La recherche de l’int´egralit´e du sujet est indispensable pour tous

ECS1 H. Boucher pour le 22/09/2020 Devoir maison n^o1

La pr´esentation, l’orthographe et la qualit´e de la r´edaction seront prises en compte.

Les r´esultats des questions non r´esolues pourront ˆetre admis pour la suite.

Les r´esultats devront ˆetre encadr´es .

La recherche de l’int´egralit´e du sujet est indispensable pour tous.

Cependant, vous r´edigerez un devoir par binˆome. Bien sˆur les ´ecritures des deux signataires devront apparaˆıtre de mani`ere significative dans la copie.

Exercice 1

On poses(1) = 1, s(2) = 3 + 5,s(3) = 7 + 9 + 11, et ainsi de suite, si bien que pourn>2,s(n) d´esigne la somme desnnombres impairs suivant ceux qui apparaissent danss(n−1).

1. Calculer s(i) pour i∈J1,4Ket ´emettre une conjecture sur la valeur de s(n) pour tout n∈N^∗. 2. Pour toutk∈N^∗, on noteI(k) lek-i`eme entier naturel impair.

(a) Donner la valeur de I(k) en fonction dek.

(b) Pour toutN ∈N^∗, on appelle A(N) =

N

X

k=1

I(k). Calculer A(N).

(c) Pour toutn∈N^∗, on noteB(n) =

n

X

i=1

s(i). Calculer B(n).

(d) En d´eduire une expression simple des(n) pour tout n∈N^∗. 3. D´eduire des r´esultats pr´ec´edents une expression factoris´ee de

n

X

i=1

i³ en fonction den.

Probl`eme 1

Dans ce probl`eme, pour tout nombre r´eelx, on note|x|lapartie enti`erede |x|, d´efinie par

|x|=

(xsi x>0

−x si x <0 . 1. Montrer que pour tousx,y∈R,|x+y|6|x|+|y|.

2. Montrer par r´ecurrence que pour tout entier n>2 et tous r´eelsx₁, . . . x_n,

n

X

i=1

xi

6

n

X

i=1

|x_i|

Le but de cette partie est de montrer par r´ecurrence, pour toutn∈N^∗, la propri´et´eP(n) : Pour tous nombres r´eelsa1, . . . , an etb1, . . . , bn, on a

n

X

i=1

aibi

!2

6

n

X

i=1

a²_i

!

×

n

X

i=1

b²_i

! .

3. D´emontrer P(1).

1

4. Soit α1,β1,α2, β2 des nombres r´eels.

(a) Montrer queα²₂β₁²+α₁²β₂²−2α1α2β1β2>0.

(b) En d´eduireP(2).

5. Soit n>2 un nombre entier. On suppose que la propri´et´eP(n) est vraie.

Soit maintenanta1, . . . , an+1 etb1, . . . , bn+1 des nombres r´eels.

(a) Montrer que

n+1

X

i=1

|a_ib_i|6 v u u t

n+1

X

i=1

|a_i|² v u u t

n+1

X

i=1

|b_i|²+|a_n+1||b_n+1|.

(b) En utilisant judicieusement la propri´et´e P(2), en d´eduire que

n

X

i=1

|a_ibi|

!2

6

n

X

i=1

|a_i|²

!

×

n

X

i=1

|b_i|²

! .

(c) Montrer que la propri´et´eP(n+ 1) est vraie et conclure.

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