No of obs

(1)

1

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Chap. 2 Statistique descriptive et graphiques

Terminologie anglais - français

Représentations graphiques : - histogramme de Tukey - histogramme

Indicateurs de centralité et position

Indicateurs de variabilité

Autres diagrammes : - diagramme de Tukey

- diagramme quantile - quantile

2 variables : - diagramme de dispersion conjointe - droite de moindres carrés

- coefficient de corrélation linéaire

Bernard CLÉMENT, P h D

2

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

TERMINOLOGIE anglais – français Steam-and-leaf display ……….. histogramme de Tukey

diagramme tige – feuilles Box-Plot ……….. diagramme de Tukey

Q-Q plot ……….. diagramme quantile - quantile Tally ……… décompte

Frequency ……… effectif

Relative frequency ………. fréquence ( fréquence relative ) Cumulative frequency ………….. effectif cumulé

Relative cumulative frequency … fréquence cumulée Standardized value ……… valeur centrée – réduite Frequency distribution …………. tableau d’effectifs

/ distribution d’effectifs / tableau de fréquences

3

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Histogramme de Tukey: histogramme avec le détail des valeurs numériques aperçu de la forme distribution, centre, données suspectes ,…

Exemple: données observées de la variable X

223 241 245 265 268 267 228 301 300 301 321 282 286 288 tige feuille effectif effectif cumulé

22 3 8 2 2

24 1 5 2 4

26 5 7 8 3 7

28 2 6 8 3 10 30 0 1 1 3 13

32 1 14

total 14

4

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Histogramme pour une variable X continue valeurs de X : x

₁

, x

₂

, ……., x

_n

n au moins 50 Procédure

1. Déterminer valeur minimale et la valeur maximale des X 2. Choisir entre 10 et 20 intervalles contigus

3. Recenser les effectifs n

_i

de chaque classe 4. Calculer les fréquences relatives : n

_i

/ n

5. Calculer la somme progressive des n

_i ^:

effectifs cumulés

6. Calculer la somme progressive des n

_i

/ n

(2)

5

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Exemple :

écart = longueur – 50 sur 3 machines observations toutes les heures:

échantillon de 5 pièces

MACH_1 MACH_2 MACH_3

6

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

tableau d'effectifs

de à

effectif cumul

% % cumul -1.00000<x<=-.80

-.800000<x<=-.60 -.600000<x<=-.40 -.400000<x<=-.20 -.200000<x<=.666 .666E-15<x<=.200 .2000000<x<=.400 .4000000<x<=.600 .6000000<x<=.800 .8000000<x<=1.00 1.000000<x<=1.20 1.200000<x<=1.40 1.400000<x<=1.60

1 1 0.7 0.7

10 11 6.7 7.3

24 35 16.0 23.3

39 74 26.0 49.3

26 100 17.3 66.7

15 115 10.0 76.7

15 130 10.0 86.7

9 139 6.0 92.7

6 145 4.0 96.7

2 147 1.3 98.0

0 147 0.0 98.0

2 149 1.3 99.3

1 150 0.7 100.0

7

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Histogrammes : exemples

Exemple 1 : données d’écarts de 150 longueurs p. r. à valeur nominale de 50 unités

Histogram ( 1v*150c) ecart = 150*0.2*normal(x; -0.0911; 0.4357)

-1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6

ecart 0

5 10 15 20 25 30 35 40 45

No of obs

8

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Exemple 2 : données = d’écarts de 50 longueurs p. r. à valeur nominale de 50 - production sur 3 machines

Histogram (_KolarikMeterStick(2) [Hist & QQ].sta 10v*150c) MACH_1 = 50*0.2*normal(x; 0.0839; 0.4346) MACH_2 = 50*0.2*normal(x; -0.2896; 0.1915) MACH_3 = 50*0.2*normal(x; -0.0678; 0.5288)

MACH_1 MACH_2 MACH_3

-1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

No of obs

(3)

9

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Machine 1

-0.6685 -0.4718 -0.2751 -0.0784 0.1182 0.3149 0.5116 0.7082 MACH_1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

