CH V Notion de fonction numérique.

(1)

Page 1 sur 12

CH V Notion de fonction numérique.

I) Programme de calculs

Tom est un petit producteur de pommes amateur dans les Hauts de France. Il vient d’en cueillir 60 kg et décide de les vendre au marché voisin. Il estime qu’il peut vendre ses pommes 1,70 € le kg. Afin de gagner du temps, il souhaite réaliser un graphique où il pourra lire directement le prix de ses pommes. Pour réaliser son graphique, il se pose un certain nombre de questions. Vous l’aiderez à répondre aux questions en écrivant les opérations effectuées.

Combien vais-je gagné si je vends 1 kg de pommes ? ………

Ne sachant pas s’il va vendre 1, 2, 3… kg de pommes. Il souhaite mettre en place un programme de calculs.

Combien vais-je gagné si je vends x kg de pommes ? ………

Le prix est donc fonction du nombre de kg de pommes vendus. Si x est le nombre de kg vendus, on pourra dire qu’il va gagner ……… €. Puisque le prix est fonction du nombre x de kg de pommes, on pourra écrire : f(x) = ……….

Vous venez de définir une fonction mathématique qui a toute valeur de x fait correspondre une valeur f(x) grâce à un programme de calculs.

x f(x)

Tom pourra grâce à son programme de calculs estimé tous les prix s’il vend entre 0 et 60 kg de pommes. L’intervalle entre 0 et 60 lui donnera toutes les possibilités de calculs. Il lui sera inutile de faire des calculs au-delà de 60 kg puisqu’il ne pourra pas en vendre plus.

II) Définition d’une fonction :



Toute fonction est définie sur un ………. Cet ……… est appelé ………

……… ou ………. Un domaine de définition peut être un ensemble de nombre, par exemple l’ensemble de tous les nombres que l’on appelle .

Programme de calculs

(2)

Page 2 sur 12



Une fonction symbolisée par une lettre (souvent f comme fonction) est ………

………… qui permet de faire correspondre à un nombre … un autre nombre unique appelé ………….



On appelle ……… de x par la fonction f, le nombre ……….



On appelle ……… de f(x) par la fonction f le nombre de départ ………….

III) Tableau de valeurs :

Avant de créer son graphique, Tom va pouvoir faire un certain nombre de calculs, par exemple il souhaite calculer les prix par tranches de 5 kg. Il recueille toutes les valeurs dans un

tableau.

x 0

f(x)



Un ……… est un tableau présentant les images …………

pour un certain nombre de valeurs de …………. La distance qui sépare régulièrement deux valeurs de x dans un tableau est appelé ……….

Le pas dans le tableau précédent est ………….

IV) Représentation graphique d’une fonction :



On appelle ……… d’une fonction f, la courbe formée par l’ensemble des points ( x ; f(x) ).



Dans un graphique on utilisera plutôt (x ; y ) pour représenter un point, ce qui signifie que y = f(x). On appelle ……… de la courbe représentative de f l’égalité ……….

1) Repère du plan :



Un repère dans un plan est formé de deux axes qui par commodité sont souvent

perpendiculaires. On distingue le repère ……… et le repère ………. L’axe horizontal de ces repères est appelé axe ……… (a comme allongé). L’axe vertical est appelé axe ……… (o comme haut). On reporte la variable x sur ………

et son image y sur ………. De ce fait l’axe des abscisses est aussi appelé

……… et l’axe des ordonnées est appelé ……….

Repère Orthonormé Repère orthogonal

x f(x)

antécédent image

x y

−2 −1 0 1 2

−1 1

x y

−4 −2 0 2 4

−1 1

(3)

Page 3 sur 12

Qu’est-ce qui différentie un repère orthonormé, d’un repère orthogonal ? Cocher les affirmations correctes.

 Dans un repère orthonormé, 1 cm en abscisse n’a pas la même valeur qu’un cm en ordonnée.

 Dans un repère orthonormé, 1 cm en abscisse a la même valeur qu’un cm en ordonnée.

 Dans un repère orthogonal, 1 cm en abscisse n’a pas la même valeur qu’un cm en ordonnée.

 Dans un repère orthogonal, 1 cm en abscisse a la même valeur qu’un cm en ordonnée.

