1 L'ensemble des nombres complexes

Chapitre 1 : Nombres complexes

1 L'ensemble des nombres complexes

1.1 Déntions

Hélas la construction de l'ensembleCn'est pas au programme. On admet donc l'existence d'un ensembleCvériant les propriétés suivantes :

• Ccontient l'ensemble des réelsR,

• Cpossède une addition+et une multiplication×avec lesquelles on calcule comme dansR,

• Cpossède un élémenti vérianti²=−1,

• tout élément deCs'écrit de manière uniquex+iy avec(x, y)∈R².

Dénition : Soitz∈Ctel quez=x+iy avec(x, y)∈R². Alors xs'appelle la partie réelle dez et y la partie imaginaire dez. On note :

x=Re(z)ety=Im(z).

Si Im(z) = 0, on dit quez est réel et siRe(z) = 0, on dit quezest imaginaire pur.

Conséquence immédiate : soient(z, z⁰)∈C²:

• Re(z+z⁰) =

• Im(z+z⁰) =

• Re(zz⁰) =

• Im(zz⁰) =

• z=z⁰⇔

Pendant géométrique : On peut identierCavec le plan de la manière suivante : si le plan est muni d'un repère orthonormé(O,−→

i ,−→

j), on associe au nombre complexez=x+iy le pointM de coordonnées (x, y).

Exercice : Soitz∈Ctel quez=x+iy avec(x, y)∈R². Ecrire ¹_z =x⁰+iy⁰ avec(x⁰, y⁰)∈R².

1.2 Conjugué et module

Dénition : Soit z∈ Ctel quez =x+iy avec(x, y)∈R². On appelle conjugué de z et on notez¯le nombre x−iy.

Proposition : Soient(z, z⁰)∈C², on a :

• z+z⁰=z+z⁰, z=z, zz⁰ =zz⁰,

• si z⁰6= 0,(_z^z0) = ^z

z⁰,

• Re(z) = ^z+¯₂^z Im(z) = ^z−¯_2i^z Démonstatration :

C'est évident. On ne prouve que(_z^z0) = ^z

z⁰.

Corollaire : Soitz∈C. On a :

• z∈R⇔Im(z) = 0⇔z= ¯z

• z est imaginaire pur⇔Re(z) = 0⇔z=−¯z Démonstration :

Dénition : Soitz∈Ctel quez=x+iy avec(x, y)∈R². On appelle module dez et on note|z|=p

x²+y². Remarque : Avec la représentation géométrique des nombres complexes, |z |est la distance du point d'axez avec l'origine du repère.

Proposition : Soitz∈C. On a :

|z|²=zz.

Démonstration :

Proposition : Soient(z, z⁰)∈C², on a :

• |zz⁰|=|z||z⁰ |, |z+z⁰ |≤|z|+|z⁰ |,

• si z⁰6= 0,| _z^z0 |= _|z^|z|0| |z−z⁰|≥||z| − |z⁰||

• |z|=|z|, |z+z⁰ |²=|z|²+|z⁰|²+2Re(zz⁰) Démonstration :

Exercice : Soient(z, z⁰)∈C² tels quez6= 0. Montrer que :

|z+z⁰|=|z|+|z⁰|⇔ ∃λ∈R+:z⁰=λz

2 Nombres complexes de module 1 et exponentielle complexe

Dénition : On appelleUl'ensemble des nombres complexes dont le module vaut1. Exemple : le nombre ∈U.

Proposition : Soient(z, z)⁰∈U². 1. zz⁰∈U

2. ¹_z ∈U Démonstration :

Dénition : Soitθ∈R. On appelle exponentielle imaginaire d'angleθ et on notee^iθ le nombre : e^iθ= cos(θ) +isin(θ)

Conséquence : eⁱ⁰= Exemple : e^iπ=

Proposition : Soitz∈U, il existeθ∈Rtel quez=e^iθ. De plusθest unique à 2πprès.

Démonstration : Il sut de se rappeler le cosinus et le sinus comme au lycée et de faire un dessin :

Exemple : i=

Théorème : Soient(θ, θ⁰)∈R². 1. e^−iθ=e^iθ=_e¹iθ,

2. e^i(θ+θ0)=e^iθe^iθ0, 3. e^i(θ−θ0)= ^eiθ

e^iθ0. Démonstration :

On en deduit alors les formules suivantes :

Formule d'Euler : cos(θ) = ^eiθ+e₂^−iθ et sin(θ) = ^eiθ−e_2i^−iθ.