No of obs

machine 2

-0.7889 -0.6758 -0.5627 -0.4496 -0.3364 -0.2233 -0.1102 0.0029 MACH_2

0 1 2 3 4 5 6 7 8

No of obs

Machine 3

-0.8615 -0.5436 -0.2257 0.0923 0.4102 0.7281 1.0460 1.3640 MACH_3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

No of obs

toutes les données

-0.8615 -0.5436 -0.2257 0.0923 0.4102 0.7281 1.0460 1.3640 ecart

0 5 10 15 20 25 30 35

No of obs

10

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Indicateurs de centralité et de position

remarque Il y a plusieurs façons de calculer les quantiles

11

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

indicateurs de centralité et position : MACH_1 mesures d’écarts sur la machine 1

0,424 -0,271

0,807 -0,668

pas unique 0,112

0,084 50

3ième quartile

= 75 ième percentile 1er

quartile

= 25 ième percentile max

min mode

médiane moy

Xbar n

12

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Indicateurs de variabilité

Règle empirique

68% obs. dans x – s et x + s 95% obs. dans x - 2s et x + 2s 99,9% obs. dans x - 3s et x + 3s Valeur centrée réduite

z _i = ( x _i- x ) / s Propriétés z = 0 s

z

^{= 1}

Étendue échantillonnale R = max { x _i} - min { x _i} Étendue interquartile IQR = x_0.75 - x _0.25

Écart type échantillonnal s =

[

∑ ( x_i - x ) / (n – 1)

]

^0.5

(4)

13

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Indicateurs de variabilité : MACH_1 MACH_2 MACH_3

0,529 0,553

2,384 1,523

-0,862 -0,068

50

MACH_3

0,191 0,257

0,848 0,059

-0,789 -0,290

50

MACH_2

0,435 0,695

1,475 0,807

-0,668 0,084

50

MACH_1

s IQR R

max min

x n

14

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Règle empirique ?

Machine x- s à x+s x- 2s à x + 2s x- 3s à x+ 3s

1 - 0,351 à 0,518 -1,220 à 1,388 sur 50 33 50

2 - 0,481 à 0,098 - 0,864 à 0,285 sur 50 36 50

3 - 0,597 à 0,461 -1,654 à 1,519 sur 50 39 50

15

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Diagramme de Tukey ou boîte à moustaches ( « Box Plot » )

rectangle avec quartiles Q ₁ Q ₂ Q ₃ + segments droites longueurs L1 = min ( Q ₁- 1.5 * IQR , x _{( 1 )} ) L2 = min ( Q ₃+ 1.5 * IQR , x ₍_n₎ ) L 3 = min (Q 1 - 3 * IQR , x _{( 1 )} ) L4 = min ( Q 3 + 3 * IQR , x _{( n )} )

utilité - variabilité - symétrie - données suspectes - comparaison de plusieurs groupes

Q1 Q2 Q3

L1 L2

L3 L4

suspectes

16

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Diagramme de Tukey : exemple longueurs sur 3 machines

Box Plot (Machines.sta 10v*150c)

Median 25%-75%

Non-Outlier Range Outliers MACH_1

MACH_2 MACH_3 -1.0

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8

(5)

17

Diagramme quantile – quantile

Méthode graphique pour comparer 2 séries de données : même forme ? mêmes moyennes ? mêmes écart types ? mêmes quantiles ?

x ₁ x ₂ x₃ …… x _m et y ₁ y ₂ y ₃ …… y _n

cas 1 : m = n graphique des points

(

x _{( i )}, y _{( i )}

)

des valeurs ordonnées cas 2 : m

<

n graphique des points

(

x ₍_i₎ , y _{( pi )}

)

p i = i / ( m + 1 ) i = 1 ,2 ,3… , m échantillons provenant de populations ayant la même forme :

alignement le long d’une droite

18

-0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1

M2_ORD -0.9

-0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1

M2_ORD

M2_ORD vs M2_ORD

M2_ORD vs M1_ORD

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

M1_ORD -0.8

-0.4 0.0 0.4 0.8 1.2

M2_ORD

droite Y = X

-0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1

M2_ORD -1.0

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8

M3_ORD

Exemple: diagramme quantile – quantile - distributions des 3 machines

Scatterplot (MachinesV5.sta 10v*150c)

