Question 1
1. Représenter à l’aide de la calculatrice la fonction 𝑓 définie sur ] − 1; +∞[ par 𝑓(𝑥) = ln(𝑥 + 1) + 1.
Conjecturer à l’aide de ce graphique le nombre de points de la courbe de 𝑓 situés à égale distance de l’axe des abscisses et de l’axe des ordonnées.
2. Soit 𝑥 un réel positif et M un point quelconque d’abscisse x situé sur la courbe représentative de la fonction 𝑓 dans un repère orthonormé.
a. Montrer que le point M est à égale distance de l’axe des abscisses et de l’axe des ordonnées si, et seulement si, 𝑓(𝑥) = 𝑥.
b. Étudier les variations de la fonction 𝑔 définie sur l’intervalle [0 ; 10] par 𝑔(𝑥) = ln(𝑥 + 1) + 1 − 𝑥.
c. Démontrer que l’équation 𝑔(𝑥) = 0 admet une unique solution sur l’intervalle [0 ; 10].
En déduire l’existence d’un unique point M équidistant de l’axe des abscisses et de l’axe des ordonnées et dont l’abscisse est comprise entre 0 et 10.
