DERIVATION I
Définitions (rappels chap 4 1ière )
1) Définition: Soit f une fonction définie sur Df et a un réel élément de Df.
On dit que f est dérivable en a lorsque le taux d'accroissement de f en a admet une limite finie l en a .
lim;\s\do8(h ( 0 = l ou écrit autrement: lim;\s\do8(x ( a = l Dans ce cas, l est appelé le nombre dérivé de f en a et on le note f '(a).
2) Tangente
Si f est dérivable en a, la courbe Cf admet au point A ( a ; f ( a ) ) une tangente Tg de coefficient directeur f'(a). Une équation de la tangente en ce point est : y = f’(a )(x – a) + f(a)
3) Approximation affine locale
A proximité du point A la courbe et sa tangente sont très proches, localement on peut remplacer la fonction f par la tangente Tg .
L'approximation affine de f pour x voisin de a est:
f(x) f '(a) (x-a) + f(a)
L'approximation affine locale de f(a +h) pour h voisin de 0 est:
f(a +h) f '(a) h + f(a)
II
Fonctions dérivées (rappels chap 4 1ière )
1) fonctions dérivées de fonctions de références 2) Opérations sur les fonctions dérivables
Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I alors:
Fonction Fonction dérivée Exemple
Fonction Ensemble de définition Dérivée Ensemble de dérivabilité
f(x) = k IR f '(x) = 0 IR
f(x) = ax + b IR f '(x) = a IR
f(x) = x2 IR f'(x) = 2x IR
f(x) = x
1 IR*
f'(x) = - 12 x
IR*
f(x) = [0 ; + ∞[ f'(x) = ] 0 ; + ∞[
f(x) = xn et n N* IR f'(x) = nxn-1 , n ZZ IR et n ≥ 1
f(x) = sin x IR f'(x) = cos x IR
f(x) = cos x IR f'(x) = - sin x IR
f(x) = tan x IR-{ +k} f(x) = 1+tan2x = IR-{ +k}
f ( a + h ) f ( a ) + h f ’ ( a ) f ( a )
M M’
A
\d\ba3());j)
O \d\ba3());i) a a + h
Cf Tg T semble proche de Cf
autour du point A
u + v u' + v' Si f(x) = x + alors f'(x)=
uv u'v + uv' Si f(x) = x3 alors f'(x) =
ku où k est un réel ku' Si f(x) = 4cosx – alors f'(x) =
un nu'un-1 Si f(x) = (3cosx – 2)5 alors f'(x) =
- Si f(x) = alors f'(x) =
Si f(x) = alors f'(x) =
u (ax +b) au'(ax + b) Si f(x) = sin(2x -5) alors u(x) = et a = Donc f'(x) =
Exercices : 3, 6, 10, 12, 14, 16 p 72 III
Application de la dérivation (rappels chap 5 1ière ) 1) Sens de variation
Théorème: Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I:
Si la dérivée f ' est nulle sur I, alors f est constante sur I.
Si la dérivée f ' est strictement positive sur I, sauf peut-être en des points isolés où elle s'annule, alors f est strictement croissante sur I.
Si la dérivée f ' est strictement négative sur I, sauf peut-être en des points isolés où elle s'annule, alors f est strictement décroissante sur I.
exemple: Etudier les variations de f (x) = x3, puis g(x) = x3 – 6x2 + 4
2) Extremum local (revoir chap5 1ière )
Théorème: Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I, et c un réel de I 1) Si f admet un extremum local en c alors f '(c) = 0
2) Si en c la dérivée f ' s'annule en changeant de signe, alors f admet un extremum local en c.
Exemple: Donner les extremums locaux des fonctions f et g données précédemment.
Exercices : 22, 23, 25, 26 p 73
Parité:
Périodicité:
Dérivée de tan x : Démontrer que tan x est dérivable sur Df et calculer sa dérivée
Etude de f'(x) sur [0; [: (signes + limites)
Tableau de variation
x 0 tan'(x)
tan(x)
IV
Dérivée d'une fonction composée 1) Théorème fondamental
Théorème: g est une fonction dérivable sur D' , u une fonction dérivable sur D , et pour tout x de D , u(x) est élément de D'. (autrement dit : u(D) D' )
Alors la fonction f définie par f(x) = g◦u (x) = g(u(x)) est dérivable sur D et pour tout x de D on a :
f '(x) = g'(u(x)).u'(x)) ROC Démon:
2) Dérivation de
Théorème: Soit u une fonction strictement positive et dérivable sur D.
Alors la fonction f définie par f(x) = est dérivable sur D et pour tout x de D on a : f '(x) =
Démon.:
3) Dérivation de un
Théorème: Soit u une fonction dérivable sur D et n *
Si n > 0, la fonction f définie par f(x) = [u(x)]n est dérivable sur D et pour tout x de D on a : f' (x) = n [u(x)]n-1 u '(x)
Si n<0 et si la fonction u ne s'annule pas sur D alors la fonction f définie par f(x) = [u(x)]n est dérivable sur D et pour tout x de D on a :
f' (x) = n [u(x)]n-1 u '(x) Démon.:
Exercices: 27, 29, 30, 32, 36 p 74 V
Dérivées successives
Définition : f est une fonction dérivable sur Df .
La fonction dérivée f ' s'appelle également dérivée première ou d'ordre 1 de f
Remarque: Nous avions établit en 1ière la dérivée comme étant la vitesse instantanée de la même manière on peut établir la dérivée seconde comme l'accélération instantanée.
Exercices : 38, 39, 40, 41, 42, 43 p 75 et 61p77 et 84p82
