primitives et calcul intégral
Table des matières
1 introduction 2
2 primitives d’une fonction 4
2.1 activités . . . 4
2.2 corrigés activités . . . 5
2.3 à retenir . . . 9
2.4 exercices . . . 11
2.5 corrigés exercices . . . 12
3 intégrale d’une fonction 13 3.1 activités . . . 13
3.2 corrigés activités . . . 15
3.3 à retenir . . . 18
3.4 exercices . . . 19
3.5 corrigés exercices . . . 24
3.6 travaux pratiques . . . 32
3.6.1 algorithme et calcul d’aire . . . 32
3.7 évaluations . . . 36
3.8 corrigé devoir maison . . . 47
3.8.1 corrigé devoir maison 1 . . . 48
3.8.2 corrigé devoir maison 2 . . . 51
1
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1 introduction
1. en un certain lieu, soit✞
✝
☎
f(x) =x+ 1✆la valeur de la température en degrés mesurée à l’heurexoux∈[0; 7]
par exemple :
à la date x= 1 il fait f(1) = 1 + 1 = 2degrés à la date x= 6 il fait f(6) = 6 + 1 = 7degrés
0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6
Cf
2. on cherche à déterminer la valeur de✞
✝
☎
Vm(f)✆,✞✝température moyenne entre les heuresx= 1 etx= 6☎✆
graphiquement on peut estimer que la valeur moyenne vaut✞✝Vm(f)≃4☎✆
0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6
A B
C D
Cf
3. par définition, la valeur moyenne cherchée est telle que l’aire sous la courbe entre x= 1 etx= 6 notée A=
Z 6 1
f(x)dx ("intégrale de1à6de f dex,dx")
est égale à
l’aire du rectangleABCDde même largeur ( entrex= 1etx= 6) soitlargeur×hauteur= (6−1)×Vm(f) ce qui donne
Z 6 1
f(x)dx= (6−1)×Vm(f) donc :
✎
✍
☞
✌ Vm(f) = 1
6−1 × Z 6
1
f(x)dx , il reste à déterminer
✎
✍
☞
✌ Z 6
1
f(x)dx ("intégrale de1à6def dex,dx")
0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6
A B
C D
Cf
0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6
Cf
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4. pour cela on utilise le théorème
✎
✍
☞
✌ Z b
a
f(x)dx=F(b)−F(a) où✞✝F est une primitive def ☎✆ sachant que ✞
✝
☎ F est une primitive def ⇐⇒F′(x) =f(x)✆ il suffit alors de trouver une primitive de f où f(x) =x+ 1 or F(x) = 1
2x2+x est telle queF′(x) = 1
2 ×2x+ 1 =x+ 1 =f(x) donc
☛
✡
✟ F(x) = 1 ✠
2x2+x est une primitive de ✞
✝
☎ f(x) =x+ 1✆
on a donc : Z 6
1
f(x)dx=F(6)−F(1)avec
F(6) = 1
2 ×62+ 6 = 18 + 6 =✄✂ ✁24 F(1) = 1
2 ×12+ 1 = 0,5 + 1 =✞✝1,5☎✆ soit :
Z 6 1
f(x)dx= 24−1,5 =✞✝22,5☎✆
ce qui signifie que l’aire sous la courbe de f pour x allant de 1 à 6 est de ✞✝22,5 unités d’aires☎✆( on peut dénombrer 22,5 carrés d’une unité d’aire sous la courbe)
finalement Vm(f) = 1
6−1 × Z 6
1
f(x)dx= 1
5×22,5 = 4,5
la valeur moyenne de f pour allant de 1 à5 est donc d’exactement✞✝4,5☎✆ ce qui est cohérent avec le résultat évalué graphiquement
graphiquement Vm(f)≃4 et algébriquement Vm(f) = 4,5
0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6
Cf
5. synthèse :(sous certaines conditions vues dans le cours)
✎
✍
☞
✌ valeur moyenne def pourx compris entre aetb=Vm(f) = 1
b−a Z b
a
f(x)dx
✎
✍
☞
✌ intégrale def pourx compris entre aetb=I =
Z b a
f(x)dx=F(b)−F(a)
✞
✝
☎ F est une primitive def ⇐⇒F′(x) =f(x)✆
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2 primitives d’une fonction
2.1 activités activité 1
soientF1 etf les fonctions respectivement définies sur Rpar :
F1(x) = 5x3+ 10x2−5x f(x) = 15x2+ 20x−5 1. montrer queF1′(x) =f(x) (on dit sous cette condition que F1 est une primitive def) 2. montrer queF2 définie sur R parF2(x) = 5x3+ 10x2−5x+ 1est aussi une primitive def 3. que dire de F définie parF(x) = 5x3+ 10x2−5x+k oùk∈R est un réel quelconque ? 4. combien la fonction f admet-elle de primitives ?
