• Aucun résultat trouvé

TD Logique n

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "TD Logique n"

Copied!
3
0
0

Texte intégral

(1)

TD Logique n

o

6

1 Equivalences logiques 1

En appliquant des r`egles d’´equivalences, montrez que ces formules sont ´equivalents.

1. [(pq)r] et ¬(¬(p⇒ ¬q)∧ ¬r)

1. [(pq)r]

2.¬[(pq)∧ ¬r] (´equivalence et∧) 3.¬[(¬(p⇒ ¬q)∧ ¬r] (´equivalence∧et ⇒) 2.¬(pq)(qr) et (¬p∨ ¬q)(qr)

1.¬(pq)(qr)

2. (¬p∨ ¬q)(qr) (De morgan) 3. (pr)⇒ ¬(rq) et ¬(¬(p∧ ¬r)∧ ¬(¬r∧ ¬q)

1. (pr)⇒ ¬(rq)

2. ¬(p∧ ¬r)(¬r∧ ¬q) (´equivalence et∧) 3. (p∧ ¬r)(¬r∧ ¬q) (´equivalence et∨)

4.¬(¬(p∧ ¬r)∧ ¬(¬r∧ ¬q) (De morgan)

2 Equivalences logiques 2

ecrivez ces formules en n’utilisant que¬ et ⇒. D´etaillez chaque ´etape.

1.[(pq)(¬rs)

1. [(pq)(¬rs)

2. [(¬¬pq)(rs) (´equivalence∨et et introduction de la double n´egation) 3.[¬pq)(r s) (´equivalence ∨et⇒)

2.((pq)

1

(2)

1. ((pq)

2. (pq)(qp) (´equivalence et double ⇒) 3. ¬[(pq)⇒ ¬(q p)] (´equivalence et ⇒)

4.¬[¬(p⇒ ¬q)⇒ ¬(q p)] (idem)

3.¬[¬p(qr)]

1.¬[¬p(qr)]

2.¬[p(qr)] (´equivalence et ⇒) 3.¬[p⇒ ¬(q ⇒ ¬r)] (idem)

4.¬[(qp)r]

1.¬[(qp)r]

2. (qp)r equivalence et ⇒)

3.[(q p)(pq)]⇒ ¬r equivalence et double ⇒) 4.¬[(qp)⇒ ¬(pq)]⇒ ¬r equivalence et ⇒)

3 Forme normale disjonctive

Mettez ces formules en forme normale disjonctive. Que pouvez-vous en conclure ? S’agit-il d’une contradiction ?

1. (pq)(¬qp)

1. (pq)(¬qp)

2. (p∨ ¬q)(¬qp) (´equivalence et ∨) 3. (p∧ ¬qp)(¬q∧ ¬qp) (distribution)

4. (p∧ ¬q)(¬qp) (simplification) 5. (p∧ ¬q) (simplification)

2. (pq)(¬pq)

1. (pq)(¬pq)

2. (p∨ ¬q)(¬pq) (´equivalence et ∨) 3. (p∧ ¬pq)(¬q∧ ¬pq) (distribution) Contradiction

3. [(pq)r][p∧ ¬(q r)]

2

(3)

1. [(pq)r][p∧ ¬(q r)]

2. [¬(pq)r][pp∧ ¬r] (´equivalence et et ´equivalence et ∧) 3. [¬p∨ ¬qr][pp∧ ¬r] (de morgan)

4. [¬ppp∧ ¬r][¬qpp∧ ¬r][rpp∧ ¬r] (distributivit´e)

4 Forme normale conjonctive

Mettez ces formules en forme normale conjonctive. Que pouvez-vous en conclure ? S’agit- il d’une tautologie ?

1.(pq)(¬q⇒ ¬p)

1.(pq)(¬q⇒ ¬p)

2.¬(⇒q)(¬q ⇒ ¬p) (´equivalence et∨) 3.(p∧ ¬q)(q∨ ¬p) (´equivalence et∧) 4.(q∨ ¬p∨ ¬q)(q∨ ¬pp) (distribution) Tautologie

2.[(pq)r][(pr)(q r)]

1.[(pq)r][(pr)(q r)]

2.¬[((pq)r)∧ ¬((¬pr(¬qr))] (´equivalence et∧) 3. ¬[(pq)r][(¬pr)(¬qr)] (de morgan) 4.(pq∧ ¬r)[(¬pr)(¬qr)] (´equivalence et∧) 5. [(pq∧ ¬r)(¬pr)][(pq∧ ¬r)(¬qr)] (distribution)

6. (¬prr)(¬prq)(¬prp)(¬qr∨ ¬r)(¬qrq)(¬qrp) (distribution)

7.(¬prq)(¬qrp) (simplification)

3

Références

Documents relatifs

On peut donc s’aider en utilisant des équi- valents ; en se demandant dans quels cas la formule est fausse, dans quels cas elle est vraie ; en dernier recours, en calculant la table

Pour chacun des ensembles de formules T suivants, complétez I de deux façons différentes afin qu’elle soit un modèle de

[r]

donc : quelques objets qui sont fait pour ´ eclairer le font tr´ es mal.. 2

Ecrire une fonction qui prend en entr´ee un entier ´ n et une paire de valeurs r´eelles qui sont en fait les valeurs du cosinus et du sinus d’un certain angle x, et qui renvoie la

On d´esigne par les lettre f , g et b les proposition atomiques « ˆetre membre de la direction financi`ere », « ˆetre membre de la direction g´en´erale »,« ˆetre membre de

´ Ecrivez, au moyen d’une fonctionnelle sur listes, une fonction qui calcule le produit des ´el´ements d’une liste d’entiers et qui renvoie 0 d`es qu’un « 0 » est trouv´e

TD de programmation fonctionnelle et logique Corrig´e du TP 1 : listes et r´ecursivit´e. Fonctions classiques sur les