SERIE DE REVISION PRINTEMPS (6)

Pour chaque question repérer la bonne réponse :

A- Dans l’espace e rapporté à un repère orthonormé direct , on donne trois points non alignés A , B et C . 1) L’ensemble des points M de E tels que ∧

AB AM = 0 est : a- le plan perpendiculaire à la droite ( AB ) et passant par A . b- La droite ( AB ) .

c-

{

^{A , B .}

}

2) L’ensemble des points M de e tels que ∧

(AB AC) AM=0 est : i a- le plan ( ABC ) .

b- la droite passant par A et de vecteur directeur . c- la droite ( AB ) .

B- ABCD est un tétraèdre régulier d’arête a . AB AC = i a- a² b- 1 ²

2a c- −1 ² 2a C- Soit ABCDEFGH un cube d’arête 1 .

On munit l’espace e du repère

( A , AB , AD , AE ) . Le plan ( BCE ) a pour équation :

a- x + y – 1 = 0 b- x + z – 1 = 0 c- y + z – 1 = 0

La courbe ci-contre représente la courbe ( C ) d’une fonction f définie sur ℝ. 1) Déterminer graphiquement :

( ) ( ) ( ) ( )

→+∞ →−∞ →+∞ →−∞

x x x x

f x f x

lim f x , lim f x , lim et lim

x x .

2) Donner le tableau de variation de f.

3) Justifier que f réalise une bijection deℝsur un intervalle J que l’on précisera.

4) Tracer la courbe ( C’ ) de la fonction réciproque de f.

5) On suppose que f es la fonction définie par :

( )

^{= + −x}

f x ax xe où a est un réel. Déterminer a.

6) Calculer A l’aire de la partie du plan limitée par ( C ),( C’) et la droite (∆^).

PROFESSEUR : ANIS BEN ALI

SERIE DE REVISION PRINTEMPS (6)

4^ème ANNEE 2014

EXERCICE 1 EXERCICE 1 EXERCICE 1 EXERCICE 1

EXERCICE 2 EXERCICE 2 EXERCICE 2 EXERCICE 2

Soit f la fonction définie sur ^1,

[

^+∞

[

^{par : f x}

( )

⁼x ln x . On désigne par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé O, i, j du plan.

( )

1) Montrer que f est continue sur ^1,

[

^+∞

[

^.

2) a) Etudier la dérivabilité de f à droite en 1. Interpréter géométriquement le résultat trouvé.

b) Dresser le tableau de variation de f.

3) a) Soit ∆ la droite d’équation y = x. Déterminer

( )

^{C ∩∆.}

b) Tracer (C) et ∆.

4) a) Montrer que f admet une fonction réciproque g définie sur

[

^0,+∞

[

^.

b) Tracer la courbe (C’) de g dans le repère ^{O, i, j}

( )

^.

5) On considère la suite (u) définie par :

( )

+

 =

 = ∈

 ℕ

0

n 1 n

u 0

u g u pour tout n a) Montrer par récurrence que pour tout n_∈ℕ, on a : 0≤u_n ≤e . b) Montrer que la suite (u) est décroissante.

c) En déduire (u) est convergente et trouver sa limite.

I

−−−− La courbe (ccccg) ci-contre est la courbe représentative dans un repère orthonormé de la fonction g définie sur ] 0, +∞[ par g(x) = 1

1 ln x x − −

1°) Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.

2°) Vérifier que la fonction G définie par G(x) =

(

^{1 x ln x−}

)

est une primitive de g sur ] 0, +∞[.

II

−−−− 1°) On considère la fonction f définie sur ] 0, +∞[ par f(x) = 1 ln x_x

e +

On désigne par (ccccf) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé

(

^{O, i, j}

)

a) Calculer

x 0

lim f(x)

→ + .Interpréter graphiquement le résultat.

b)

Vérifier que lim f(x)x 0.

→+∞ = Interpréter graphiquement le résultat.

2°) a) Montrer que f est dérivable sur ] 0, +∞[ et que pour tout x ∈ ] 0, +∞[ , f ′(x)= g(x)_x e . b) Dresser le tableau de variation de f.

3°) a) Résoudre l’équation f(x) =0.

b) Ecrire une équation de la tangente T à la courbe (ccccf) au point d’abscisse 1 e. c) Tracer (ccccf).

d) Discuter, graphiquement suivant les valeurs du réel m, le nombre de solutions de l’équation : lnx = m e^x –1.

EXERCICE 3 EXERCICE 3EXERCICE 3 EXERCICE 3

EXERCICE 4 EXERCICE 4EXERCICE 4 EXERCICE 4

Correction EX2

1) ^{a) lim f x}_x→+∞

( )

^{= +∞ b) lim f x}_x→−∞

( )

^{= −∞}, c) La droite D : y = x , de coefficient 1, est une asymptote à (C) en +∞ donc :

( )

→+∞ =

x

lim f x 1

x ,d) (C) admet une branche parabolique de direction

( )

^{O, j} au voisinage de -∞

alors

( )

→−∞ = +∞

x

lim f x

x .

