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Partiel n°4 BTS GO 2^ème année mathématiques 2010-2011 Exercice 1 BTS- GR A- Session 2010 : 11 points

Dans cet exercice , on se propose d’étudier dans la partie A une perturbation d’un signal continu et dans la partie B , la correction de cette perturbation par un filtre analogique .

Partie A

Dans cet exercice , on note  une constante réelle appartenant à l’intervalle ^{[0; 2 ]} et on considère les fonctions^f et^g, définies sur l’ensemble Rdes nombres réels , telles que :

^Pour tout nombre réel ^t, ^{f t( ) 1}

^La fonction ^gest périodique de période 2 et : ( ) 0 0

( ) 1 2

g t si t

g t si t



 

  

   



Pour tout nombre réel ^t, on pose : ^{h t( ) f t( )g t( )}

La fonctionhainsi définie représente la perturbation du signal .

1. les courbes représentatives des fonctions^f et^gsont tracées sur le document réponse n°1.

( figure 1 et 2 ).

Sur la figure 3 du document réponse n°1, tracer la représentation graphique de la fonctionh. 2. On admet que la fonction h est périodique de période 2 .

Pour tout nombre réel ^t, on définit la série de Fourier ^{S t( )}associée à la fonction h par 0

     

1

( ) _ncos _nsin

n

S t a ^ a nt b nt



 





a) Déterminer a0.

b) Soit ⁿun entier supérieur ou égal à 1 Calculer



₀^cos

 

^{nt dt}

En déduire que an ^{1 sin}

 

n

n 

 

c) Montrer que, pour tout nombreⁿentier supérieur ou égal à 1, bn ¹



^{1 cos}

 

n



n  

 .

3. Soit ⁿun entier supérieur .On associe à ⁿ le nombre réelAntel que : ^ A0 a0

^{ 2 2}

2

n n

n

a b

A   si ⁿest un entier supérieur ou égal à 1

Montrer que, pour tout nombreⁿentier supérieur ou égal à 1, on a An ^{1 1 cos}

 

n

n 

   .

On suppose pour toute la suite de l’exercice , que π τ = 4

4. Compléter le tableau 1 du document réponse n°2, avec des valeurs approchées à ₁₀^5près.

5. La valeur efficace heff de la fonction hest telle que : ^{2 1} ₀²



^{( )}



²

eff 2

h ^ h t dt

 



a) Calculer h_eff² .

b) Calculer une valeur approchée à ₁₀^4près du nombre réel P défini par

3 2

0 n n

P A







c) Calculer une valeur approchée à₁₀^2près du quotient 2 eff

P h . Partie B

On rappelle que^jest le nombre complexe de module 1 et dont un argument est 2

 .

On considère la fonction de transfertHdéfinie, pour tout nombre complexe ^pdifférent de 3

2,par : 3

( ) 2 3

H p  p

 .

On définit la fonction ^r , pour tout nombre réel positif  par : ^r

 

^{  H j}

 

^ .

Le but de cette partie est de déterminer le spectre d’amplitude du signal, noté k, obtenu en filtrant la perturbation h au moyen d’un filtre dont la fonction de transfert estH.

1. Montrer que

 

³ ₂

r  9 4

 

 . Rappel ^{z a  jb} ; z  a²b²

2. Pour tout nombre entier naturel ⁿ, on définit le nombre réel positif Bn par : Bn r n

 

An,

où Anest le nombre réel positif défini dans la question 3 de la partie A.

Compléter le tableau 2 du document réponse n°2, avec des valeurs approchées à ₁₀^5près.

Le spectre d’amplitude du signal filtré k est donné par la suite des nombres réelsBn

3. La figure 4 sur le document réponse n°2 donne le spectre d’amplitude de la perturbationh C’et-à-dire une représentation graphique de la suite des nombres réels An

Sur la figure 5 du document réponse n°2, on a commencé de même à représenter la suite des nombres Bn

Compléter cette représentation graphique à l’aide du tableau de valeurs n°2 du document réponse n°2.

4. Une valeur approchée à ₁₀^4 près du carré de la valeur efficace du signal k est k_eff² 0,0516 a) Calculer une valeur approchée à ₁₀^4près du nombre ^Q défini par

3 2

0 n n

Q B







^.

b) Calculer une valeur approchée à ₁₀^2 près du quotient : 2 eff

Q k .

