Activité : limites approximation et dérivation. 1STI
I Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = x² 1. Compléter le tableau suivant :
x 1 0.5 0.2 0.1 0.01 0
x²
2. Que peut on en déduire sur la fonction f lorsque x prend des valeurs proche de 0 ? 3. A l’aide de la calculatrice, tracer la courbe Cf .
On dit que x² admet une limite finie en 0 et on note lim
x →→→→ 0
x² = …….
Définition : soit f une fonction définie sur une intervalle I, soit a un réel de I.
On dit que f admet une limite finie en a si et seulement si f(x) est aussi proche que l’on veut d’un nombre L , pour un x assez proche de a. On note lim
x → af(x) = L
4. Avec le menu graphique ou le tableau de valeur de votre calculatrice, conjecturer la limite des fonctions suivantes lorsque x tend vers 0 :
g(x) = x ; h(x) = x3 ; m(x) = x
Exercices : calculer les limites en 0 des autres fonctions suivantes : f(x) = x
x + 1 ; g(x) = 2x ² + 5 x + 3 h(x) = x ² +2x
x m(x) = x3 - 3 x
x
II Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = ( 1 + x )² 1. Compléter le tableau suivant :
x 1 0.5 0.2 0.1 0.01
(x + 1 ) ²
2. Que peut on en déduire sur la fonction f lorsque x prend des valeurs proche de 0 ?
3. Développer f(x) , on peut en déduire que f est proche de quelle fonction affine lorsque x est proche de 0 ? 4. Tracer la fonction Cf sur une feuille et la droite tangente à Cf au point d’abscisse 0.
Quel est l’équation de cette droite ? Que remarque t’on ? III On considère la fonction f définie sur IR par f(x) = x².
Tracer soigneusement Cf dans un repère (unité 2cm)
Soit a un nombre réel. On note da la limite en 0 (lorsqu’elle existe) du quotient f(a+h) – f(a) h
1) On prend a=0. Calculer d0 et tracer sur le graphique la droite passant par le point A(0 ;f(0)) et de coefficient directeur d0.
2) On prend a=1. Calculer d1 et tracer sur le graphique la droite passant par le point B(1 ;f(1)) et de coefficient directeur d1.
3) On prend a=-2. Calculer d-2 et tracer sur le graphique la droite passant par le point C(-2 ;f(-2)) et de coefficient directeur d-2.
4) Que pensez-vous de la position relative de chacune des droites par rapport à Cf ? Définition : soit f une fonction définie sur une intervalle I, soit a un réel de I.
On dit que f est dérivable en a si et seulement si la limite quand h tend vers 0 du quotient f(a+h) –f(a)
h existe.
Si f est dérivable en a, on note f ’(a) = lim
x → a
f(a+h) –f(a) h
Vocabulaire : le rapport f(a+h) –f(a)
h s'appelle Taux de variation de f entre a et a+h (ou Taux d’accroissement)
