Corrigé médian - SQ20 - P2015

Le 17/04/2015

Corrigé médian - SQ20 - P2015

Page 1/2 Exercice 1

1. (a) A∈ T

(b) P(A∩B) =P(A)×P(B) (c) A=∅

(d) A⊂B 2. P(A) = 1

5 et P(B) = 2

3. On a toujours : P(A∪B) =P(A)+P(B)−P(A∩B). (a) AetB sont incompatibles donc P(A∪B) =P(A) +P(B) = 13

15

(b) AetB sont indépendants doncP(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A)P(B) =11 15 (c) AimpliqueB doncA∪B =B et P(A∪B) =P(B) = 2

3 (d) P(A∩B) =P(B)PB(A) = 1

3 doncP(A∪B) = 1 5+2

3 −1 3 = 8

15

Exercice 2

1. (a) On répète 7 fois, dans des conditions identiques et indépendantes, la même épreuve de Bernoulli (vérier le nid de la poule au matin) dont les issues contraires sont :

• la poule a pondu un ÷uf de probabilitép= 3/4,

• la poule n'a pas pondu de probabilitéq= 1−p= 1/4.

Par hypothèse,Xest la variable aléatoire qui compte le nombre d'÷ufs pon- dus au cours de ces 7 épreuves. AlorsX suit la loi binomiale de paramètres n= 7etp= 3/4. X ,→B(7,3/4).

X(Ω) =J0,7K et ∀k∈J0,7K, P([X=k]) = 7

k

p^kq^7−k

(b) Y = 20X. D'où, par linéarité de l'espérance : E(Y) = 20E(X) = 20n p= 20×7×3

4 = 105.

Maxime peut espérer gagner en moyenne 1,05e par semaine.

2. Dorénavant p= 1

20 et q= 1−p= 19 20.

(a) Z représente le temps d'attente du premier succès (la poule a pondu un

÷uf) au cours d'une succession d'épreuves identiques et indépendantes de Bernoulli de paramètrep= 1/20.

DoncZ suit la loi géométrique de paramètrep= 1/20. Z ,→G(p). Z(Ω) =N^∗ et ∀k∈N^∗, P([Z=k]) =p q^k−1

(b) SoitA l'événement : Maxime récupère au moins un ÷uf en 7 jours.

AlorsA= [Z67]. D'où P(A) =

7

X

k=1

P([Z=k]) =

7

X

k=1

pq^k−1=p

6

X

k=0

qⁱ=p1−q⁶⁺¹

1−q = 1−q⁷ Mais plus simplement,A= [X >1] où X ,→B

7, 1

20

. Donc P(A) = 1−P(A) = 1−P([X = 0]) = 1−q⁷ On obtient à la calculatrice P(A)≈30%.

Exercice 3

1. Soitt >0. Puisque N_t,→P(λt), E(N_t) =V(N_t) =λ t. 2. On noteX1 l'instant d'arrivée du premier véhicule.

(a) Soit t >0. Dire que l'instant d'arrivée du premier véhicule est strictement supérieur àt, revient à dire qu'aucun véhicule n'a franchi le poste de péage entre les instants 0 ett.

Par conséquent les événements[X1> t]et[Nt= 0]sont égaux.

D'où P([X₁> t]) =P([N_t= 0]) = e^{−λ t}(λ t)⁰

0! = e^{−λ t} (b) NotonsF₁la fonction de répartition deX₁.

∀x∈R, F1(x) =P([X16x]) = 1−P([X1> x])

=







1−e^{−λ x} si x >0

0 si x60

On reconnaît la fonction de répartition d'une variable aléatoire continue qui suit la loi exponentielle de paramètreλ.

Ainsi X₁,→E(λ)

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Page 2/2 (c) On sait que E(X1) = 1

λ et que V(X1) = 1 λ².

3. (a) Soitt60. PuisqueXn(Ω) =R^+∗, l'événement[Xn6t] est impossible.

D'oùFn(t) =P([Xn6t]) = 0. (b) Soientt >0 etn∈N^∗.

[Xn6t]est l'événement :lan^ièmevoiture arrive au plus tard à l'instantt. Et comme le nombre de voitures va croissant avec le temps,[X_n 6t]signie aussi qu'à l'instantt,au moinsnvoitures ont déjà franchi le poste de péage.

Ainsi [Xn6t] = [Nt>n].

(c) Soitn∈N^∗. La fonction de répartitionFn deXn est dénie par :

∀t >0, Fn(t) =P(Xn 6t) =P(Nt>n) = 1−P(Nt< n) Avec P(N_t< n) =P(N_t6n−1) =

n−1

X

k=0

P(N_t=k) =

n−1

X

k=0

e^−λt(λ t)^k k!

Par conséquent Fn(t) =









 1−

n−1

X

k=0

λ^k

k! e^{−λ t}t^k sit >0

0 sit60

(d) Dans cette question, on supposera que n >2, le casn = 1 ayant déjà été traité en 2.

On vérie queX_n est eectivement une variable aléatoire à densité avec les conditions auxquelles doit satisfaire sa fonction de répartitionF_n :

• F_n est continue surR^∗ avec F_n(t) −→

(t→0⁺)

1−

n−1

X

k=0

e⁰ λ^k0^k

k! = 1−1 = 0 et lim

t→0⁻Fn(t) = 0 =Fn(0). DoncFn est continue sur R

• F_n est de classeC¹ surR^∗.

DoncXn est une variable aléatoire continue dont une densitéfn vérie pour tout réel non nult, fn(t) =F_n⁰(t).

On peut toujours choisir de prendrefn(0) = 0. On rappelle que ∀t >0, Fn(t) = 1−e^{−λ t}−

n−1

X

k=1

λ^k k!e^{−λ t}t^k D'où pour toutt >0,

F_n⁰ (t) = 0 +λe^{−λ t}−

n−1

X

k=1

λ^k

k! −λe^−λtt^k+ e^−λtk t^k−1

= λe^{−λ t}+

n−1

X

k=1

λ^k+1

k! e^−λtt^k−

n−1

X

k=1

λ^k

(k−1)!e^−λtt^k−1

chgt d'indice

= λe^{−λ t}+

n−1

X

k=1

λ^k+1

k! e^−λtt^k−

n−2

X

i=0

λⁱ⁺¹ i! e^−λttⁱ

= λe^{−λ t}+

n−1

X

k=1

λ^k+1

k! e^−λtt^k−

n−2

X

k=0

λ^k+1 k! e^−λtt^k

télescopage

= λe^{−λ t}+ λⁿ

(n−1)!e^−λttⁿ⁻¹−λ¹ 0! e^−λtt⁰

= λⁿ

(n−1)!tⁿ⁻¹e^{−λ t} et pour tout réelt <0, F_n⁰ (t) = 0

Remarque : la loi de Xn est une autre loi usuelle, elle s'appelle la loi Gamma de paramètresb=netτ = 1

λ. On écrit X_n,→Γ(b, τ)