FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE

PLAN

1 DERIVATION D’UNE FONCTION D’UNE VARIABLE 2

1.1 INTRODUCTION 2

1.2 NOMBRE DERIVE 3

1.2.1 LA DEFINITION DU PETIT LAROUSSE. ... 3

1.2.2 LA DEFINITION MATHEMATIQUE. ... 3

1.2.3 INTERPRETATION GRAPHIQUE DE LA DERIVEE ... 4

1.2.4 DERIVEE A DROITE, DERIVEE A GAUCHE : ... 4

1.2.5 NOTATION DIFFERENTIELLE DE LA DERIVEE... 5

1.3 LIENS ENTRE DERIVEE ET VARIATIONS D’UNE FONCTION 6 1.4 OBTENTION D’EXPRESSIONS DE FONCTIONS DERIVEES 7 1.4.1 DERIVEES DE FONCTIONS USUELLES ... 7

1.4.2 OPERATIONS SUR LES DERIVEES ... 8

2 DEVELOPPEMENTS LIMITES 11

2.1 PROBLEMATIQUE 11 2.1.1 INTRODUCTION ...11

2.1.2 DEFINITION ...11

2.2 OUTILS 12 2.2.1 DIFFERENTIELLE D’UNE FONCTION D’UNE VARIABLE ...12

2.2.2 ENTRE DERIVEE ET DEVELOPPEMENT LIMITE ...13

2.3 OBTENTION D'UN DEVELOPPEMENT LIMITE 14 2.3.1 FORMULES DE TAYLOR ...14

2.3.2 FORMULE DE MACLAURIN ...17

2.3.3 APPLICATION DE L’ORDRE 1 AU CALCUL APPROCHE RAPIDE ...18

2.4 OPERATIONS ET COMBINAISONS AVEC DES DL 19 2.4.1 LINEARITE ET PRODUIT ...19

2.4.2 COMPOSITION DE FONCTIONS : ...19

2.4.3 INVERSE D’UNE FONCTION ...20

2.4.4 QUOTIENT F / G DE DEUX FONCTIONS, G NE S’ANNULANT PAS AU POINT CONSIDERE ...20

2.4.5 DERIVEE ET PRIMITIVE D’UNE FONCTION ...20

3 FONCTIONS DE DEUX OU PLUSIEURS VARIABLES ERREUR ! SIGNET NON DEFINI.

3.1 INTRODUCTION ERREUR !SIGNET NON DEFINI.

3.2 CONTINUITE (NON EXIGIBLE) ERREUR !SIGNET NON DEFINI. 3.3 DERIVATION : DERIVEES PARTIELLES ERREUR !SIGNET NON DEFINI.

3.3.1 DERIVEES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE ... ERREUR !SIGNET NON DEFINI. 3.3.2 DIFFERENTIELLE ... ERREUR !SIGNET NON DEFINI. 3.3.3 DERIVEES PARTIELLES DU SECOND ORDRE (FONCTIONS DE DEUX VARIABLES) ... ERREUR !SIGNET NON DEFINI.

3.4 EXTREMA LOCAUX (FONCTIONS DE DEUX VARIABLES) ERREUR !SIGNET NON DEFINI.

1 Dérivation d’une fonction d’une variable

1.1 Introduction

Le mathématicien et physicien anglais Newton et le mathématicien et philosophe allemand Leibniz (auquel on doit l’appellation fonction), au tournant des XVII^ème et XVIII^ème siècles, ont étudié le calcul des variations des fonctions ainsi que les propriétés des tangentes aux courbes. C’est ainsi qu’est apparue la dérivation.

Une grandeur « y », exprimée en fonction d’une (ou plusieurs) autre « x » qu’on appellera « variable », n’évolue pas forcément à vitesse constante lorsque sa variable le fait. C’est la recherche de cette vitesse de variation qui a donné mathématiquement la notion de dérivée de la fonction.

On définit le taux de variation V de y entre deux points A et B d’une courbe comme étant le rapport de la variation de y par celle de x : y

V x

=∆

∆

Ce nombre désigne la vitesse moyenne de variation entre A et B, et est de fait la pente du segment [AB]

(ce qui définit également la tangente de l’angle

( )

^i,AB dans un repère adéquat).

On peut se demander quelle est la vitesse instantanée de variation de y, pour une valeur x fixée, c’est à dire quelle est la limite de V (si elle existe) lorsque ∆x tend vers 0, autrement dit : quelle est la pente de la courbe au point A.

Le nombre dérivé de la fonction en x est cette vitesse instantanée au point A, et il dépend de x.

Une dérivée nulle pourra donc (mais pas forcément) signaler un sommet de la courbe (pente nulle en ce point), c’est à dire un maximum ou un minimum pour y.

Le nombre dérivé d’une fonction en un point peut aussi ne pas exister ; par exemple, en cas de non- continuité de la fonction en ce point, ou en cas de « point anguleux » (la pente de la courbe a une certaine valeur immédiatement à gauche du point et une autre valeur immédiatement à droite), ou plus

Le calcul des dérivées trouve de nombreuses applications :

* Recherche d’optimums ;

* Approximation locale d’une fonction par une autre dont les valeurs sont calculables (par exemple : remplacement local d’une courbe par sa tangente) : « développements limités », qui sont utilisés par nos calculatrices pour calculer un sinus par exemple ;

* Études des mouvements mécaniques : vitesses, accélérations… ;

* Études économiques : coût marginal, élasticité, etc.

