TD Logique temporelle LTL Master MIC
janvier 2019
Rappel : Syntaxe et s´emantique de LTL. On consid`ere des formules de LTL dont la syntaxe est donn´ee par la grammaire suivante :
φ::=P |φ∨ψ|φ∧ψ| ¬φ|Xφ|φUψ
o`uP appartient `a un ensemble de propositions atomiquesAP. On utilise aussi les abr´eviations FetG.
Ces formules s’interpr`etent sur une ex´ecution ρ d’une structure de Kripke : ρ(i) est le i-`eme ´etat, ρi est le i-`eme suffixe (commen¸cant en ρ(i)) et `(ρ(i)) est l’ensemble des propositions vraies en ρ(i). La s´emantique est notamment d´efinie par :
— ρ|=P ssi P ∈`(ρ(0)),
— ρ|=Xφssi ρi+1|=φet
— ρ|=φUψ ssi ∃j≥0 t.q. (ρj |=ψ)∧(∀k∈[0, j[, on a :ρk|=φ )
Exercice 1 : Interpr´eter des formules LTL
S
q0
{a} {b}q1 q2 {a, c}
q3 {b, c}
On consid`ere le STES de la figure ci-contre (q0 est l’´etat initial).
Pour chacune des formules suivantes, dire si la formule est vraie pour S (ie pour toutes ses ex´ecutions). Justifier les r´eponses.
aUb X(aUb) G(c⇒(aUb)) GFa FGc⇒G(a⇒Xb) FGc⇒G(b⇒Xa) GFb V´erifier avec Prism les r´esultats pr´ec´edents.
Exercice 2 : Ecrire des formules LTL
Ecrire en logique temporelle, les propri´et´es suivantes qui concernent un protocole de communication o`u des messages sont ´emis (on utilisera des propositionsaetb) :
1. La proposition an’est jamais vraie.
2. La propositionaest vraie au moins une fois.
3. La proposition a est vraie infiniment sou- vent.
4. La proposition a est vraie exactement une fois.
5. La propositionaest vraie exactement deux fois.
6. Les propositions aetbsont vraies en alter- nance :aest vraie, puisb, puis a,. . . 7. Si la propositionaest vraie infiniment sou-
vent, alors la proposition b est toujours vraie.
Exercice 3 : Equivalence de formules LTL
Comparer les paires de formules ci-dessous : dites si elles sont ´equivalentes ou diff´erentes (justifiez vos r´eponses) :
•F(a∧b) et (Fa)∧(Fb) •G(a∧b) et (Ga)∧(Gb)
•aUb et Ga∧Fb •Fa∧Fb et F(a∧Fb)∨F(b∧Fa)
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