On a étudié le spectre de Fourier d’une perturbation d’un signal . On ne peut pas négliger les raies de hautes fréquences de ce spectre . Le filtrage dissipe une part importante de l’énergie de la perturbation et les raies de hautes fréquences de la perturbation filtrée sont négligeables Exercice 2 : 9 points nouvelle Calédonie - nov-2009

Partie A :

Une entreprise fabrique des pièces en grande série.

Une pièce est conforme si sa masse, en grammes, est comprise entre 7,495 et 7,505.

L’entreprise dispose d’une machine de contrôle des pièces fabriquées.

On prélève une pièce au hasard dans la production.

On note C l’évènement : « la pièce est conforme ».

On note A l’évènement : « la pièce est acceptée par la machine de contrôle ».

Une étude statistique a été conduite, au terme de laquelle on a pu estimer que : ^{p A}

 

^0,95,^{p C}



^A



^{0,01 et p C}



^A



^0,005.

1. a. À l’aide d’une phrase, donner la signification des évènements _CAet _CA.

Ces deux évènements correspondent aux cas où la machine de contrôle commet une erreur.

b. Calculer la probabilité que la machine de contrôle commette une erreur.

2. Calculer la probabilité qu’une pièce soit conforme, sachant qu’elle est refusée.

Partie B :

On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeur la masse d’une pièce en grammes.

On admet que X suit une loi normale de moyenne 7,5 et d’écart typeoù  désigne un nombre réel strictement positif.

1. Après une période de production, la machine de fabrication a subi un dérèglement brutal.

L’écart type  vaut alors 0,015.

On rappelle qu’une pièce est conforme si sa masse, en grammes, est comprise entre 7,495 et 7,505.

Calculer la probabilité qu’une pièce soit conforme.

2. Calculer la valeur de  pour laquelle la probabilité qu’une pièce soit conforme est égale à 0,99.

3. Dans cette question, on suppose quevaut 0,002 et qu’à la suite d’un nouveau dérèglement, la variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne 7,502 et d’écart type 0,002.

Calculer la probabilité qu’une pièce, choisie au hasard, soit conforme.

Partie C :

Les pièces acceptées par la machine de contrôle sont emballées par lots de 100. On prélève au hasard un lot.

La production est suffisamment importante pour que l’on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 pièces.

On considère la variable aléatoire Y qui, à tout prélèvement de 100 pièces, associe le nombre de pièces non conformes.

On admet que la probabilité qu’une pièce soit non conforme, sachant qu’elle a été acceptée, est 0,0053.

1. a. Justifier que la variable aléatoire Y suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

b. Donner l’espérance mathématique de la variable aléatoire Y .

2. Calculer la probabilité qu’un lot ne contienne que des pièces conformes. On donnera une valeur approchée du résultat à₁₀^2près.

Document réponse n°1 , à rendre avec la copie (exercice 1)

Figure 1 : courbe représentative de la fonction ^f

2 3 4 5

-1 -2

-1

0 1

1

x y

Figure 2 : courbe représentative de la fonction ^g

 2/3  4/3 5/3 2 7/3 8/3 3 -/3

-2/3 -

-4/3 -5/3 -2

-7/3 0 /3

1

x y

Figure 3 : courbe représentative de la fonction h

 2 3 4

- -2

-3

-4 0 

1

x y

Document réponse n°2 , à rendre avec la copie ( exercice1 )

Tableau 1

n 0 1 2 3 4 5 6 7

An 0,12500 0,12727 0,13863 0,08318 0,5305 0,02461

n 8 9 10 11 12 13 14 15

An 0,01914 0,03183 0,03781 0,03199 0,02274 0,01148

Tableau 2

n 0 1 2 3 4 5 6 7

Bn 0,14334 0,06200 0,03952 0,02390 0,01287 0,00516

n 8 9 10 11 12 13 14 15

Bn 0,00000 0,00315 0,00472 0,00511 0,00367 0,00242 0,00114

Figure 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

-2 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2

-0,02-1 0 0,020

x y

Figure 5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16

-1 0 0,020

x y

Exercice 1 Partie A :

1. ^Pour tout nombre réel ^t, ^{f t( ) 1}

^La fonction ^gest périodique de période 2 et : ( ) 0 0

( ) 1 2

g t si t

g t si t



 

  

   



Donc pour tout nombre réel ^t, on pose : 1 0 1 0 ( ) ( ) ( )

1 1 0 2

si t h t f t g t

si t



 

   