* Intensité instantanée de courant électrique : lim

0

d d

∆ →

= ∆ =

∆

t

q q

i t t qui est la dérivée de la quantité de charge électrique en fonction du temps ;

* Force Électromotrice Induite ( lim

0

E t

∆ → t

= ∆Φ

∆ dérivée du flux / temps) ;

…

1.2 Nombre dérivé

1.2.1 La définition du Petit Larousse.

Dérivée : Limite, si elle existe, du rapport de l’accroissement d’une fonction à l’accroissement correspondant de la variable, lorsque ce dernier tend vers 0.

1.2.2 La définition mathématique.

Soit f une fonction réelle de variable réelle x définie sur un intervalle ouvert I de ℝ_.

Soit a un réel de l’intervalle I. Lorsque sa variable évolue de a à x, le taux de variation de f est :

( ) ( )

f x f a

V x a

= −

−

Dire que f est dérivable en a , c’est dire que ce taux admet deux limites finies lorsque x tend vers a en lui étant inférieur et en lui étant supérieur, et que ces deux limites sont égales.

Cette limite est alors appelée nombre dérivé de L’emploi de la lettre x comme abscisse du point la fonction f en a, que l’on note f ’(a). A permet une formulation plus simple :

Remarque : avec cette seconde formulation, on dira que pour que f soit dérivable en x, il faut que les limites existent et soient égales, lorsque h tend vers 0 en étant négatif (c’est à dire « par la gauche », ou encore « h tend vers 0^- ») et lorsque h tend vers 0 en étant positif (c’est à dire « par la droite », ou encore « h tend vers 0⁺ »).

On définit « naturellement » la fonction dérivée de f :

fonction notée f ’ qui, à tout réel x de I, associe le nombre f ’(x) (s’il existe).

1.2.3 Interprétation graphique de la dérivée

Les deux notations de la définition :

dérivée en a dérivée en x Dérivée et tangente :

1.2.4 Dérivée à droite, dérivée à gauche :

Étudions sa dérivabilité en x = 0. On a :

• Sur

]

^{0,+ ∞}

[

^:

( ) ( ) ( ) ( )

lim0

0 0

1 1

h

f h f f h f h

h h h ^{→ +} h

+ − = = + ⇒ = +

• Sur

[

^{−1 0 : ,}

[ ( ) ( ) ( ) ( )

lim

h

f h f f h f h

h h h ^{→ +} h

+ −

= = − + ⇒ = −

0

0 0

1 1

Cette fonction n’est donc pas dérivable en x = 0.

Autre question : est-elle dérivable à droite en x = –1 ?

Dans cet exemple, en x = 0, la limite à gauche de

∆y/∆x vaut –1 et la limite à droite vaut 1. On peut donc tracer deux demi-tangentes en O(0,0), mais la fonction n’est pas dérivable en 0.

L’exemple graphique ci-dessus est celui de la fonction d’expression ^{f x}

( )

^{= x3+x2 (courbe}

noire), que l’on peut écrire aussi ^{f x}

( )

^{= x x+1.}

Elle est définie sur

[

^{− + ∞1,}

[

^.

1.2.5 Notation différentielle de la dérivée.

Soit deux points A et M sur la courbe d'une fonction f (dans un domaine où elle est définie et continue, à l'image des figures ci-dessus) et faisons tendre le point M vers le point A.

Permettons-nous d'écrire dx la limite de ∆x lorsque cette dernière tend vers zéro, ainsi que d'écrire dy (ou df) la limite de ∆y lorsque ∆x tend vers zéro.

Dans ces conditions, on peut noter : ^f

( )

^{x y}

′ =dx d

Il s’agit réellement d’une fraction dont numérateur et dénominateur sont des éléments infinitésimaux (infiniment petits mathématiques). De façon imagée nous dirons que dy (resp. df ) est la variation

« infiniment petite » de y (resp. f ) résultant de la variation « infiniment petite » dx de la variable x. Remarque : pour les dérivées d’ordres supérieurs (si elles existent), la notation conventionnelle est la suivante, attention il ne s’agit plus de quotients mais d’une convention ! :

• Dérivée seconde :

( )

²2 ²2

d d

d d d

d d d

y

f y x

f x

x x x

 

 

 

′′ = = =

• Dérivée d’ordre n : (n entier naturel non nul) ^{( )n}

( )

^d_dⁿn ^d_dⁿn

f y

f x

x x

= =

Interprétation graphique :

Nous imaginons un grossissement « infini » au point A sur la troisième figure de la page précédente. Dans cette région infiniment petite, courbe et tangente sont confondues ; aussi la pente de la tangente à la courbe en A, i.e. la dérivée en x, est ici égale au rapport de dy par dx (égale aussi à la tangente de l’angle α qu’elle forme avec l’axe des abscisses, si les échelles sont identiques sur les deux axes, ces derniers étant perpendiculaires).

A

dy dx

α

1.3 Liens entre dérivée et variations d’une fonction

De l’interprétation graphique de la dérivée

[dérivée = pente de la courbe]

, on déduira aisément les propriétés suivantes : (I représente un intervalle de ℝ₎

• Pour tout x ∈ I, f ’(x) > 0 ⇔ f est strictement croissante sur I.

• Pour tout x ∈ I, f ’(x) < 0 ⇔ f est strictement décroissante sur I.

• Pour tout x ∈ I, f ’(x) = 0 ⇔ f est constante sur I.

• Pour un unique a ∈ I, f ’(a) = 0 ⇔ La courbe de f admet un sommet (f(a) est un minimum ou un maximum) OU un point d’inflexion (dans ce cas, de pente nulle).

