Les suites numériques.

Arthur LANNUZEL

le 28 Novembre 2008

http ://mathutbmal.free.fr

Suites num´ eriques

1 Rappels

1.1 D´ efinition - exemples.

D´efinition 1.1 On appellesuite num´erique r´eelle, toute application de{p, p+1, p+2, ..., p+

k, k∈N} (p∈N) vers R. Une telle suite est dite d´efinie `a partir du rang p.

On la note U_n = (u_n)_n≥p et u_n est appel´e terme g´en´eral de la suite U_n = (u_n)_n≥p.

Remarque 1.2 Tous les r´esultats qui suivent n’utilisant pas la relation d’ordre surRappliqu´ee aux termes de la suite sont valables pour des suites complexes (i.e. avec u_n∈C).

Exemples 1.3 i) Suite arithm´etique de raison r ∈R et de premier terme a∈R : (u_n)_n∈N, avec u_n =a+n.r.

Montrer que S_n =P_k=n

k=1 u_k= ⁿ₂.(u₁+u_n).

ii) Suite g´eom`etrique de raison q ∈R^∗ et de premier terme a∈R : (u_n)_n∈N, avec u_n=a.qⁿ.

Montrer que pour q6= 1 et n >1, S_n =P_k=n

k=1u_k =u₁.^1−q_1−qⁿ.

1.2 Croissance et d´ ecroissance.

D´efinition 1.4 Une suite (u_n) est dite : i) croissante (resp. strictement croissante) ssi

∃n₀ ∈N/(n ≥n₀) =⇒u_n+1 ≥u_n (resp. u_n+1 > u_n).

ii) d´ecroissante (resp. strictement d´ecroissante) ssi

∃n₀ ∈N/(n ≥n₀) =⇒u_n+1 ≤u_n (resp. u_n+1 < u_n).

iii) monotonessi elle est croissante ou d´ecroissante.

Exemples 1.5 1) La suite de terme g´en´erale un= 1−_n+1² est croissante.

2) La suite de terme g´en´eral u_n = sin(_3n^π ) est d´ecroissante.

Remarque 1.6 Une suite (u_n) telle que ∀n ≥n₀, u_n+1 =u_n est dite stationnaire.

1.3 Suites born´ ees.

D´efinition 1.7 Une suite (un)n≥p est dite : i) major´ee ssi

∃M ∈R/∀n≥p, u_n≤M.

ii)minor´ee ssi

∃m∈R/∀n ≥p, m≤u_n. iii) born´ee ssi elle est `a la fois major´ee et minor´ee

Exemples 1.8 Soit la suite de terme g´en´eral u_n= 1− _n¹2.

3 est majorant de cette suite. Sa borne sup´erieure (le minimum de ses majorants) est 1.

Proposition 1.9 Une suite d´ecroissante (resp. croissante) est major´ee (resp. minor´ee).

Preuve.

Soit (u_n)_n≥p d´ecroissante. Alors il existe n₀ ∈ N tel que ∀n ≥ n₀, u_n ≤ u_n0. Donc pour tout n≥p, on a u_n≤M :=max{u_p, u_p+1, ..., u_n0}(ce maximum existe car l’ensemble est fini).

CQFD

1.4 Suites extraites.

D´efinition 1.10 Soit une suite (u_n)_n≥p. On appelle suite extraite de (u_n)_n≥p toute suite (v_n)_n≥p avec v_n=u_φ(n) o`u φ:N−→N est une application strictement croissante.

Exemples 1.11 (u2n),(u_n²) sont deux suites extraites de (un).

Si (u_n)_n∈N^∗ est d´efinie par u_n = _n¹ alors (v_n)_n∈N^∗ d´efinie par v_n=u_n² est la suite (_n¹2)_n∈N^∗

2 Suites convergentes (ou divergente vers ±∞).

2.1 D´ efinitions.

D´efinition 2.1 Soit une suite r´eelle (u_n)_n≥p.

i) Soit l ∈R. On dit que (u_n) converge vers l ou a pour limite l ssi

∀² >0,∃N ∈N/∀n ≥N,|un−l| ≤².

Dans ce cas la suite est dite convergente (vers l) et on note limn−→+∞un=l.

Si la suite n’est convergente vers aucun l ∈R alors la suite est dite divergente.

ii) On dit que (u_n) diverge vers +∞ (ou parfois converge vers +∞) ssi

∀M >0,∃N ∈N/∀n≥N, u_n≥M.

iii) On dit que (u_n) diverge vers −∞ (ou parfois converge vers −∞) ssi

∀M <0,∃N ∈N/∀n≥N, u_n≤M.