5. soit Gune primitive quelconque def, on cherche à quoi ressemble nécessairement G.
pour cela, on considère la fonction H définie par H(x) =G(x)−F1(x) (a) montrer queH′(x) = 0
(b) en déduire que H(x) =k= constante pour tout x∈R (c) en déduire que G(x) =F1(x) +k pour toutx∈R (d) quelle est nécessairement la forme d’une primitive de f?
(e) en déduire la seule et unique primitive F de f telle que F(0) = 10 activité 2
soit la fonctionf tellef(x) = 1 +x+ex− 1 x2 + 1
x définie sur R∗ 1. montrer queF1 telle que F1(x) =x+ x2
2 +ex+ 1
x +lnx est une primitive def 2. trouver une autre primitive F2 de f
3. trouver la primitive F de f qui vaut 0 pourx= 1 activité 3
donner une primitive dans chaque cas en utilisant le tableau des dérivées 1. f(x) = 0 a par exemple pour primitive : ...
2. f(x) = 10 a par exemple pour primitive : ...
3. f(x) =x a par exemple pour primitive : ...
4. f(x) =x2 a par exemple pour primitive : ...
5. f(x) =x3 a par exemple pour primitive : ...
6. f(x) = 1
x a par exemple pour primitive : ...
7. f(x) = 1
x2 a par exemple pour primitive : ...
8. f(x) = 1
x3 a par exemple pour primitive : ...
9. f(x) =ex a par exemple pour primitive : ...
activité 4
démontrer chaque proposition
1. siF etGsont des primitives respectives def etgalors H=F+Gest une primitive deh=f+g 2. si
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F est une primitive de f etk∈R est un réel alorsH =kF est une primitive deh =kf2.2 corrigés activités corrigé activité 1
soient F1 etf les fonctions respectivement définies surR par :
F1(x) = 5x3+ 10x2−5x f(x) = 15x2+ 20x−5 1. F1′(x) = 15x2+ 20x−5 etf(x) = 15x2+ 20x−5
F1′(x) =f(x)
F1 est donc une primitive def
2. F2′(x) = 15x2+ 20x−5 etf(x) = 15x2+ 20x−5 F2′(x) =f(x)
F2 est donc aussi une primitive def
3. F définie parF(x) = 5x3+ 10x2−5x+k oùk∈R est aussi une primitive def car F′(x) =f(x)
4. la fonction f admet alors une infinité de primitives
5. soit Gune primitive quelconque def, on cherche à quoi ressemble nécessairementG.