Les schémas ci-dessous illustrent ce dernier point :

Notre intérêt se porte en particulier sur l’étude du sens de variation d’une fonction. Comme on le voit, l’étude de l’annulation d’une dérivée n’apporte aucun élément à ce sujet.

On devra systématiquement mener l’étude du signe de sa dérivée.

1.4 Obtention d’expressions de fonctions dérivées 1.4.1 Dérivées de fonctions usuelles

Travail personnel : En utilisant la définition et les éléments de calcul des dérivées présentés en pages suivantes, vous serez en mesure de démontrer les dérivées présentées ci-dessous.

f (x) f ’(x) (f o u) (x) (f o u)’ (x)

k (terme constant) 0

x 1 u u’

kx k ku ku’

x² 2x u² 2u’u

x³ 3x² u³ 3u’u²

x^α_{, α}∈ℝ

α .x

^{α−1 uα} α ^{u’uα - 1}

x x

1

2 ^u

u u

′ 2

( )

ln x x

1 lnu u

u

′

e^x e^x e^u u’e^u

( )

sin x ^cos

( )

^{x sin}

( )

_u ^u′cos

( )

^u

( )

cos x ^−sin

( )

^{x cos}

( )

_u ^−u′sin

( )

^u

( )

tan x

( )

^tan

( )

cos x

x = + ²

2

1 1 ^tan

( )

_{u cos}^u2′

( )

_u ^=u′

(

^1+tan2

( )

^u

)

( )

arcsin x

−x² 1

1 ^arcsin

( )

^{u u}

u

′

− ² 1

( )

arccos x

x

− − ² 1

1 ^arccos

( )

^{u u}

u

− ′

− ² 1

( )

arctan x

+x² 1

1 ^arctan

( )

^u ₁₊^u′_u²

Dérivée d’une constante : f (x) = k

( ) ( )

y f x h f x k k

∆ = + − = − =0 et ce ∀x . Donc, pour tout x nous avons : lim

h

y

→ ∆ =x

∆

0 0

( ) ( )

f x =k ⇒ f′ x =0

Dérivée de la fonction identité : f (x) = x

( ) ( )

y f x h f x x h x h

∆ = + − = + − = et ce ∀x . Donc, pour tout x nous avons : lim lim lim

h h h

y h

x h

→ ∆ = → = → =

∆

0 0 01 1

( ) ( )

f x =x ⇒ f′ x =1

1.4.2 Opérations sur les dérivées

Les exercices d’autonomie vous proposent de démontrer, en appliquant la définition de la dérivée d’une fonction, les relations suivantes, qu’il convient de bien connaître pour calculer les dérivées des fonctions diverses que vous rencontrerez en mathématiques, mais aussi en sciences et en techniques de l’ingénieur.

Soient u et v deux fonctions dérivables dont les dérivées respectives sont u’ et v’.

• Dérivée d’une fonction multipliée par une constante :

( ) ^{λ u ′ = λ . u ′}

• Dérivée de la somme de deux fonctions :

( ^{u + v} ) ^{′ = + u ′ v ′}

• Dérivée du produit de deux fonctions :

( ) ^{uv ′ = u v ′ + uv ′}

• Dérivée de l’inverse d’une fonction :

v

v v

′ ′

  = −

   

²

1

• Dérivée du quotient de deux fonctions :

u u v uv

v v

′ ′ − ′

  =

   

²

• Dérivée de la composée de deux fonctions :

( ^{f u} ) ^{′ = × u ′} ( ^{f ′ u} )

• Dérivée de la réciproque d’une fonction :

( )

¹ 1

f 1

f f

−

′ =

−

′

Dérivée des fonctions puissances : f (x) = x

ⁿ

n sera ici un entier naturel. Ce paragraphe est aussi l’occasion de revoir un raisonnement par récurrence. On admettra en outre que (u×v)’ = u’×v + u×v’.

f (x) = x² = x.x, nous pouvons appliquer l’opération de dérivation d’un produit de deux fonctions avec u(x) = v(x) = x et donc u’(x) = v’(x) = 1. Donc : f ’(x) = 1×x + x×1 = 2x.

f (x) = x³ = x².x, appliquons l’opération de dérivation d’un produit de deux fonctions avec u(x) = x² et v(x) = x et donc u’(x) = 2x et v’(x) = 1. Donc : f ’(x) = 2x×x + x²×1 = 3x².

À partir de ces deux première étapes, nous pouvons conjecturer une formule générale :

« pour tout n » : ^{f x}

( )

^{=xn ⇒ f′}

( )

^{x =n x. n−1}. La démonstration par récurrence consiste à établir l’initialisation de la proposition (est-elle vraie pour la plus petite valeur de n ?) puis à démontrer l’implication suivante : si elle est vraie au rang n, alors elle l’est au rang n+1 :

f (x) = xⁿ⁺¹ = xⁿ.x, nous pouvons appliquer l’opération de dérivation d’un produit de deux fonctions avec u(x) = xⁿ et v(x) = x et donc u’(x) = n.x^n-1 (par hypothèse que la proposition est vraie au rang n) et v’(x) = 1. Donc : f ’(x) = n.x^n-1×x + xⁿ×1 = (n+1).xⁿ :

si la proposition est vraie au rang n, alors elle l’est au rang n+1. Elle est récurrente.

Initialisation (avec x²) et récurrence montrent « par récurrence » que pour tout entier naturel n :

( )

ⁿ

( ) ^.