Exemples 2.2 i) Soit (u_n) d´efinie par u_n=a.qⁿ avec a, q∈R.

ii) Soit (un) d´efinie par un =a+n.r avec a, r∈R.

iii) Soit (u_n) d´efinie par u_n = ⁿ⁺¹_n .

2.2 Propri´ et´ es des suites convergentes.

1) Si une suite est convergente sa limite est unique.

Preuve.

Soit (u_n) admettant 2 limites l₁ ∈R etl₂ ∈R.

Soit ² >0 alors,∃N₁ ∈N/∀n ≥N₁,|u_n−l₁| ≤ ^²₂ et∃N₂ ∈N/∀n ≥N₂,|u_n−l₂| ≤ ^²₂.

Alors, en posant N = max{N₁, N₂}, on a ∃N ∈ N/∀n ≥ N,|l₂ −l₁| ≤ |l₂ −u_n+ (u_n−l₁)| ≤

|l₂−u_n|+|u_n−l₁| ≤ ^²₂ +₂^² =².

Donc,|l₂−l₁| ≤² et ce, quel que soit le ² >0 choisi.

Donc |l₂−l₁|= 0 et l₁ =l₂. CQFD

2) Toute suite convergente est born´ee.

Preuve.

Soit (u_n)_n≥p convergeant vers l∈R.

Soit ²0 alors ∃N ∈N/∀n ≥N,|u_n−l| ≤².

Soit m= min{(l−², u₀, u₁, u₂, ..., u_N} etM = max{(l+², u₀, u₁, u₂, ..., u_N}, alors ∀n ≥p, m≤ u_n≤M donc la suite est born´ee.

CQFD

3) Si lim_n−→+∞u_n=l alors lim_n−→+∞|u_n|=|l|

Preuve.

en exo Indication : utiliser ||x| − |y|| ≤ |x−y|.

CQFD

4) Si lim_n−→+∞u_n=l alors toute suite extraite de (u_n) converge vers l.

Preuve.

Il est facile de montrer par r´ecurrence que si φ : N −→ N est strictement croissante alors

∀n∈N, φ(n)≥n (exo.) Soit ² >0.

limn−→+∞un=l donc ∃N ∈N/∀n≥N,|un−l| ≤².

Mais puisque φ(n)≥n, on a ∀n ≥N, φ(n)≥N et donc|u_φ(n)−l| ≤².

Et ce pour tout ² >0.

Donc (uφ(n)) converge vers l.

CQFD

Remarque 2.3 Reciproque ?

5) Si lim_n−→+∞u_n=l et lim_n−→+∞v_n =l⁰ alors lim_n−→+∞(u_n+v_n) = l+l⁰. Preuve.

Soit ² >0

∃N₁ ∈N/∀n≥N₁,|u_n−l| ≤ ^²₂ et∃N₂ ∈N/∀n≥N₂,|v_n−l⁰| ≤ ^²₂. Soit N = max{l, l⁰}.

Alors∀n ≥N,|(u_n+v_n)−(l+l⁰)| ≤ |u_n−l|+|v_n−l⁰| ≤ ^²₂ +₂^² =².

Et ce pour tout ².

D’o`u le r´esultat.

CQFD

6) Avec les d´emonstrations proches des pr´ec´edentes, on d´emontre :

Si limn−→+∞un =l et limn−→+∞vn=l⁰ alors limn−→+∞un.vn=l.l⁰. Si lim_n−→+∞u_n =l 6= 0 alors lim_n−→+∞u¹

n = ¹_l.

Si lim_n−→+∞u_n =l et λ ∈R alors lim_n−→+∞λ.u_n=λ.l.

Si lim_n−→+∞u_n =l et lim_n−→+∞v_n=l⁰ alors lim_n−→+∞u_n.v_n=l.l⁰.

Si lim_n−→+∞u_n = +∞ et lim_n−→+∞v_n=l alors lim_n−→+∞u_n.v_n=signe(l).∞

et lim_n−→+∞u_n+v_n = +∞.

Si lim_n−→+∞u_n =−∞ et lim_n−→+∞v_n=l alors lim_n−→+∞u_n.v_n=−signe(l).∞

et lim_n−→+∞u_n+v_n =−∞.

Si lim_n−→+∞u_n = +∞ et lim_n−→+∞v_n= +∞ alors lim_n−→+∞u_n.v_n= +∞

et lim_n−→+∞u_n+v_n = +∞.

Si lim_n−→+∞u_n =−∞ et lim_n−→+∞v_n=−∞ alors lim_n−→+∞u_n.v_n = +∞

et lim_n−→+∞u_n+v_n =−∞.