pour cela, on considère la fonctionH définie parH(x) =G(x)−F1(x) a. H(x) =G(x)−F1(x)
H′(x) =G′(x)−F1′(x) H(x) =f(x)−f(x) = 0 H′(x) = 0
b. H est une fonction constante car sa dérivée est nulle pour toutx∈R H(x) =k = constante pour tout x∈R
c. H(x) =G(x)−F1(x) =kpour tout x∈R G(x) =F1(x) +k pour toutx∈R
d. une primitive de f est nécessairement la formeF(x) =F1(x) +k e. la seule et unique primitiveF de f telle que F(0) = 10est telle que
F(x) =F1(x) +k avecF(0) = 10
F(x) = 15x2+ 20x−5 +k avecF(0) = 10 F(0) = 15×02+ 20×0−5 +k= 10
−5 +k= 10⇐⇒k= 15 F(x) = 15x2+ 20x−5 + 15 F(x) = 15x2+ 20x−10
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corrigé activité 2
soit la fonction f tellef(x) = 1 +x+ex− 1
x2 définie surR∗ 1. F1 telle queF1(x) =x+x2
2 +ex+1
x est une primitive de f, en effet : F1′(x) = 1 +1
2 ×2x+ex+−1 x2 F1′(x) = 1 +x+ex− 1
x2 =f(x)
2. une autre primitive F2 def est :F2(x) =x+x2
2 +lnx+ 1
x +k oùk∈R 3. primitiveF def qui vaut 0 pourx= 1
F(1) = 0etF(x) =x+x2
2 +ex+ 1 x +k F(1) = 1 +12
2 +e1+1
1+k= 0 1 +1
2+e+ 1 +k= 0 k=−5
2 −e F(x) =x+x2
2 +lnx+ 1 x −5
2 −e
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corrigé activité 3
donner une primitive dans chaque cas en utilisant le tableau des dérivées (a) f(x) = 0 a par exemple pour primitive :F(x) =k
(b) f(x) = 10 a par exemple pour primitive :F(x) = 10x+k (c) f(x) =x a par exemple pour primitive :F(x) =x+k (d) f(x) =x2 a par exemple pour primitive :F(x) = x3
3 +k (e) f(x) =x3 a par exemple pour primitive : F(x) = x4
4 +k (f) f(x) = 1
x a par exemple pour primitive : F(x) =ln(x) +k (g) f(x) = 1
x2 a par exemple pour primitive : F(x) = −1 x +k (h) f(x) = 1
x3 a par exemple pour primitive : F(x) = −1 2x2 +k (i) f(x) =ex a par exemple pour primitive :F(x) =ex+k
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corrigé activité 4
démontrons chaque proposition
1. siF etGsont des primitives respectives def etgalors H=F+Gest une primitive deh=f+g H=F+G
H′ =F′+G′ H′ =f+g H′ =h
H=F+G est une primitive deh=f +g
2. siF est une primitive def etk∈Rest un réel alorsH =kF est une primitive deh=kf H =kF H′ =kF′
H′ =kf H′ =h
H=kF est une primitive deh=kf
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2.3 à retenir
définition 1 (primitive d’une fonction)
Soient f etF deux fonctions définies sur un intervalle I
✞
✝
☎
F est une primitive de f surI ✆ ⇐⇒ ✞✝F′(x) =f(x)☎✆pour tout x∈I
exemple : avec F(x) =x2+ 3x etf(x) = 2x+ 3on aF′(x) =f(x) donc F est une primitive de f remarque : "F est une primitive def" équivaut à "f est la dérivée de F"
propriété 1 (forme générale des primitives)
(1) toute ✄✂fonction continue sur un intervalle✁ I de R✞
✝
☎
admet des primitives sur cet intervalle✆ (2) Soient f etF deux fonctions définies sur un intervalle I
si✞✝F est une primitive def ☎✆sur I alors
✞
✝
☎
toutes les primitives def ✆sont de la forme ✞✝F+k☎✆où k∈R
exemple : avecF(x) =x2+3xetf(x) = 2x+3, toutes les primitives def sont de la formeF(x) =x2+3x+k où kest un nombre réel quelconque
remarque : si on connaît une primitive de f alors on en connaît une infinité propriété 2 (tableau des primitives usuelles)
F(x) f(x)
k∈R 0
x+k 1
2x+k 2
−3x+k −3
ax+k a∈R
1
2x2+k x
1
3x3+k x2
1
4x4+k x3
1
α+ 1xα+1+k xα où α∈R− {−1}
2√x+k 1
√x
ln(x) +k 1
x ln(ax+b) +k a
ax+b
−1
x +k 1
x2
−1
2x2 +k 1
x3
−1
(n−1)xn−1 +k 1
xn où n∈Netn >1
ex ex
1
aeax+b eax+b
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propriété 3 (primitives et opérations)
(1) si F etGsont des primitives respectives de f etg surI alors ✞✝F +Gest une primitive de f+g☎✆surI (2) si F est une primitive def sur I et k∈R alors ✞✝kF est une primitive de kf ☎✆surI
exemple : une primitive de f(x) =x2+ 5x3 est F(x) = 1
3x3+ 5×1 4x4 = 1
3x3+5 4x4 propriété 4 (primitives des formes usuelles)
soit u une fonction dérivable sur un intervalle I etu′ sa dérivée.
quand cela est possible, on utilise le tableau suivant pour trouver une primitiveF d’une fonctionf connue.