        Courbe représentative de la fonction h

 2 3 4

- -2

-3

-4 0 

1

x y

2. (a) On a

₀ ¹ ₀ ( ) ¹ ₀² ( ) ¹ ₀ ( ) ^{1 2} ( ) ¹ ₀ ( ) ¹ ₀1 0 ¹ [ ]₀

2 2 2 2 2 2 2

a T f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt dt t

T

     





      

























  

(b) On a, pour n1: ₀

 

0

1 1

cos( )nt dt sin( )nt sin n

n n

 

  

  



 

 

2

0 0 0

0

2 2 1 1

( ) cos( ) 1 cos( ) cos( ) cos( ) sin( )

2 1 sin

T n

n

a f t nt dt nt dt nt dt nt dt nt

T n

a n

n

   

   

 

 

       



   

c) On a, pour n1:

 

     

2

0 0 0

0

2 2 1 1

( )sin( ) 1 sin( ) 0 sin( ) sin( ) cos( )

2

1 1 1

cos cos 0 1 cos( )

T n

n

b f t nt dt nt dt nt dt nt dt nt

T n

b n n

n n n

   

   

 

  

 

        

    

   

3. À l’aide de la question précédente, on a : _{0 0} A a 2

  

et pour n1,

 

 

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

sin ( ) 1 cos( )

1 1 sin ( ) 1 2cos( ) cos( )

2 2 2

1 2 2 cos( ) 1

1 cos( )

2 2

n n

n n

a b n n n

n n

a b n

n n n

    

 

 

 

     

          

            

^{2 2 1 2}



^{1 cos( )}



¹



^{1 cos( )}



2

n n

n

a b

A n n

n  n 

 

  

       .

4.

DOCUMENT réponse 2 Tableau 1

n 0 1 2 3 4 5 6 7

An 0,12500 0,12727 0,15915 0,13863 0,11254 0,08318 0,5305 0,02461

n 8 9 10 11 12 13 14 15

An 0 0,01914 0,03183 0,03781 0,03751 0,03199 0,02274 0,01148

5.

a) ^{2 1} ₀²



^{( )}



^{2 2 1} ₀ ^{/ 41 1}

 

₀^{/ 4 1 1 0,125}

2 2 2 2 4 8

eff eff

h ^ h t dt h ^ dt t ^ 

   





 



     ^.

b) ^{3 2 2}0 1^{2 2}2 ²3

  

²

 

²

 

²



²

0

0,12727 0,13863

0,125 0,13863 0,08984895

n n

P A A A A A







        

c) 2

0,0898489523

0,71879 0,125

eff

P

h   .

Partie B

3

( ) 2 3

H p  p

 .

On définit la fonction ^r , pour tout nombre réel positif  par : ^r

 

^{  H j}

 

^ .

1. Montrer que

 

³ ₂

r  9 4

 

 .

3

( )

2 3

H j j

 

 , donc 3 3 3 ₂

( )

2 3 2 3 9 4

H j j j

  

  

  

2. Pour tout nombre entier naturel ⁿ, on définit le nombre réel positif Bn par :

     

2 2

1 cos( )

3 1 3

1 cos( ) 9 4 9 4

n n

B r n A n n

n n n

n

 

 

      

  ,

DOCUMENT réponse 2 Tableau 2

n 0 1 2 3 4 5 6 7

Bn 0,12500 0,14334 0,09549 0,06200 0,03952 0,02390 0,01287 0,00516

n 8 9 10 11 12 13 14 15

Bn 0,00000 0,00315 0,00472 0,00511 0,00465 0,00367 0,00242 0,00114 Voir figure

Voir figure

4. Une valeur approchée à ₁₀^4 près du carré de la valeur efficace du signal k est k_eff² 0,0516 a) Calculer une valeur approchée à ₁₀^4près du nombre ^Q défini par

^{3 2} 0² 1² 2² 3²

  

²

 

²

 

²



²

0

0,14334 0,

0,125 09549 0,06200 0, 049134

n n

Q B B B B B







         ^.

b) Calculer une valeur approchée à ₁₀^2 près du quotient : 2

0, 0491336957

0,952 0,0516

eff

Q

k   .