2)

3) f est strictement croissante donc elle réalise une bijection de ℝ sur ^f

( )

^ℝ _{f continue}^{= ℝ.}

4)

( )

C' =S_{D:y x}=

( )

C 5) On a

( )

→+∞ =

x

lim f x 1

x , d’autre part on a :

( )

⁻

→+∞ →+∞

= + ^x =

x x

f x ax xe

lim lim

x x

(

⁻

)

⁻

→+∞ →+∞

/ +

= + =

/

x

x

x x

x a e

lim lim a e a

x donc a = 1.

6) ^A=2

∫

₀¹

(

^{f x}

( )

^{−x dx}

)

^+Aire

⁽

^∆ABC

⁾

⁼

∫

0^{1 −x +} 2

2 xe dx 1

2e . On pose :

( ) ( )

( )

⁻

( )

⁻

 = ⇒ = 

 

 = ⇒ = − 

 ^{x x}

u x x u ' x 1

v ' x e v x e ^{alors :}

(

⁻

)

⁻

(

^{− −}

) ⁽

^{− −}

⁾

^{ − }

    

=  × − ^x ¹0 − −

∫

0^{1 x} + 2 = − ¹− ^x¹0 + 2 = − ¹− ¹+ + 2 = − ¹+ 2×

1 1 1 1

A 2 x e e dx 2 e e 2 e e 1 2 4e ua

2e 2e 2e 2e

Correction EX3

1) x֏x est continue sur IR, en particulier sur [^1,+∞[^{de plus x֏lnx}est continue sur]^0,+∞[^{et ∀ ∈ +∞x}

[

^1,

[

: ln ≥0 ֏ ln

on a x alors x x est continue sur[^1,+∞[ ainsi f est continue sur[^1,+∞[. f’(x)

f(x)

x +∞

-∞

-∞

+∞

2) a) ( ) ( )

( )

x 1 x 1 x 1 x 1

f x f 1 x ln x x ln x ln x x

lim lim lim lim

x 1 x 1 x 1 ln x x 1 ln x

+ + + +

→ → → →

− = = = × = +∞

− − − − ainsi f n’est pas dérivable à droite en

1 d’où (C) admet au point d’abscisse 1 une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.

b) f est dérivable sur

]

^1,+∞

[

^{et on a : f′( )x = lnx+x.}_{2 ln}^1x _x^{= lnx+}_{2 ln}¹ _x^>0

^•_x^{lim f x}_→+∞

( )

⁼_x^{lim x ln x}_→+∞ ^{= +∞}

1) a)Soit ^x∈[^1,+∞[^. ( ) ( ) ^{y f x}( )

si M x, y C équivaut à

y x

 =

∈ ∆  =

∩

2) ⇒^{f x}( )=x équivaut à x ln x =x or x≠0 équivaut à ln x=1 donc x = e.^{ainsi C}( )^{∩∆ =}

{

^{A e, e}( )

}

^.

b) On a : ( ) ( ) ln

lim lim lim

x x x

f x x x

f x et

x x

→+∞ = +∞ →+∞ = →+∞ lim ln

x x

= →+∞ = +∞

alors (C) admet branche parabolique au voisinage de +∞ de direction

(

^{O, j}

)

^.

4) a) f est continue et strictement croissante sur[^1,+∞[donc elle réalise une bijection de [^1,+∞[ ^sur

[ [

(

^1,

)

[^0, [

f +∞ = +∞ . f admet alors une fonction réciproque g définie sur[^0,+∞[. b) ( )C^' =S_∆( )C

5) a) Pour n = 0, u_o = 0. 0≤ u_o≤ e (vérifie).Soitn∈ℕ^*. Supposons que0≤u_n ≤e et montrons que 0≤u_n+1≤e. On a 0≤u_n≤e et comme f est croissante sur

[

^1,+∞

[

donc g est strictement croissante sur [^0,+∞[ ^d’où g( )⁰ ≤g u( )n ≤g e( )équivaut à :1≤u_n+1≤e donc 0≤u_{n 1+} ≤e.

b) un₊1−un=g u( )n −un or (C’) est au dessus de ∆ sur [0,e] donc ^{g x}( )≥^x∀ ∈^x [^0,e] et comme un∈[^0,e] alors

( )_{n n} ' _n 1 _n

g u ≥u c est à dire u₊ ≥u alors (u) est une suite croissante.

c) la suite (u) est une suite croissante et majorée par e donc elle est convergente. Soit lim _n

n

l u

= →+∞ or 0≤u_n≤edonc0≤ ≤l e. On a f est continue sur

[

^1,+∞

[

donc g est continue sur [0,+∞[ et en particulier en l d’où ^{g l}( )^=l. Or e est la seule solution de l’équation f(x) = x donc ^{g l}

( )

^=l équivaut à l=e d’où lim _n

n u e

→+∞ = x

f’(x) f(x)

+∞

0 1

+∞