UNIVERSIT´E DE BORDEAUX MASTER 1, 2016/2017 OUTILS DE SIMULATION
BLACK-SCHOLES DISCRET
L’´evolution d’une action boursi`ere peut ˆetre mod´elis´ee par le processus autor´egressif Xn+1 = (1 +m)Xn+σXnεn+1
o`u la valeur initiale de l’action X0 = x est strictement positive et (εn) est une suite de variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme loi de RademacherR(1/2). Les param`etres m et σ sont le taux d’actualisation et la volatilit´e de l’action. Ils satisfont l’in´egalit´e
|σ|<1 +m. On estime le taux d’actualisation m par l’estimateur des moindres carr´es
mbn = 1 n
n
X
k=1
(Xk−Xk−1) Xk−1
.
V´erifier que
mbn−m= σ n
n
X
k=1
εk.
En d´eduire que mbn converge p.s. vers m et que l’on a le th´eor`eme limite centrale
√n(mbn−m) L
−→ N(0, σ2).
Cr´eer un premier code Scilab permettant de visualiser la convergence presque sˆure de mbn versm ainsi que le th´eor`eme limite centrale, o`u les param`etresm etσ, et la valeur initiale x, sont affect´es par l’utilisateur. On propose ensuite d’estimer le carr´e de la volatilit´e σ2 par
bσn2 = 1 n
n
X
k=1
(Xk−Xk−1−mbk−1Xk−1)2 Xk−12
ou bien
σen2 = 1 n
n
X
k=1
(Xk−Xk−1−mbnXk−1)2 Xk−12 .
Etudier les propri´etes asymptotiques de ces deux estimateurs. Cr´eer un second code Scilab permettant de visualiser la loi forte des grands nombres et le th´eor`eme limite centrale associ´es `a bσn2 et eσn2. Quel est selon vous l’estimateur de σ2 le plus performant ?
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