L3 – MIV BMM1 – Contrˆole continu 30/03/2006
Correction
A- Interpr´etation biologique du mod`ele.
Type de croissance de la biomasse v´eg´etale en l’absence d’herbivorie En l’absence d’herbivorie (H = 0), on a
dP dt =rP
1− P
K
donc la croissance de la biomasse v´eg´etale suit un mod`ele logistique avec une capacit´e limite K et un taux de croissance r.
Consommation des v´eg´etaux
La vitesse de consommation des v´eg´etaux est donn´e par le second terme de l’´equation du mod`ele V(P) = aP H
b+P On remarque que lim
P→∞V(P) = aH. Vmax =aH est donc la vitesse maximum de consommation de la biomasse v´eg´etale. (aest la vitesse maximum par unit´e d’herbivore).
Voici deux interpr´etations de b:
La croissance de la vitesse de consommation est dV(P)
dP = aHb
(b+P)2, donc lim
P→0
dV(P) dP = aH
b . Le param`etrebcorrespond `a un terme de “freinage” de la consommation. Sib est ´elev´e, la croissance de la consommation est plus lente.
Par ailleurs, le termeb est tel que, pourP =b on obtient V(P) = aHb
b+b = aH
2 =Vmax
2 ,
donc P = b est la biomasse v´eg´etale pour laquelle la vitesse de consommation par les herbivores et la moiti´e de la vitesse maximale.
L3 – MIV 1
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B- Analyse qualitative.
Recherche des points d’´equilibre et stabilit´e
Les points d’´equilibre v´erifient ˙P = 0, soitrP 1−KP
−aP Hb+P = 0.
rP 1−KP
−aP Hb+P = 0
⇔ P
r 1−KP
−b+PaH
= 0
⇔ P = 0 ou r 1−KP
−b+PaH = 0
⇔ rK(b+P)−rPK(b+P)(b+P)−aHK = 0
⇔ −rP2+P r(K−b) +K(rb−aH) = 0
Il existe donc toujours un point d’´equilibre P0? = 0. Il peut exister d’autres points d’´equilibre selon le signe de ∆ = (r(K−b))2+ 4rK(rb−aH). Comme rb−aH <0 d’apr`es l’´enonc´e, on ne connait pas le signe de ∆. D’autre part, ˙P est du signe de−rP2+P r(K−b) +K(rb−aH).
1. Cas ∆<0. Il n’existe pas d’autre points d’´equilibre. En ce cas,−rP2+P r(K−b) +K(rb−aH) est toujours n´egatif (car−r <0 et ∆<0). P0?est donc un point d’´equilibre stable.
2. Cas ∆ = 0. Il existe un point d’´equilibre suppl´ementaireP12? = K−b2 , d’apr`es l’´enonc´e, P12? >0 car K > b, ce point d’´equilibre a donc une signification biologique. En ce cas, −rP2+P r(K− b) +K(rb−aH) est toujours n´egatif, sauf pourP =P12?. On peut donc dire que P12? est un shunt n´egatif.
3. Cas ∆>0. Il existe deux points d’´equilibre suppl´ementairesP1?= r(K−b)−
√
∆
2r etP2?=r(K−b)+
√
∆ 2r . On aK−b >0⇒P2? >0 et
rb−aH <0
∆ = (r(K−b))2+ 4rK(rb−aH)>0
⇒√
∆< r(K−b) donc P1? >0, les deux points d’´equilibre existent et ont une signification biologique. −rP2+P r(K− b) +K(rb−aH) est du signe de r entre les racinesP1? et P2? et du signe de−r `a l’ext´erieur des racines. DoncP0? est un point d’´equilibre stable,P1? un point d’´equilibre instable, et P2? un point d’´equilibre stable.
Portraits de phase et chroniques
Voir stabilit´e des points d’´equilibre. On distinguera 3 cas suivant le signe de ∆.
L3 – MIV 2
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C- Interpr´etation des r´esultats.
On se place dans le cas o`u il existe 3 points d’´equilibre, donc ∆>0.
LorsqueP0=K−b2 , les conditions initiales nous placent entre les points d’´equilibreP1?etP2?. La biomasse v´eg´etale croˆıt pour atteindre l’´equilibreP2?.
Herbivorie maximum tol´erable
La biomasse v´eg´etale va disparaˆıtre lorsque P0? devient le seul point d’´equilibre. Ceci advient lorsque
∆<0. Hmax v´erifie donc (r(K−b))2+ 4rK(rb−aHmax)<0.
Hmax>r(K+b)2 4Ka L’herbe repoussera-t-elle ?
Lorsque H > Hmax, l’herbe disparaˆıt (on atteint P0? seul point d’´equilibre). Si on r´eduit l’herbivorie de telle fa¸con queH < Hmax, alors les points d’´equilibreP1? et P2? deviennent possible. Cependant les conditions initiales (P0?≤P < P1?) nous placent dans un intervalle pour lequel ˙P <0. On ne peut donc plus quitter le point d’´equilibreP0?= 0 tant que l’herbivorie persiste.
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