Enoncé G151 (Diophante) Surréservation
Un restaurateur avec les 20 couverts de sa salle, une compagnie aérienne avec 200 sièges à bord de ses avions moyen-courrier et le gérant d’un stade contenant 2000 places constatent que 5% en moyenne des personnes qui ont pris des réservations font faux bond le jour venu. Ils délivrent respectivement 21, 210 et 2100 réserva- tions. Quel est celui des trois qui a la plus forte probabilité de ne pas pouvoir accueillir tous ses clients ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
La loi de probabilité des faux bonds est la loi binômialeB(r,1/20) s’il y ar réservations.
Le restaurant sera insuffisant avec la probabilité (19/20)21= 0,34056, tous les clients se présentant.
L’avion sera insuffisant avec la probabilité de 0 à 9 “no show”
seulement ; un calcul sur tableur fournit la probabilité 0,39258.
L’approximation par la loi normale sous-estime un peu cette pro- babilité : la variable normale de même espérance 210/20 = 10,5 et de même variance 210(1/20)(19/20) = 399/40 sera inférieure à 9,5 (transposition en loi continue de ≤9 pour la variable entière) avec la probabilité 0,374 (correspondant à l’espérance moins 0,32 écart-type). La vraie probabilité est celle que la variable normale n’atteigne pas 9,64.
Le stade sera insuffisant avec la probabilité de 0 à 99 faux bonds ; un calcul sur tableur fournit la probabilité 0,29454. L’approxi- mation par la loi normale est très acceptable : la variable nor- male de même espérance 2100/20 = 105 et de même variance 2100(1/20)(19/20) = 399/4 sera inférieure à 99,5 (transposition en loi continue de ≤99) avec la probabilité 0,291 (correspondant à l’espérance moins 0,55 écart-type).
C’est donc la compagnie aérienne qui prend le plus fort risque de défaillance.
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