

Somme de cube

x³ + y³ (x + y)³

(123)

x

y

x³ + y³ (x + y)³

x + y x x

(124)

x

y

x³ + y³ (x + y)³

x + y x x

xy(x + y)

(125)

x

y

x³ + y³ (x + y)³

x + y x x

xy(x + y) xy²

(126)

x

y

x³ + y³ (x + y)³

x + y x x

xy(x + y) xy²

x²y

(127)

x

y

x³ + y³ (x + y)³

x + y x x

xy(x + y) xy²

x²y xy²

(128)

x

y

x³ + y³ (x + y)³

x + y x x

xy(x + y) xy²

x²y xy²

(129)

x

y

x³ + y³ (x + y)³

x + y x x

xy(x + y) xy²

x²y xy²

x²y

(130)

x³ + y³ (x + y)³

xy(x + y) xy²

x²y xy²

x²y

(x + y)³ xy(x + y) xy² x²y xy² x²y

(131)

x³ + y³ (x + y)³

xy(x + y) xy²

x²y xy²

x²y

(132)

x³ + y³ (x + y)³

xy(x + y) xy²

x²y xy²

x²y

(133)

x³ + y³ (x + y)³

xy(x + y) xy²

x²y xy²

x²y

(134)

x³ + y³ (x + y)³

xy(x + y) xy²

x²y xy²

x²y

(135)

x³ + y³ (x + y)³

xy(x + y) xy²

x²y xy²

x²y

(136)

x³ + y³ (x + y)³

xy(x + y) xy²

x²y xy²

x²y

= (x + y)³ xy(x + y) 2x²y 2xy²

(137)

x³ + y³ (x + y)³

xy(x + y) xy²

x²y xy²

x²y

= (x + y)³ xy(x + y) 2x²y 2xy²

= (x + y)³ xy(x + y) 2xy(x + y)

(138)

x³ + y³ (x + y)³

xy(x + y) xy²

x²y xy²

x²y

= (x + y)³ xy(x + y) 2x²y 2xy²

= (x + y)³ xy(x + y) 2xy(x + y)

= ((x + y)² xy 2xy)(x + y)

(139)

x³ + y³ (x + y)³

xy(x + y) xy²

x²y xy²

x²y

= (x + y)³ xy(x + y) 2x²y 2xy²

= (x + y)³ xy(x + y) 2xy(x + y)

= ((x + y)² xy 2xy)(x + y)

(140)

x³ + y³ (x + y)³

xy(x + y) xy²

x²y xy²

x²y

= (x + y)³ xy(x + y) 2x²y 2xy²

= (x + y)³ xy(x + y) 2xy(x + y)

= ((x + y)² xy 2xy)(x + y)

= (x² + 2xy + y² xy 2xy)(x + y)

(141)

x³ + y³ (x + y)³

xy(x + y) xy²

x²y xy²

x²y

= (x + y)³ xy(x + y) 2x²y 2xy²

= (x + y)³ xy(x + y) 2xy(x + y)

= ((x + y)² xy 2xy)(x + y)

= (x² + 2xy + y² xy 2xy)(x + y)

(142)

x³ + y³ (x + y)³

xy(x + y) xy²

x²y xy²

x²y

= (x + y)³ xy(x + y) 2x²y 2xy²

= (x + y)³ xy(x + y) 2xy(x + y)

= ((x + y)² xy 2xy)(x + y)

= (x² + 2xy + y² xy 2xy)(x + y)

= (x² xy + y²)(x + y)

(143)

x³ + y³ = (x² xy + y²)(x + y)

(144)

x³ + y³ = (x² xy + y²)(x + y)

(x² xy + y²)(x + y)

(145)

x³ + y³ = (x² xy + y²)(x + y)

(x² xy + y²)(x + y)

= (x² xy + y²)x + (x² xy + y²)y

(146)

x³ + y³ = (x² xy + y²)(x + y)

(x² xy + y²)(x + y)