Formule de Moivre : (e^iθ)ⁿ =e^inθ qui se réécrit moins trivialement(cos(θ) +isin(θ))ⁿ = cos(nθ) +isin(nθ).

Résultat : On déduit de ça les formules de linéarisation suivantes, soit(θ, θ⁰)∈R² :

e^iθ+e^iθ0 = 2 cos(^θ−θ₂⁰)e^iθ+θ

0

2 e^iθ−e^iθ0 = 2isin(^θ−θ₂⁰)e^iθ+θ

0 2 . Démonstration :

3 Exponentielle et argument d'un nombre complexe

3.1 Forme trigonométrique

Proposition : Soitz∈C^∗. Il existe un couple de réels(ρ, θ)∈R^∗+×Rtel que z=ρe^iθ. On appelle ça la forme trigonométrique dez.

Démonstration :

Exemple : 1 +i=

Dénition : Le nombreρest unique, il s'agit du module dezetθs'appelle un argument dez. On noteθ=Arg(z). Il est unique à 2π près. Cela signie que si θ et θ⁰ sont deux agruments du même nombre z, ils dièrent d'un certain nombre de fois 2π. On noteθ≡θ⁰[2π].

Interprétation géométrique :

Proposition : Soientzet z⁰ ∈C^∗. On a :

•Arg(zz⁰)≡Arg(z) +Arg(z⁰)[2π] •Arg(_z^z0)≡Arg(z)−Arg(z⁰)[2π]

•Arg(z)≡ −Arg(z)[2π] •Arg(zⁿ)≡nArg(z)[2π]

Démonstration :

3.2 Exponentielle complexe

Dénition : Siz∈Cs'écritz=x+iy avec(x, y)∈R². Alors on dénit : e^z=e^x+iy =e^xe^iy.

4 Racines n

de l'unité et résolution d'équations algébriques

4.1 Racines de l'unité

Dénition : Soitn∈N^∗. On appelle racinen^{i`eme</sup>de l'unité tout nombre complexe solution de l'équationz<sup>n</sup>= 1. L'ensemble des racinesn<sup>i`emes}de l'unité est notéUn.

Exemple : les racines 2^i`emes (ou racines carrées) de l'unité sontU2= Théorème : Soitn∈N^∗. On a :

Un={e^2ikπn |k∈J0;n−1K}.

Démonstaration :

Corollaire : Soitz ∈C^∗ tel quez =ρe^iθ avec(ρ, θ)∈R^∗+×R. Alors l'équationXⁿ−z = 0a n solutions qui sont :

{√ⁿ

ρe^iθ+2kπn |k∈J0;n−1K}

4.2 Résolution d'équations d'ordre 2.

Dénition : Soitz∈C. On dit quea∈Cest une racine carrée dez sia²=z. Exemple :

1. √

2est une racine carrée de .

2. i est une racine carrée de . Une autre racine carrée de ce nombre est .

Remarque : On ne parle pas de la racine carrée d'un nombre complexe car il y a en général deux racines carrées pour un même nombre et on ne sait pas privilégier l'une par rapport à l'autre. Cela nous interdit évidemment d'utiliser le symbole√ .

Proposition : Tout nombrez∈C^∗ admet exactement deux racines carrées dansC^∗. Démonstration :

Exercice : Quelles sont les deux racines carrées de1 +i?

Théorème : On considère l'équationaz²+bz+c= 0avec(a, b, c)∈C³eta6= 0. On dénit alors∆ =b²−4ac.

• si ∆ = 0l'équation a une solution doublez0=^−b_2a,

• si ∆6= 0, alors on noteδune racine carrée de ∆. L'équation a deux solutionsz₁= ^−b+δ_2a et z₂= ^−b−δ_2a . Démonstration :

Exemple : Les solutions de l'équationz²−(3 + 4i)z−1 + 5isont :

Remarque : Dans le théorème, si(a, b, c)∈R³et ∆<0 les deux racines sont complexes conjuguées.