ⁿ

f x = x ⇒ f ′ x = n x

⁻¹

Dérivée des fonctions puissance inverse : f (x) = 1/x

ⁿ

Associons ce que nous venons de trouver sur les puissances positives à la dérivation admise ici de l’inverse d’une fonction :

( )

^. 2 ¹ 1

n

n n

n x n

f x

x x

−

′ = − = − + .

( )

n

( )

n

f x f x n

x ′ x ⁺

= 1 ⇒ = − ₁

On peut aussi l’écrire sous la forme suivante :

^{f x} ( ) ^{= x}

⁻ⁿ

^{⇒ f ′} ( ) ^{x = − n x .}

^{− −n 1}

(généralisation de la formule dérivation de ^{f x}

( )

^=xnpour les exposants entiers négatifs)

Dérivées des puissances fractionnaires : f (x) =

^q√x^p

= x

^p/q

Vous démontrerez (après avoir étudié les pages suivantes) aussi que la formule s’applique aussi dans le cas des exposants fractionnaires ; ainsi on retiendra :

( )

^qp

( ) ^p

^pq

f x x f x x

q

′

−

= ⇒ =

¹

Par exemple, dérivée de la racine carrée avec 1 2 p

q = :

( ) ( )

¹

f x x f x 2

′ x

= ⇒ =

Dérivée d’une fonction composée : f o u

Soit un intervalle U du domaine de définition de u et un intervalle F inclus dans celui de f et dans le domaine d’arrivée de u. On définit la fonction composée f^ou par celle qui, à x de U, associe la valeur de f s’appliquant à u(x) :

( ) ( ) ( )

U

^u

F

^f

x ∈  → u x ∈  → = y f u x

( ) ( )

U

^{f u}

x ∈ → = y f u x

La dérivée de cette fonction est calculée comme suit :

(

^{f u}

)

^{′= ×u′}

(

^{f′ u}

)

Ceci peut se montrer facilement en utilisant la notation différentielle :

(

^{f u}

) ( )

^{x y y u f}

( ) ( )

^{u u x f}

(

^{u x}

( ) )

^{u x}

( )

x u x

′ = d = d ×d = ′ × ′ = ′ × ′

d d d

Note : Bien retenir ce principe de dérivation car la plupart des fonctions rencontrées en sciences et en techniques de l’ingénieur sont des fonctions composées.

La moitié de droite du tableau page 7 montre quelques dérivées usuelles de fonctions composées.

Dérivée de la fonction réciproque d’une fonction f

Soit une fonction f bijective d’un intervalle I vers un intervalle J.

La réciproque de f est la fonction notée f ^-1 , de J vers I, telle que f ^-1o f = Id. Autrement dit : pour tout x ∈ I, y = f (x) ⇔ x = f ^-1(y)

et pour tout y∈J, f ^-1(y) = x⇔y = f (x).

En utilisant la notation différentielle nous avons :

( ) ( )

^y

f x y x

′ = ′ =dx

d et pour la réciproque ^f−1′

( )

^{y =x y′}

( )

^=d_d^x_y

( ) ( ) ( ( )

)

1

1

1 1

f y

f x f f y

−

′ = = −

′ ′

Exemple 1 :

De [0 ; +∞[ vers lui-même, les fonctions « carré » ( f ) et « racine carrée » ( f ^-1) sont réciproques.

( )

( ) ( )

( ( ) ) ^{( )}

2

1

1 1

1 1 1 1

2 2

y f x x

f y

f x x

f f y y

x f y y

−

−

−

 = =

 ′ = = = =

 = = ′ ′



;

Ou encore : les fonctions exp ( f , de ℝ vers ]0 ; +∞[ ) et ln ( f ^-1 , de ]0 ; +∞[ vers ℝ) sont réciproques.

( ) ( )

^ln

( ) ( ( ) ) ^{( )}

x

x

y f x

f y

x f y y f f y f x y

−

− −

 = =

 ′ = = = =

 = = ′ ′



1

1 1

e 1 1 1 1

e

Exemple 2 : (ne nommons pas nos fonctions, mais contentons-nous des notations x et y) Soit

1

n n

y= x =x , n entier naturel, dont l’expression réciproque est x=yⁿ. Nous savons que d ¹

d x n

y ny

= − , donc en inversant le rapport :

( )

1 1

1 1

1 1 1

d 1 1 1 1

d

n

n n

n n

y x

x ny n

nx nx

−

− − −

= = = =

2 Développements limités

2.1 Problématique 2.1.1 Introduction

L’idée générale de cette partie du chapitre est de donner les moyens de calculer une valeur approchée d’une valeur f (x) d’une fonction donnée dont on ne sait pas calculer toutes les valeurs exactes. Par exemple, il n’existe pas de formule pour calculer ln(x) ou exp(x) ou sin(x) ou même √x dans un cas général (la figure ci- dessous – courbe noire – prend pour exemple f (x) = x² - lnx).

Par contre, il existe des points A(a, f (a)), de la courbe de telles fonctions, dont les coordonnées sont connues (dans l’exemple graphique ci-contre, le point A(1,1) est sûr).

À l’aide de la connaissance d’un tel point A, on souhaite évaluer l’ordonnée f (x) d’un autre point de la courbe, ayant une abscisse x plus ou moins proche de a.

Une première approximation consiste à trouver la « meilleure » droite qui, au niveau du point A, représente la courbe (passage au point A et même pente). Cette droite est la tangente en A, représentant une fonction affine ayant au niveau du point A même dérivée que f, et la valeur « approx1 » est la meilleure approximation possible de f (x) … par ce moyen-là.

