Fiche TD 2: Principaux systèmes de coordonnées
27/10/2010
Exercice 1 : On considère le point M0 de coordonnées (r, θ0, Z0) dans un repère cylindrique.
Trouver ses coordonnées dans un repère cartésien et sphérique.
Exercice 2 : Soit la surface S d'équation :
1
2 2
2
⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
c z b
y a
x
dans un repère cartésien de l'espace R3. Déterminer l'équationde S dans un repère cylindrique et sphérique.
Exercice 3 : On considère la courbe plane d'équation polaire ρ = tan2θ +1 Déterminer son équation cartésienne.
Exercice 4 : Convertir le vecteur suivant en coordonnées sphériques
(
urr,urθ,urϕ,)
:ϕ
ρ ϕ
ρ u u
Ar r r
2 +cos
=
Exercice 5 : Soit f (x,y,z) une fonction scalaire, son gradient et le Laplacien sont respectivement un vecteur et un scalaire définit comme étant :
zk y j xi
r r r r
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
∇ et 2
2 2 2 2 2
. x y ∂z
+ ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
∇
∇
=
∆ r r
Avec , , ,
z y
x ∂
∂
∂
∂
∂
∂ sont respectivement les dérivées partielles par rapport à x, y et z. Ecrire le gradient et le Laplacien en coordonnées cylindriques, puis en coordonnées sphériques.
Exercice 6 : Soient f et g deux fonctions de deux variables ; montrer que
Exercice 7 : Soit r(x,y)= x2+y2 . Calculer ∆r, ∆lnr, grad (r), Exercice 8 : Montrer que Er x y z y z ir z x rj x y kr
) ( ) ( ) ( ) , ,
( = + + + + + dérive d’un potentiel.
(Un champ de vecteur Er(M)
dérive d’un potentiel si et seulement si rortEr(M)=0r).