= (x² xy + y²)x + (x² xy + y²)y

= x³ x²y + xy² + x²y xy² + y³

(147)

x³ + y³ = (x² xy + y²)(x + y)

(x² xy + y²)(x + y)

= (x² xy + y²)x + (x² xy + y²)y

= x³ x²y + xy² + x²y xy² + y³

= x³ + y³

(148)

Exemple

(149)

Exemple

_27x³ _{+ 8}

(150)

Exemple

_27x³ _{+ 8} = (3x)³ + 2³

(151)

Exemple

_27x³ _{+ 8} = (3x)³ + 2³

= ((3x)² 2 ⇥ 3x + 2²)(3x + 2)

(152)

Exemple

_27x³ _{+ 8} = (3x)³ + 2³

= ((3x)² 2 ⇥ 3x + 2²)(3x + 2)

= (9x² 6x + 4)(3x + 2)

(153)

Exemple

_27x³ _{+ 8} = (3x)³ + 2³

= ((3x)² 2 ⇥ 3x + 2²)(3x + 2)

= (9x² 6x + 4)(3x + 2)

Exemple

(154)

Exemple

_27x³ _{+ 8} = (3x)³ + 2³

= ((3x)² 2 ⇥ 3x + 2²)(3x + 2)

= (9x² 6x + 4)(3x + 2)

Exemple

_x⁹ _{+ 125x}³

(155)

Exemple

_27x³ _{+ 8} = (3x)³ + 2³

= ((3x)² 2 ⇥ 3x + 2²)(3x + 2)

= (9x² 6x + 4)(3x + 2)

Exemple

_x⁹ _{+ 125x}³ _{= (x}³₎³ _{+ (5x)}³

(156)

Exemple

_27x³ _{+ 8} = (3x)³ + 2³

= ((3x)² 2 ⇥ 3x + 2²)(3x + 2)

= (9x² 6x + 4)(3x + 2)

Exemple

_x⁹ _{+ 125x}³ _{= (x}³₎³ _{+ (5x)}³

= ((x³)² x³ ⇥ 5x + (5x)²)(x³ + 5x)

(157)

Exemple

_27x³ _{+ 8} = (3x)³ + 2³

= ((3x)² 2 ⇥ 3x + 2²)(3x + 2)

= (9x² 6x + 4)(3x + 2)

Exemple

_x⁹ _{+ 125x}³ _{= (x}³₎³ _{+ (5x)}³

= ((x³)² x³ ⇥ 5x + (5x)²)(x³ + 5x)

= (x⁶ 5x⁴ + 25x²)(x³ + 5x)

(158)

Exemple

_27x³ _{+ 8} = (3x)³ + 2³

= ((3x)² 2 ⇥ 3x + 2²)(3x + 2)

= (9x² 6x + 4)(3x + 2)

Exemple

_x⁹ _{+ 125x}³ _{= (x}³₎³ _{+ (5x)}³

= ((x³)² x³ ⇥ 5x + (5x)²)(x³ + 5x)

= (x⁶ 5x⁴ + 25x²)(x³ + 5x)

= x²(x⁴ 5x² + 25)(x³ + 5x)

(159)

Exemple

_27x³ _{+ 8} = (3x)³ + 2³

= ((3x)² 2 ⇥ 3x + 2²)(3x + 2)

= (9x² 6x + 4)(3x + 2)

Exemple

_x⁹ _{+ 125x}³ _{= (x}³₎³ _{+ (5x)}³

= ((x³)² x³ ⇥ 5x + (5x)²)(x³ + 5x)

= (x⁶ 5x⁴ + 25x²)(x³ + 5x)

= x²(x⁴ 5x² + 25)(x³ + 5x)

= x³(x⁴ 5x² + 25)(x² + 5)

(160)

Faites les exercices suivants

p. 80 Ex. 3.7

(161)

Devoir:

p.90 # 1, 2, 5, 7, 8 et 9