En seconde approximation, on trouvera la « meilleure » parabole (passage au point A, même pente et même courbure que la courbe de f ) : courbe d’une fonction polynôme du second degré, d’expression ax²+bx+c qui, au niveau du point A, possédera la même dérivée (graph. : même pente) et la même dérivée seconde (graph. : même courbure) que f. La valeur « approx2 » sera, en général, une

approximation de f (x) meilleure que « approx1 » (et on pourra s’éloigner un peu plus de A en gardant une précision acceptable).

On généralise ensuite la recherche d’une approximation polynômiale (degré n) de f (x) aussi précise que possible pour x aussi loin qu’on veut de a (voir plus loin : formules de Taylor).

2.1.2 Définition

Le développement limité de f en a à l’ordre n est justement une écriture de f (x) sous la forme d’un polynôme de degré n, additionné d’un reste :

( ) ( ) ( ) ( )

ⁿ

f x = P x + − x a ε x

où P(x) est un polynôme de degré n et

ε

une fonction de limite 0 quand x tend vers a.

P(x) est appelé partie régulière de ce développement limité et donne à calculer la valeur approchée cherchée, et (x - a)ⁿ

ε

(x) est le « reste » qui est d’autant plus faible que n est grand (au moins à partir d’un certain rang) ou que x est proche de a.

approx1 approx2

f (x)

x a

1 A

2.2 Outils

2.2.1 Différentielle d’une fonction d’une variable

La définition du Petit Larousse

Différentielle : Fonction linéaire à laquelle peut être assimilée une fonction différentiable en un point donné (fonction qui peut être assimilée à une fonction linéaire de la variable quand celle-ci tend vers le point donné).

Calcul Différentiel : Partie des Mathématiques qui traite des propriétés locales des fonctions, de leur comportement pour des variations infiniment petites des variables.

La définition mathématique

Dire que la fonction f définie sur un segment ou intervalle I de ℝ est différentiable en a de I, c’est dire qu’il existe un nombre λ et une fonction ε tels que :

( ) ( )

^{. .}

( )

f a+ −h f a =λh+hε h ^{et lim}_h→0

^ε ( )

^{h =0}

Lorsque h est infinitésimal, ^h.ε

( )

^h devient négligeable devant λ^{h ;}

la fonction L telle que ^{L h}

( )

^=λ.h est la différentielle de f en a, et L(h) se note

f

a

d

^.

Lien entre dérivée et différentielle

Le nombre dérivé de f en a est bien entendu :

( )

_lim

( ) ( )

0 h

f a h f a f a

→ h

′ = + − Donc, si f est différentiable en a, il vient :

( )

^lim_{h 0} ^{h h ( )h lim}_{h 0} ^{h ( )h lim}_{h 0}

( ( ) ( )

^.

)

f a signe h h

h h

λ ε λ ε λ ε λ

→ → →

′ = + = + = + =

^{f ′} ( ) ^{a = λ}

Ainsi,

^{f a} ( ^{+ − h} ) ( ) ^{f a = h f . ′} ( ) ^{a + h . ( ) ε h}

^,

* La figure ci-contre illustre ce qui est formulé ici :

Pour se décaler de H vers B (et donc estimer l’ordonnée de B à partir de celle de A), on peut parcourir HC (décalage vertical imprimé par la tangente en A) puis parcourir CB (pour corriger le défaut de hauteur car la tangente ne nous a pas conduits assez haut).

Le résultat majeur est la constatation suivante : si h tend vers zéro, alors CB devient négligeable devant HC, et donc l’ordonnée de C est à peu près égale à celle de B : la tangente et la courbe sont presque confondues.

Conclusion : si les abscisses de A et B sont suffisamment proches, alors f (a) + h.f ’(a) est une bonne approximation (on dira « au premier ordre ») de f (a+h).

* epsilon ?

( )

.

hε h permettant de calculer un décalage vertical, et h étant un décalage horizontal, ^ε

( )

^{h est}

forcément une pente. Il s’agit de la correction de pente à appliquer à [AC] pour se positionner sur [AB].

* ∆y = f ’(a).∆x + h.ε(h) donne après passage à la limite (h tend vers zéro) : df = dy = f ’(a).dx.

et on retrouve la justification de l’écriture d’une dérivée comme le rapport de deux différentielles.

2.2.2 Entre dérivée et développement limité

Théorème des accroissements finis :

Soit une fonction f de classe C¹ sur un intervalle [a ; b] et dérivable sur ]a ; b[.

Il existe au moins un nombre c ∈ ]a ; b[ tel que : ^{f c}

( ) ( ) ( )

^{f b f a}

b a

′ = −

−

L’égalité affirmée dans ce théorème peut s’écrire ainsi : f (b) = f (a) + (b - a).f ’(c).

Théorème de Rolle (corollaire du théorème précédent) :

Soit une fonction f définie et continue sur un intervalle [a ; b] et dérivable sur ]a ; b[, avec f (a) = f (b).

Il existe au moins un nombre c ∈ ]a ; b[ tel que ^f′

( )

^{c =0.}

Comme précédemment ce théorème se met facilement en évidence sur une représentation graphique.

