Analyse de sensibilit´ e

M2 IMAT 2007–2008

Analyse de sensibilit´ e

Examen du 10 d´ ecembre 2007

La dur´ ee de l’´ epreuve est 3 heures. Les notes de cours et les calculatrices ´ electroniques sont autoris´ ees

1 Krikri

Soit α > 0, on consid` ere sur R le processus gaussien centr´ e (X

)

de fonction de covariance R(s) := E(X

X

) = exp(−α|s|).

Soient x

et x

des r´ eels donn´ es.

– On observe X

= x

. Pour t un r´ eel non nul, d´ eterminer la loi de X

connaissant cette observation. Pour t r´ eel, tracer la fonction de krigeage (l’esp´ erance de cette loi condition- nelle).

– On observe X

= x

et X

= x

. Calculer f(t) = E(X

|X

= x

, X

= x

) et tracer cette fonction.

2 Un top mod` ele sensible

Pour α

un param` etre r´ eel, on consid` ere le mod` ele :

Y = α

X

X

X

+ X

X

+ X

+ X

ε.

On suppose que,

– X

, j = 1, 2, 3 et ε sont des variables ind´ ependantes.

– P (X

= 1) = P (X

= −1) = 0.5 pour j = 1, 2, 3.

– ε suit une loi normale centr´ ee de variance σ

> 0.

I) Calculer les indices de sensibilit´ e du 1` ere ordre et classer les variables suivants leurs importances respectives.

II) On consid` ere des copies i.i.d (Y

) de Y bˆ aties sur des copies i.i.d. (X

) (respectivement (ε

)) de X

(respectivement de ε).

– On consid` ere les vecteurs al´ eatoires i.i.d de R

:

Z

=



 X

X

X

X

X

ε



 j = 1, . . .

Calculer l’esp´ erance et la matrice de variance covariance de Z

.

– Soit Z

la moyenne empirique des n premiers vecteurs al´ eatoires Z

. Montrer que Z

satisfait une loi forte des grands nombres et un th´ eor` eme de la limite centrale.

III) On observe Y

. . . Y

et X

. . . X

(j = 1, 2, 3, n ∈ N

). Pour estimer α

on propose l’estimateur

α b :=

n

X

j=1

Y

X

X

X

.

– Montrer que cet estimateur est sans biais et calculer sa variance.

– Montrer que α b converge vers α

quand n tend vers l’infini.

– Donner un intervalle de confiance asymptotique de risque 5% pour α

.