2) Coordonnées d’un point :



Un point est caractérisé par ses coordonnées ( x ; f(x) ) que l’on écrira plutôt (x ; y). La première valeur se positionne sur l’axe horizontal, on l’appelle ………. La seconde valeur se positionne sur l’axe vertical, on l’appelle ……… . On écrira souvent une lettre pour désigner un point : A ( ……… ; ……… )

3) Courbe représentative d’une fonction :

Placer les points du tableau dans ce repère.

A-t-on le droit de relier tous les points ?

……….

Si oui, pourquoi ?

………

Relier tous les points, quelle est l’allure de la courbe ?

………

Quel est le prix de 17 kg de pommes ? (Faire apparaitre les traits de

construction qui donnent le résultat.) Prix = ………

Vérifier ce résultat par le calcul.

………

x y

0 10 20 30 40 50 60 70

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

(4)

Page 4 sur 12

A quelle situation, vous fait penser cette courbe ? ………



La fonction correspondante à cette situation est appelée fonction ……….

L’équation correspondante est ………. C’est une situation ……….

V) Tableau de variation d’une fonction : 1) Variation d’une fonction :



Une fonction f est ……… sur un intervalle I si f(x) ……… quand x

……….



Une fonction f est ……… sur un intervalle I si f(x) ……… quand x ……….

2) Tableau de variation :



Un tableau de variation exprime ………que peut subir une fonction.

On appelle :

- ……… de la fonction f, la plus grande valeur prise par f(x).

- ……… de la fonction f, la plus petite valeur prise par f(x).

Pour établir un tableau de variation d’une fonction, on respecte les étapes suivantes : a) On dessine un tableau sur le modèle suivant.

x f(x)

b) On reporte l’intervalle de définition de x sur la première ligne.

x f(x)

0 1 2 3 4 5

0 5 10 15 20 25 30

0 1 2 3 4 5

0 5 10 15 20 25 30

(5)

Page 5 sur 12

c) On reporte dans cet intervalle les valeurs de x pour lesquelles les variations changent.

(Dans ce cas il n’y en a pas).

d) On reporte par des flèches les variations de f(x). Si f(x) est croissante ……… , si f(x) est décroissante ……….

e) On écrit les valeurs aux bornes.

x f(x)

Exercice : Représenter le tableau de variation de la fonction g(x) et répondre aux questions.

La fonction admet-elle un maximum ? Si oui quels sont les coordonnées de ce maximum ?

………

La fonction admet-elle un minimum ? Si oui quels sont les coordonnées de ce minimum ?

………

VI) Utilisation de la calculatrice pour compléter un tableau de valeurs : 1) Comment effacer l’expression d’une fonction ?

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−15

−10

−5 0 5 10 15 20 25 30

(6)

Page 6 sur 12

On souhaite compléter un tableau de valeurs, connaissant l’expression de la fonction et le domaine de définition. Avant tout, il convient d’effacer l’expression précédente si celle-ci existe.

Avec la casio Avec la Texas Instrument

Dans le menu, à l’aide des flèches de

déplacement , on sélectionne

l’icône ou on appuie directement sur le chiffre correspondant à cet icône. Si l’on souhaite effacer la calculatrice, on met en surbrillance la ligne à effacer:

, on sélectionne la fonction souhaitée, ici

en appuyant sur la touche F correspondante.

On valide en appuyant sur la touche F correspondante

.

On appuie sur la touche , à l’aide des

flèches de déplacement , on se positionne sur la fonction à effacer si celle-

ci existe .

On appuie sur la touche .

2) Comment compléter un tableau de valeurs :

Soit la fonction f définie sur [-2 ; 7] par f(x) = x² – 5x + 2.

En regardant le tableau de valeurs, on remarque que le « pas » entre deux valeurs est 0,5.

(7)

Page 7 sur 12

x -2 -1 0 1 2,5 5 7

f(x)

Avec la casio Avec la Texas Instrument

Après avoir tapé sur la touche , on

sélectionne l’icône . Pour taper l’expression de la fonction, on utilisera la touche pour la variable x et la touche pour afficher la puissance.

Une fois l’expression tapée, on valide avec la touche .L’expression sera la

suivante:

Avant d’afficher le tableau, on paramètre les bornes et le pas de celui-ci en appuyant sur la touche F correspondant au menu

. On complète les valeurs:

. On revient au menu précédent en appuyant sur

. On fait alors apparaître le tableau

Après avoir tapé sur la touche , on tape l’expression de la fonction en utilisant la touche pour la variable x et la touche pour la puissance. Une fois l’expression tapée, on valide avec la touche

. L’expression sera la suivante:

Avant d’afficher le tableau, on paramètre les bornes et le pas de celui-ci en appuyant successivement sur les touches

correspondant au menu TBLSET . On complète les valeurs:

Attention, lorsque l’on souhaite afficher 0,5 la calculatrice n’affiche que .5

On fait apparaître le tableau en appuyant successivement sur les touches

.