Le théorème des accroissements finis constitue la base de la démonstration par récurrence de la formule de Taylor-Lagrange ci-dessous, qui fait obtenir les développements limités d’une fonction.

a c b

f (a) (b - a) f '(c)

2.3 Obtention d'un développement limité 2.3.1 Formules de Taylor

Formule de Taylor-Lagrange à l’ordre n+1 :

Si une fonction f définie sur un intervalle [a ; x] admet des dérivées successives f ’, f ’’, …, f ⁽ⁿ⁾ continues sur cet intervalle et une dérivée d’ordre n+1 définie sur l’intervalle ]a ; x[,

alors il existe au moins un nombre c ∈ ]a ; x[ tel que :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

^{( )}

( )

! ! ... ! !

n n

n n

x a x a x a x a

f x f a f a f a f a f c

n n

+

− ′ − ′′ − −

+

= + + + + +

+

2 1

1

1 2 1

On remarque que tous les termes de ce développement sont calculables, à l’exception du dernier, ce fameux reste, pour lequel on connaît l’existence de c… mais pas sa valeur.

Cette formule est donc utilisée pour calculer des valeurs approchées de f (x) lorsqu’on a une connaissance exacte de notre fonction en a (pour lequel la valeur de f et de ses dérivées successives sont connues) - par exemple, la fonction ln et ses dérivées sont parfaitement connues en a = 1.

On peut noter, pour simplifier les écritures : x− = ∆a x et c a− = ∆α. x avec ^α∈

] [

^{0 1;}

La formule de Taylor-Lagrange s’écrit alors :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

^...

( )

( )

( ) ( ) ( )

^{( )}

(

^.

)

! ! ! !

2 1

1

1 2 1

n n

n n

x x x

f a x f a x f a f a f a f a x

n n α

+

∆ ∆ ∆ +

∆ ′ ′′

+ ∆ = + + + + + + ∆

+

Les valeurs ^{f( )k}

( )

^{a ,0≤ ≤k n, et f(n+1)}

(

^{a+ ∆α. x}

)

sont finies ; de plus, x étant choisi, ∆x est une quantité fixe. On peut dès lors affirmer (en vertu des théorèmes de comparaison de croissance entre puissances et factorielles) qu’à partir d’un certain rang n les termes successifs de la formule présentent des valeurs décroissantes, et que pour n suffisamment grand, le reste devient négligeable devant l’avant-dernier terme. Ceci mène à la formulation suivante, légèrement différente :

Formule de Taylor-Young à l’ordre n :

Si une fonction f définie sur l’intervalle [a ; x] admet des dérivées successives f ’, f ’’, …, f ⁽ⁿ⁾ continues sur cet intervalle et une dérivée d’ordre n+1 au réel a,

alors il existe une fonction

ε

définie sur ]a ; x] qui tend vers 0 quand x tend vers a telle que :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ^... ( )

( )

( ) ( ) ( )

! ! ! !

2

1 2

n n

x a x a x a

n

x a

f x f a f a f a f a x

n n ε

− ′ − ′′ − −

= + + + + +

Cette formule dit, comme l’implique la formule de Taylor-Lagrange, que pour n suffisamment grand, le reste (dernier terme) est négligeable devant l’avant-dernier terme, qui est lui-même négligeable devant le précédent, etc.

De plus, quel que soit n (même faible), le reste est négligeable pour x suffisamment proche de a.

Le reste de Young pourra s'écrire

(

^x−a

) ( )

ⁿ

^ε

^x sans altérer la véracité de la formule.

reste de Lagrange

reste de Young

La formule de Taylor-Young est en adéquation avec la définition d’un développement limité, aussi on retiendra :

Soit une fonction f n fois dérivable et dont les dérivées successives sont continues dans un intervalle qui englobe a et x.

La somme

est une approximation aussi précise que l’on veut de f (x) pour tout x, où ∆x = x – a, pour peu qu’on choisisse n suffisamment grand.

Cette somme, polynôme de degré n en x que nous noterons Pn , est par définition la

partie régulière du développement limité de f en a à l’ordre n.

* La figure ci-dessous permet de comprendre le principe du développement limité à l’ordre 1.

À l’ordre 1, on peut écrire :

^{f x} ( ) ^{= f a} ( ) ( ^{+ − x a} ) ( ) ( ^{. f ′ a + − x a} ) ( ) ^{. ε}

¹

^x

( ) ( ) ( )

f a + −x a f a′ devient une valeur approchée de f (x), « approx1 » sur la figure ;

( ) ( ) ( )

y=f a + −x a f a′ est d’ailleurs l’équation de la tangente en A.

f (x)

approx1

x f (a)

a

(x – a).f ’(a)

( ) ( ) ( ) ( )

^...

( )

( )

( )

! ! !

n

x x n

f a x f a f a f a

n

∆ ∆

∆ ′ ′′

+ + + +

2

1 2

* Pour utiliser une valeur approchée plus précise (en général) de f (x), on peut réaliser un développement limité de f à l’ordre 2 :

( ) ( ) ( ) ( ) (

^{x a}

) ( ) ( ) ( )

^.

f x = f a + −x a f′ a + ⁻ f′′ a + −x a

ε

x

2

2

2 2

À l’ordre 2, la valeur approchée est une expression du second degré en x, c’est à dire que graphiquement on n’utilise plus une droite (la tangente) pour modéliser la courbe comme à l’ordre 1, mais une parabole.

( ) ( ) ( ) (

^x ₂^a

)

²

( )

y= f a + x−a f′ a + − f′′ a est l’équation de la parabole tangente à la courbe (en A : même valeur, même pente et même courbure que celles de la courbe).

