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Cours n°4 : Dérivée de Sinus et Cosinus IV) Dérivées de sinus et cosinus
Remarque :
Revoir les formules d'addition, de duplication, et autres relations trigonométriques de première, ainsi que les valeurs particulières.
Rappel :
f est une fonction paire si f (……) = f (……) f est une fonction impaire si f (……) = f (……)
f est une fonction périodique de période T si f (………...) = f (……) Propriété n°4
(sin x)'=... et (cos x)'= …...
Démonstration : cf activité d'approche n°3
Propriété n°5
/lim{x;0 ;/f{sin x;x}}=... et /lim{x;0 ;/f{(cos x) -1;x}}=...
Démonstration : cf activité d'approche n°3
Propriété n°6
La fonction sinus est impaire : sin (-x) = …...
La fonction sinus est périodique de période 2 : sin (x+ 2) = …...
La fonction cosinus est paire : cos (-x) = …...
La fonction cosinus est périodique de période 2 : cos (x+ 2) =…...…
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2/3 - Chap.
Propriété n°7
La fonction f définie par f(x) = sin (ax + b) est périodique de période /f{ ……. ;…}
La fonction f définie par f(x) = cos (ax + b) est périodique de période /f{ ……. ;…}
Démonstration /.
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Exemple n°4
1. Soit g la fonction définie par g(x) = /f{cos(2x);2x} . g est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ? Justifier .
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2. Soit f la fonction définie par f(x) = /f{sin(3x);3x} . f est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ? Justifier .
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3. Soit h la fonction définie par h(x) =cos (4x) + 4x. h est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ? Justifier .
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Exemple n°5
1. Soit f la fonction définie par f(x)=cos(2x). Quelle est sa périodicité ? /.
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2. f est-elle paire ? Impaire ? Justifier . 2/3
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3. Déduire des deux réponses précédentes sur quel intervalle il suffit d'étudier f.
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4. Calculer la dérivée de f et étudier son signe.
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5.Déduire des questions précédentes le tableau de variation de f sur [-;].
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