DOCUMENT réponse n° 2 Tableau 1

n 0 1 2 3 4 5 6 7

An 0,12500 0,12727 0,15915 0,13863 0,11254 0,08318 0,5305 0,02461

n 8 9 10 11 12 13 14 15

An 0 0,01914 0,03183 0,03781 0,03751 0,03199 0,02274 0,01148 DOCUMENT réponse n°2 Figure 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 -2

0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2

-0,02-1 0 0,020

x y

DOCUMENT réponse 2 Tableau 2

n 0 1 2 3 4 5 6 7

Bn 0,12500 0,14334 0,09549 0,06200 0,03952 0,02390 0,01287 0,00516

n 8 9 10 11 12 13 14 15

Bn 0,00000 0,00315 0,00472 0,00511 0,00465 0,00367 0,00242 0,00114 Figure 5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

-2 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16

-1 0 0

0,02

x y

Exercice 2

On note C l’évènement : « la pièce est conforme ».

On note A l’évènement : « la pièce est acceptée par la machine de contrôle ».

Une étude statistique a été conduite, au terme de laquelle on a pu estimer que : ^{p A}

 

^0,95,^{p C}



^A



^{0,01 et p C}



^A



^0,005.

1.a. _CA = « la pièce est acceptée par la machine de contrôle et no conforme » . CA = « la pièce est non-conforme, est acceptée par la machine de contrôle ».

b. l’événement « la machine de contrôle commette une erreur » est ^E



^CA

 

^{ CA}



Or



^{CA et C}

 

^A



sont deux événements disjoints et forment une partition de l’univers

Donc d’après la formule des probabilités totales on a :

p C

 

A

 

 CA

 

 p C



A

 

 p CA



0,01 0,005 0,015  la probabilité que la machine de contrôle commette une erreur est ^0,015. 2. Calculer la probabilité qu’une pièce soit conforme, sachant qu’elle est refusée.

On pourra utiliser un arbre

   

 

^{0,0050,95 1901 0,0053}

A

p C A

p C p A

     .

   

 

^{0,050,01 0, 2}

A

p C A

p C p A

   

B. 1. On rappelle qu’une pièce est conforme si sa masse, en grammes, est comprise entre 7,495 et 7,505.

Calculer la probabilité qu’une pièce soit conforme

 

^{7, 495 7,5} 7,5 7,505 7,5 1 1

7495 7,505

0,015 0,015 0,015 3 3

p X   p   X    p  T 



^{7495 7,505}



^{2 1} 1 2 0,63 1 1, 26 1 0, 26 p X      3       

2. Calculer la valeur de  pour laquelle la probabilité qu’une pièce soit conforme est égale à 0,99.

 

^{7, 495 7,5} 7,5 7,505 7,5 0,005 0,005

7495 7,505 X

p  X   p       p  T 

        

^p



^{7495X 7,505}



^{0,99 2 }_^0,005_^{ 1 0,99}

  

0,005 0,005 0,005

0,995 2,58 0,00194

 2,58

 

 

      

 

3. Calculer la probabilité qu’une pièce, choisie au hasard, soit conforme.

 

7, 495 7,502 7,502 7,505 7,502 0,007 0,003

7, 495 7,505

0,002 0,002 0,002 0,002 0,002

p X   p   X     p  T  ^p



^{7, 495X 7,505}



^{ p}



^{3,5 T 1,5}



^{ }

 

^{1,5   }



^3,5



^{ }

 

^{1,5  }

 

^{3,5 1}

p



^{7, 495} X ^7,505



0,9332 0,99976 1 0,93296   . Partie C :

1 a. Justifier que la variable aléatoire Y suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 pièces. l’épreuve de Bernoulli est « on répète 100 fois de manière indépendante un tirage avec remise des pièces. La variable aléatoire Y qui, à tout prélèvement de 100 pièces, associe le nombre de pièces non conformes.

On admet que la probabilité qu’une pièce soit non conforme, sachant qu’elle a été acceptée, est 0,0053. Donc la variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètresn100

avec ^p0,0053 et ^q0,9947.

b. Donner l’espérance mathématique de la variable aléatoire Y .

p( A ) =0,95

p ( C )=0,9947

p( A ) =0,05

A

A A

p ( C ) =0,0053 A

p ( C ) =0,0005 A

p ( C ) =0,9995A

p( A C ) =

p( A C ) =0,005

p( A C ) = 0,01

p( A C ) =









E n p  100 0,0053 0,53 

2. Calculer la probabilité qu’un lot ne contienne que des pièces conformes

On a :p X



k



C^knp^k



1p



^{n k} et p X



0



C100⁰ 0,0053⁰



0,9947



¹⁰⁰ 



0,9947



¹⁰⁰0,588