Exemple : écrire le développement limité en 1 et à l’ordre 2 de la fonction ln

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

ln

f x x f x f x

x x

f f f

′ ′′

= = = −

′ ′′

= = = −

2

1 1

1 0 1 1 1 1

La formule de Taylor-Young nous permet d’écrire :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ln . x . .

x = + −x + ⁻ − + −x ε x

2

1 2

0 1 1 1 1

2

( ) ( ) ( )

ln x = − +3 x−1x²+ −x ².ε x

2 1

2 2

La partie régulière est un polynôme du second degré, qui donne de bonnes approximations de ^ln

( )

^{x pour}

des x pas trop éloignés de 1.

Il s’agit de l’équation de la parabole tangente à la courbe du logarithme au point (1, 0).

Un petit inconvénient dans ce procédé : il faut développer des puissances successives de (x – a), d’où le point 2.3.2 suivant.

f (x) approx2

a x

f (a) (x – a)²

2 f ’’(a)

(x – a).f ’(a)

2.3.2 Formule de MacLaurin

Cas particulier de la formule de Taylor dans le cas où a = 0 : Formule de MacLaurin à l’ordre n :

Si une fonction f définie sur l’intervalle [0 ; x] admet des dérivées successives f ’, f ’’, …, f ⁽ⁿ⁾ continues sur cet intervalle et une dérivée d’ordre n+1 en 0,

alors il existe une fonction

ε

définie sur ]0 ; x] qui tend vers 0 quand x tend vers 0 telle que :

( ) ( ) ( ) ( ) ^...

^{( )}

( ) ( )

! ! ! !

2

0 0 0 0

1 2

n n

x x x

n

x

f x f f f f x

n n ε

′ ′′

= + + + + +

Exemple 1 : reprenons l’exemple de la page précédente.

Plutôt que d’écrire ln(x) pour x plus ou moins proche de 1, écrivons ln(1+x) pour x plus ou moins proche de 0, et cherchons le développement limité en 0 de la fonction ^{f x: ֏ln}

(

^1+x

)

^:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

ln

f x x f x f x

x x

f f f

′ ′′

= + = = −

+ +

′ ′′

= = = −

2

1 1

1 1 1

0 0 0 1 0 1

La formule de MacLaurin nous permet d’écrire le DL de f à l’ordre 2 :

( ) ( ) ( ) ( )

ln . x . x

x x xε x x x ε x

+ = + + ² − + ² = − ² + ²

1 0 1 1

2 2

La partie régulière est un polynôme du second degré, qui donne de bonnes approximations de ^ln

(

^1+x

)

pour des x pas trop éloignés de 0.

Il s’agit de l’équation de la parabole tangente à la courbe du logarithme au point (1, 0). C’est bien entendu la même parabole que celle de l’exemple précédent, mais son équation a changé du fait du changement de variable x→ +1 x (l’axe des ordonnées a avancé d’une unité ici).

Exemple 2 : DL complet d’une fonction polynômiale

Considérons la fonction d’expression ^{f x}

( )

^{=4x3+2x2+ +x 1.}

Nous obtenons les dérivées successives suivantes :

( ) ( ) ( )

^{( )}

( )

( ) ( ) ( )

^{( )}

( )

, ,

k

k

f x x x f x x f x f x k

f f f f k

′ = + + ′′ = + ′′′ = = ≥

′ = ′′ = ′′′ = = ≥

12 2 4 1 24 4 24 0 4

0 1 0 4 0 24 0 0 4

Reportons ceci dans la formule de Mac Laurin à un ordre supérieur ou égal à 4 et nous obtenons :

( ) ( )

^{. . . ...}

! ! !

x x x

f x = f 0 + 1+ ² 4+ ³ 24 0+ + + = + +0 1 x 2x²+4x³

1 2 3

On retrouve bien la fonction polynomiale de départ (le but était de montrer la cohérence d’une formule de Taylor, dont le but est de trouver le meilleur polynôme pour approcher une fonction).

Note : grâce à cette formule vous pourrez calculer e, base des logarithmes népériens, en vous rappelant que la dérivée de la fonction exponentielle est égale à elle-même. Vous devez obtenir une somme qui converge très rapidement vers 2,7182818… Vous pourrez vous amuser à le vérifier à l’aide de votre tableur.

Remarque : Etant donné que le reste est une valeur qui tend vers zéro lorsque x tend vers zéro bien sûr mais surtout lorsque n tend vers l’infini, plus l’ordre employé est important et plus la valeur approchée

Exemple 3 : quelques exemples de développements limités en 0, à retrouver :

( ) ^{: ...} ( )

!

1 1

2

DL 0 1

1 1

n n n

x x x x x

x x n ε

 

= + + + + +

 −  −

 

( )( ) ^{exp ...} ( )

! !

2 3

DL 0 :e 1

2 6

n n

x n

x x x x

x x

n n ε

= + + + + + +

( )( ) ^{cos : cos}

^{2 4}

^... ( ) ( ) ( ) ( )

²

^!

²

^!

DL

2

0 1 1

2 24 2 2

n n

n n

x x x x

x x

n n ε

= − + + + − +

( )( ) ^{sin : sin}

^{3 5}

^... ( ) ( ) ( ) ( )

^{2 1}

^!

^{2 1}

^!

2 1

DL 0 1

6 120 2 1 2 1

n n

n n

x x x x

x x x

n

⁺

n

⁺

ε

+

= − + + + − +

+ +

2.3.3 Application de l’ordre 1 au calcul approché rapide

Le développement limité à l’ordre 1 est très utile pour établir des formules de calcul approché rapide au voisinage immédiat d’un nombre a. Ces formules aisées à mémoriser sont très commodes pour l’estimation par calcul mental d’ordres de grandeur.

