Contrôle 3 - SQ20 Nom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Le 16/05/2014 - durée : environ 25 minutes Page 1/1

Contrôle 3 - SQ20

Nom : . . . . Prénom : . . . .

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Exercice 1 On considère un couple de variables aléatoires réelles discrètes (X, Y)dont la loi est donnée par le tableau suivant :

H HH

HH H

X

Y y₁ = 0 y₂ = 1 P([X =x_i])

x₁ = 1 a 2a

x₂ = 2 a 3a

x₃ = 3 3a 0

P([Y =y_j]) 1. Donner la valeur de a.

2. Compléter le tableau ci-dessus pour faire apparaître les lois marginales deX et Y. 3. Montrer queX etY ne sont pas indépendantes.

Exercice 2 Soit X et Y deux variables aléatoires réelles admettant chacune un moment d'ordre 2. On suppose que E(X) = 2, E(Y) = 3 etE(XY) = 4.

Calculer la covariance de X et de Y. X et Y sont-elles indépendantes ?

Exercice 3 SoitX etY deux variables aléatoires indépendantes suivant les lois exponentielles de paramètres respectifs λ etµ (où λ >0et µ >0). On pose Z =min(X, Y).

1. Calculer pour tout réel positif t, P([Z > t]).

2. En déduire la fonction de répartition F de la variable aléatoire Z.

3. Déterminer la densité de probabilité f de Z. Reconnaître la loi de Z.