Proposition : On considère l'équation az²+bz +c = 0 avec a ∈ C^∗ et (b, c) ∈ C². On appelle z1 et z2 les solutions complexes de cette équation. On a :

az²+bz+c=a(z−z1)(z−z2).

Démonstration :

Corollaire : On considère l'équationaz²+bz+c= 0aveca∈C^∗et(b, c)∈C². On appellez1etz2les solutions complexes de cette équation. On a

−a(z1+z2) =b etaz1z2=c Démonstration :

Théorème : Toute fonction polynômialeC→Cnon constante est surjective.

5 Nombres complexes et géométrie plane

On se place toujours dans un repère(O,−→ i ,−→

j).

5.1 Généralités

Dénition : Soit un vecteur−→u de coordonnées (a;b). L'axe de−→u est le nombre complexea+ib. Exemple : 1 +iest l'axe du vecteur

Proposition : Soient A et B deux points distincts du plan d'axes respectivesa et b. Le vecteur−−→ AB a pour axe b−a.

Démonstration :

Proposition : Soient(z, z⁰)∈C. La distance entre le point d'axe zet le point d'axez⁰ est|z−z⁰ |. Démonstration :

Proposition : SoitA un point du plan d'axe a et r >0. Les points du cercle de centreA et de rayonr ont pour axe :

{z∈C||z−a|=r}.

Démonstration :

5.2 Alignement et orthogonalité

Proposition : Soient−→u et−→v deux vecteurs du plan d'axes respectiveszetz⁰. Toute mesure de l'angle(−→u ,−→v) est un argument du nombre complexe ^z_z⁰.

Démonstration :

Corollaire : Soient−→u et−→v deux vecteurs du plan d'axes respectivesz etz⁰. 1. −→u et −→v sont colinéaires si et seulement si _z^z0 ∈R,

2. −→u et −→v sont orthogonaux si et seulement si _z^z0 est imaginaire pur.

Démonstration :

Corollaire : SoientA,B et Ctrois points distincts du plan et d'axesa, bet c. 1. A, B et C sont alignés si et seulement si ^b−a_c−a ∈R

2. −−→ AB et−→

AC sont orthogonaux si et seulement si ^b−a_c−a est imaginaire pur.

5.3 Transformations du plan

Proposition : Soit−→u un vecteur d'axe a. Alors la translation de vecteur−→u est représentée par l'application : C → C

z 7→ z+a .

Démonstration :

Dénition : SoitAun point du plan et soitλ∈R. L'homothétie de centreAet de rapportλest la transformation qui a un pointM associe le pointM⁰ tel que :

−−→AM⁰=λ−−→

AM . Représentation géométrique :

Proposition : Soit Aun point du plan d'axe aet soit λ∈R. L'homothétie de centreA et de rapportλ est représentée par l'application :

C → C

z 7→ a+λ(z−a) .

Démonstration :

Dénition : SoitA un point du plan etθ∈R. La rotation de centreA et d'angle θassocie à tout point M le pointM⁰ vériant :

AM=AM⁰ et(−−→

AM ,−−→

AM⁰)≡θ[2π]

Proposition : SoitAun point du plan d'axeaet θ∈R. La rotation de centreA et d'angleθ est représentée par l'application :

C → C

z 7→ a+e^iθ(z−a) .

Démonstration :

Exemple : C → C

z 7→ e^2iπ5 z

est la rotation de centre et d'angle . On vérie aisément qu'elle préserve U⁵.

Proposition : La symétrie par rapport à l'axe des réels est représenté par l'application C → C z 7→ z

.

Démonstration :

Dénition : Une similitude directe du plan complexe est une application représentée par une transformation de la forme :

C → C z 7→ az+b aveca∈C^∗ etb∈C.

Remarque : toutes les transformations précédentes (à l'exception de la symétrie) sont des similitudes directes.

Proposition : Soita∈C^∗,b∈Cetsla similitude représentée parz7→az+b.

• Si a= 1alorssest la translation de vecteurb.

• Si a6= 1alorssadmet un point xeΩque l'on appelle centre de la similitude. De plus siθest un argument dea, alors sest la composée de la rotationRde centre Ωet d'angleθet de l'homothétieH de centre Ωet de rapport |a|. On as=H◦R=R◦H.

Démonstration :

Exemple : SurC, on considère la transformationsdénie pars(z) = (1 +i)z+ 2i