Nous reprenons ^{f x}

( )

^{= f a}

( ) (

^{+ −x a f}

) ( )

^{′ a +reste} et considérons, pour x suffisamment proche de a, le reste comme négligeable :

^{f x} ( ) ^{≈ f a} ( ) ( ^{+ − x a f} ) ( ) ^{′ a}

^.

Travaillons ici avec a = 1 et posons x = 1 + h (∆x est noté h pour en simplifier l’écriture).

Ceci permet d’établir la formule générale de calcul approché au voisinage de 1 :

( ) ( ) ^. ( ) ^avec

f 1 + h ≈ f 1 + h f ′ 1 h << 1

Exemple 1 : Estimer

(

^1+h

)

²

Il vient :

(

^1+h

)

^{2≈ +1 2h avech<<1}

Exemple 2 : Estimer 1+h

( ) ( )

f x x

f x

x

=

′ = 1 2

( ) ( )

f f

=

′ =

1 1

1 1 2

^{1+ ≈ +}α ¹ α avecα ^<<1 2

Travail personnel : En appliquant ce principe, vous pourrez facilement établir les formules d’estimation suivantes valables avec h<<1 :

(

^h

)

^{n nh ; n h h ; ln}

(

^h

)

^h

+ ≈ + + ≈ +n + ≈

1 1 1 1 1

2.4 Opérations et combinaisons avec des DL

Soit Pn( f ) le polynôme de degré n partie régulière du DL de f à l’ordre n. On admettra :

2.4.1 Linéarité et produit

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

n . n n

n n n

P f g P f P g

P fg P f P g n

λ + =λ +

= × arrêté au degré

Exemple : on sait qu’en zéro DL4

( )( )

^cos 0 ^{: cos} 1 ^{2 4 4} 1

( )

2 24

x x

x= − + +x ε x et que

( )( )

^{sin : sin 3 4}

( )

4 2

DL 0

6

x= −x x +x ε x .

Le DL de leur produit, à l’ordre 4, résulte du produit de ces deux DL

(on n’écrit que les termes du développement de degré inférieur ou égal à 4) :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

sin .cos x x x

x x x x x x x

x x x

x x x x x x

ε ε

ε ε

  

= − +  − + + 

  

= − − + = − +

3 2 4

4 4

4 2 1

3 3 3

4 4

DL 1 arrêté au degré 4

6 2 24

2

2 6 3

On remarque d’ailleurs qu’il s’agit bien de ^sin

( )

4

DL 2 2

 x 

 

 .

2.4.2 Composition de fonctions :

soit f admettant un DLn en a et g admettant un DLn en f (a). Alors (en a) :

( ) ( ) ( ( ) )

n n n

P g f =P g P f arrêté au degré n Exemple : trouver ^DL2

(

^{ln cos}

(

^x

) )

^{en zéro}

On peut aussi utiliser le DL en zéro de ln(1 + X) en posant X = cosx – 1 (qui effectivement tend vers 0 quand x tend vers 0) :

( )

^{: cosx− = −x2 +x2}ε

( )

^x

2 1

DL 0 1

2 et DL 02

( ) (

^{: ln} 1^+X

)

^{= −X X2 +X2}ε2

( )

^X

2 , d’où en 0 :

( )

( )

( )( ) ( ) ( )

ln cos

ln cos : ln cos x

x x

P x

x x xε x

 

− 

 

= − − = −

= − +

2 2

2 2

2

2 2 2

2 arrêté au degré 2

2 2 2

DL 0

2

( )

cos x

x= −1 ² +x²ε₁ x

2 ^{lnx= − + x− x2+ −}

(

^x

) ( )

^2.ε2 ^x

3 1

2 1

2 2

( )

( ) ^{( ) ( )}

( ) ( )

ln cos : ln cos x x .

x x x x

x x

x x x x x

ε

ε ε

   

= − +  − −  −  +

   

= − + − − + + = − +

2 2 2

2 2

arrêté au degré 2

2 2

2 2 2

3 1

DL 2 1 1

2 2 2 2

3 1

2 2 2 2 2

2.4.3 Inverse d’une fonction

On utilisera la formule :

0

1 1

n k n

k

P x

x =

 =

 − 

 

∑

(DL en 0)

et sa composition avec une fonction qui s’annule en x = 0.

Exemple : ^P4

(

^cos

( )

^x

)

^{1 x}₂² ₂₄^{x4 et P4 g x}

( )

₁^{1 1 x x2 x3 x4}

x

 

= − +  = = + + + +

−

  .

Le premier polynôme donne ^P4

(

^{f x}

( )

^{= −1 cos}

( )

^x

)

^{= x}₂^{2 −}₂₄^x4

et par composition g o f on obtient

( ) ( )

cos

cos

2 3 4

2 4 2 4 2 4 2 4

4

2 4

4

1 1 arrêté au degré 4

2 24 2 24 2 24 2 24

1 5

1 2 24

x x x x x x x x

P x

x x

P x

         

= + − + − + − + −

         

         

 

 

= + +

 

 

 

2.4.4 Quotient f / g de deux fonctions, g ne s’annulant pas au point considéré

le polynôme est le résultat de la division des deux polynômes de départ suivant les puissances croissantes et à l’ordre donné.

2.4.5 Dérivée et primitive d’une fonction

* Le polynôme d’une primitive est une primitive du polynôme (attention à ajuster la constante).

Cela permet en particulier de prouver que sin est une primitive de cos et que cos en est une de –sin.

* Le polynôme de la dérivée est (sous réserve de continuité) la dérivée du polynôme