MPSI A 2004-2005
Planche d’exercices 5
Exercice 1: On définit Z +∞
0
h(t)dt comme la limite, si elle existe, limA→+∞ Z A
0
h(t)dt.
Calculer
(x,y)∈Rinf 2 Z +∞
0
(t2−xt−y)2e−tdt de deux manières :
1. En introduisant un produit scalaire ;
2. En étudiant une fonction de deux variables.
Exercice 2: Calculer
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¯¯
¯¯
¯¯
¯¯
¯¯
¯
1 1 · · · 1 1
x1 x2 · · · xn−1 xn
x21 x22 · · · x2n−1 x2n
... ... ... ...
xn−11 xn−12 · · · xn−1n−1 xn−1n
x2x3· · ·xn x1x3· · ·xn · · · x1· · ·xn−2xn x1· · ·xn−1
¯¯
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¯¯
¯¯
¯¯
¯¯
¯ .
On pourra commencer par supposer les xjnon nuls.
Exercice 3: Soit E=
C
([0,1],R).1. Montrer que(f|g) =R01(f(t)g(t) +f0(t)g0(t))dt est un produit scalaire sur E.
2. Montrer que les sous-espaces V ={f ∈E|f = f00}et W ={f ∈E|f(0) = f(1) = 0}sont supplémentaires et orthogonaux.
3. Expliciter la projection orthogonale sur V .
Exercice 4: Soit A=
µ 1 1
1 1
¶
. Résoudre X2+X =A dans
M
2(R). (Indications : Si X est solution, montrer que X ou X+I2est non-inversible. Si X est non-inversible, montrer que X est proportionnel à A en comparant images et noyaux.)1