Si lim_n−→+∞u_n =−∞ et lim_n−→+∞v_n= +∞alors lim_n−→+∞u_n.v_n=−∞.

Th´eor`eme 2.4 (des gendarmes)

Soient (u_n), (v_n), (w_n) trois suites telles que :

1) un ≤vn ≤wn `a partir d’un certain rang (i.e. ∀n≥N), 2) (u_n), (w_n) convergent vers une mˆeme limite l.

Alors (v_n) converge vers l.

Preuve.

Soit ² >0.

∃N₁ ∈N/∀n≥N₁, l−²≤u_n≤l+² (i.e. |u_n−l| ≤²),

∃N₂ ∈N/∀n≥N₂,|w_n−l| ≤².

De plus, on sait que : ∃N3 ∈N/∀n≥N3, un ≤vn ≤wn.

Soit N = max{N₁, N₂, N₃}, alors ∀n ≥N on a l−²≤u_n≤v_n≤w_n≤l+², donc ∀n≥N,|v_n−l| ≤².

Et ce quel que soit ² >0.

D’o`u le r´esultat.

CQFD

Th´eor`eme 2.5 Toute suite croissante major´ee est convergente.

Toute suite d´ecroissante minor´ee est convergente.

Preuve.

Soit (u_n) une suite croissante major´ee. Pour simplifier la d´emonstration on suppose (u_n) crois- sante d`es le premier terme.

l’ensemble des termes de la suite est un ensemble non vide major´ee. Il admet donc une borne sup´erieure (cf. la d´efinition de l’ensemble des r´eels).

Soit l = sup_R{u_n, n∈N} (c’est le minimum des majorants).

Alors∀² >0, l−² ne majore pas {u_n, n ∈N} donc ∃N ∈N tel que u_N > l−².

Et donc, puisque la suite est croissante, ∀n≥N, l > u_n > l−², d’o`u ∀n≥N,|u_n−l|< ².

CQFD

Remarque 2.6 (Fonction continue et suites)

On verra plus tard que si f : D_f ⊂ R−→ R est une fonction continue et (u_n) ⊂ D_f converge vers l ∈ Df alors (f(un)) converge vers f(l).

2.3 Suites adjacentes.

D´efinition 2.7 Deux suites (u_n) et (v_n) sont dites adjacentes si : i) (u_n) est croissante,

ii) (vn) est d´ecroissante,

iii) ∃N ∈N/∀n ≥N, u_n ≤v_n et u_n−v_n converge vers 0.

Proposition 2.8 Deux suites adjacentes convergent et elles ont la mˆeme limite.

Preuve.

(u_n) est croissante major´ee (exo.) donc converge vers l.

(vn) est d´ecroissante minor´ee (exo.) donc converge vers l⁰. Soit ² >0,

∃N₁ ∈N/∀n≥N₁,|u_n−v_n| ≤ ₂^² et ∃N₂ ∈N/∀n ≥N₂,|v_n−l⁰| ≤ ₂^².

SoitN = max{N1, N2}, alors|un−l⁰|=|(un−vn) + (vn−l⁰)| ≤ |un−vn|+|vn−l⁰| ≤ ^²₂+₂^² =².

Et ce quel que soit ².

Donc (u_n) converge versl⁰. La limite ´etant unique, on a l=l⁰. CQFD

Exercice 2.9 Soient (u_n)_n≥1 et (v_n)_n≥1 d´efinies par u_n=P_n

p=1 1

p! et v_n=u_n+ _n!¹. Alors (u_n) et (v_n) sont adjacentes et convergent vers la mˆeme limite.

On verra plus tard que cette limite est e= exp(1)

3 Suites d´ efinies par r´ ecurrence.

D´efinition 3.1 Une suite (u_n)_n≥p est dite d´efinie par r´ecurrence si u_p est donn´e et u_n = f(u_n−1) pour n > p o`u f :R−→R.

Proposition 3.2 (admise) Soit

½ u₀ =a∈R u_n =f(u_n−1) .

Si f est continue d´erivable sur un intervalle I v´erifiant f(I)⊂ I et u₀ ∈ I alors la limite l de (u_n), si elle existe, v´erifie f(l) = l.

Exercice 3.3 Soit

½ u0 = 1 u_n =√

1 +u_n−1

4 Un exemple de suite complexe.

Soit (un) d´efinie par

½ u0 =a∈C (f ix´e) u_n = ¹₅(3u_n−1+ 2u_n−1)

Remarque 4.1 On montre facilement que (u_n) ⊂ C converge vers l ∈ C ssi (Re(u_n)) ⊂ R converge vers Re(l)∈R et (Im(un))⊂R converge vers Im(l)∈R.