(8)

Page 8 sur 12

en appuyant sur la touche F correspondant au menu .

VII) Etude de la fonction h(x) = 3x + 3 sur [-5 ; 5].

1) Compléter le tableau de valeurs en prenant un pas de 1.

x h(x)

2) Tracer la courbe représentative de la fonction h(x).

3) Compléter le tableau de variation de cette fonction.

x h(x)

4) Quelle est la nature de la courbe représentative de h(x) ?

………

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

−15

−10

−5 0 5 10 15 20

(9)

Page 9 sur 12



La fonction h(x) = 3x + 3 est appelée ………, l’équation de cette droite est du type y = ax + b. a est appelé ……… de la droite, et b ……….



La courbe représentative de ce type de fonction est ………

……….



Fonction linéaire



Fonction affine

- y = ……. (a est le ………

de la droite, il est aussi le ………

………)

- Droite ……… par l’origine du repère.

- ……… une situation de proportionnalité.

- Si a > 0 la fonction est ……….

- Si a < 0, la fonction est ……….

- y = …………. (a est le ………

……… de la droite et b …………

……….) - Droite ……… par

l’origine du repère.

- ……… à une situation de proportionnalité.

- Si a > 0 la fonction est ……….

- Si a < 0, la fonction est ……….

Exercice : Compléter les tableaux de valeurs des fonctions f(x) = -2x +3 et g(x) = -2x – 3 définies sur l’intervalle [-5 ; 5].

x f(x) g(x)

Tracer les courbes représentatives de f(x) et de g(x) dans le repère ci-dessous.

Que peut-on dire de ces deux courbes ? ……….



Deux droites ……….

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

−15

−10

−5 0 5 10 15

(10)

Page 10 sur 12

VIII) Exercices :

Exercice N°1 : Sans tracer la courbe de la fonction f(x) = 2x -7, dire si les points suivants sont sur la courbe représentative de cette fonction et pourquoi.

A (0 ; -7) ………

B (2 ; 5) ………

C (-3 ; -13) ………

Exercice N° 2 : Compléter les tableaux de variation des fonctions f(x) = -x³ +12x -5 et g(x) = 3x² – 5

x f(x)

x g(x)

Exercices N°3 : Sans tracer les courbes, dire quelles sont les fonctions qui sont parallèles entre-elles. f(x) = -5x ; g(x) = 5x – 3 ; h(x) = 5x + 3 ; i(x) = 3x + 5 ; j(x) = -5x + 3 ; k(x) = -5x – 3 ; l(x) = 3x ; m(x) = -x – 5 ; n(x) = 5x ; o(x) = 7x + 5

………

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

−80

−60

−40

−20 0 20 40 60 80

𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙)

(11)

Page 11 sur 12

IX) La fonction carré :

Soit h la fonction définie sur [-5 ; 5] par h(x) = x². Compléter le tableau de valeurs de la fonction et tracer celle-ci dans le repère ci-dessous.

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

h(x)

Compléter le tableau de variation de cette fonction.

x

h(x)



Cette fonction est appelée ………sur l’intervalle [-5 ; 5]. Sa courbe représentative est une ……….

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

(12)

Page 12 sur 12

Soit t la fonction définie sur [-5 ; 5] par t(x) = -x² + 25. Compléter le tableau de valeurs de la fonction et tracer celle-ci dans le repère précédent.

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

h(x)

Compléter le tableau de variation de cette fonction.

x

h(x)



Cette fonction appartient à la famille ………. Sa courbe représentative est également ………. Toutes les fonctions de la forme ………

avec a  0 appartiennent à la famille des fonctions ……….

Lorsque a > 0, la parabole est tournée vers ………, la fonction admet ……….

Lorsque a < 0, la parabole est tournée vers ………, la fonction admet ……….

Donnez la valeur de l’extrémum de h(x) après avoir préciser sa nature. La courbe h(x) admet

………dont les coordonnées sont (…… ; ……).

Donnez la valeur de l’extrémum de t(x) après avoir préciser sa nature. La courbe t(x) admet

………dont les coordonnées sont (…… ; ……).