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

M1_ORD -1.0

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8

M3_ORD

19

2 VARIABLES : diagramme de dispersion – droite de moindres carrés – coefficient de corrélation linéaire

18400 13

3325 sable

15200 19

2865 probe

20000 19

2865 prelude

10800 24

2190 paseo

17800 14

3225 talon

12000 20

2650 saturn

14300 18

2970 mazda

21100 14

3325 intrepid

14000 12

3035 grand Am

19900 14

3345 camry

modèle poids ( lbs) MPG (ville) prix

20

2 VARIABLES : diagramme de dispersion – droite de moindres carrés coefficient de corrélation linéaire

Matrix Plot (ch2-V5.sta 10v*100c) POIDS

MPG

PRIX

(6)

21

2 VARIABLES : diagramme de dispersion – droite de moindres carrés coefficient de corrélation linéaire

22

2 VARIABLES : diagramme de dispersion – droite de moindres carrés coefficient de corrélation linéaire

23

24

Scatterplot (ch2.sta 10v*100c) mpg = 45.4288-0.0096*x; 0.95 Conf.Int.

2000 2200 2400 2600 2800 3000 3200 3400

poids 10

12 14 16 18 20 22 24 26

mpg

poids:mpg: r² = 0.8277; r = -0.9098, p = 0.0003; y = 45.4287916 - 0.0096421519*x

No of obs

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Chap. 2 Statistique descriptive et graphiques

 Terminologie anglais - français

 Représentations graphiques : - histogramme de Tukey - histogramme

 Indicateurs de centralité et position

 Indicateurs de variabilité

 Autres diagrammes : - diagramme de Tukey

- diagramme quantile - quantile

 2 variables : - diagramme de dispersion conjointe - droite de moindres carrés

- coefficient de corrélation linéaire

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

TERMINOLOGIE anglais – français Steam-and-leaf display ……….. histogramme de Tukey

diagramme tige – feuilles Box-Plot ……….. diagramme de Tukey

Q-Q plot ……….. diagramme quantile - quantile Tally ……… décompte

Frequency ……… effectif

Relative frequency ………. fréquence ( fréquence relative ) Cumulative frequency ………….. effectif cumulé

Relative cumulative frequency … fréquence cumulée Standardized value ……… valeur centrée – réduite Frequency distribution …………. tableau d’effectifs

/ distribution d’effectifs / tableau de fréquences

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MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Histogramme pour une variable X continue valeurs de X : x

, x

, ……., x

n au moins 50 Procédure

1. Déterminer valeur minimale et la valeur maximale des X 2. Choisir entre 10 et 20 intervalles contigus

3. Recenser les effectifs n

de chaque classe 4. Calculer les fréquences relatives : n

/ n

5. Calculer la somme progressive des n

effectifs cumulés

6. Calculer la somme progressive des n

/ n

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MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

tableau d'effectifs

de à

% % cumul -1.00000<x<=-.80

-.800000<x<=-.60 -.600000<x<=-.40 -.400000<x<=-.20 -.200000<x<=.666 .666E-15<x<=.200 .2000000<x<=.400 .4000000<x<=.600 .6000000<x<=.800 .8000000<x<=1.00 1.000000<x<=1.20 1.200000<x<=1.40 1.400000<x<=1.60

1 1 0.7 0.7

10 11 6.7 7.3

24 35 16.0 23.3

39 74 26.0 49.3

26 100 17.3 66.7

15 115 10.0 76.7

15 130 10.0 86.7

9 139 6.0 92.7

6 145 4.0 96.7

2 147 1.3 98.0

0 147 0.0 98.0

2 149 1.3 99.3

1 150 0.7 100.0

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MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

indicateurs de centralité et position : MACH_1 mesures d’écarts sur la machine 1

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z

[

]

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Règle empirique ?

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

(

)

<

(

)

18400 13

3325 sable

15200 19

2865 probe

20000 19

2865 prelude

10800 24

2190 paseo

17800 14

Terminologie anglais - français

Représentations graphiques : - histogramme de Tukey - histogramme

Indicateurs de centralité et position

Indicateurs de variabilité

Autres diagrammes : - diagramme de Tukey

2 variables : - diagramme de dispersion conjointe - droite de moindres carrés