F(x) f(x) conditions
1
2u2 u′u 1
3u3 u′u2 1
4u4 u′u3 1
n+ 1un+1 u′un n∈N
−1 u
u′
u2 u6= 0
−1 2u2
u′
u3 u6= 0
−1 (n−1)un−1
u′
un n∈N,n >1 etu6= 0
lnu u′
u u >0 eu u′eu
exemples :
(a) ✞
✝
☎ f(x) = (2x+ 3)ex2+3x+10✆ f =u′eu donc F =eu avec
u(x) =x2+ 3x+ 10 u′(x) = 2x+ 3 donc ✞
✝
☎ F(x) =ex2+3x+10✆
(b)
☛
✡
✟ f(x) = 2x+ 3 ✠
x2+ 3x+ 10 f = u′
u doncF =lnu avec
u(x) =x2+ 3x+ 10 u′(x) = 2x+ 3 donc ✞
✝
☎ F(x) =ln(x2+ 3x+ 10)✆
(c) ✞
✝
☎ f(x) = (2x+ 3)(x2+ 3x+ 10)✆ f =u′u donc F = 1
2u2 avec
u(x) =x2+ 3x+ 10 u′(x) = 2x+ 3 donc
☛
✡
✟ F(x) = 1 ✠
2(x2+ 3x+ 10)2
(d)
✎
✍
☞
✌ f(x) = 2x+ 3
(x2+ 3x+ 10)3 f = u′
u3 donc F = −1 2u2 avec
u(x) =x2+ 3x+ 10 u′(x) = 2x+ 3 donc
✎
✍
☞
✌ F(x) = −1
2(x2+ 3x+ 10)2
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2.4 exercices exercice 1 :
Trouver une primitive de f surDf dans chaque cas.
puis déterminer la primitive de f qui vaut 0 en 1 pour au moins 2 exemples 1. f(x) =x−10
2. f(x) = 4x+ 3
3. f(x) =x3−x2+ 5x+ 2 4. f(x) = 4x2−6x+ 9
5. f(x) = 12x3+ 7x2−8x+ 10
6. f(x) =ex+ 1 x 7. f(x) = 10ex+8
x 8. f(x) =e0,2x 9. f(x) = 10e0,05x
10. f(x) = 8 8x+ 10 11. f(x) = 2x+ 8
x2+ 8x+ 12 12. f(x) = (6x−10)e3x2−10x+4 exercice 2 :
Démontrer dans chaque cas que F est une primitive def
(a)
f(x) = 10−2e−0,2x+1 F(x) = 10x+ 10e−0,2x+1
(b)
f(x) = e0,36x 99 +e0,36x F(x) = 1
0,36ln(99 +e0,36x) (c)
f(x) = 200 + 0,02(x−7)ex F(x) = 200x+ 0,02(x−8)ex
(d)
f(x) =e−x(x−3)2
F(x) =−e−x(x2−4x+ 5) (e)
f(x) = 6x+ 28−24ln(x) F(x) = 3x2+ 52x−24xln(x)
(f)
f(x) = 9,3−0,048x− 2,8e2x e2x+ 160000
F(x) = 9,3x−0,024x2 −1,4ln(e2x+ 160000)
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2.5 corrigés exercices
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3 intégrale d’une fonction
3.1 activités
activité 1 : aire sous la courbe, valeur moyenne, aire entre deux courbes et primitives
1 2 3 4
0 1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−5
Cf 1. soit la fonction f définie sur Rpar f(x) = 4
(a) calculer l’aire du rectangle hachuré (b) donner une primitiveF def
(c) calculer Z 3
−4
f(x)dx=F(3)−F(−4) comparer les deux résultats
(d) un artisan fabrique 4 objets par heure.
quel nombre d’objets aura t-il fabriqué sachant qu’il a déja travaillé 4h et qu’il va encore travailler 3h ?
(e) en déduire la valeur moyennem de f sur[−4; 3] sachant quem= 1 3−(−4)
Z 3
−4
f(x)dx
1 2 3 4
0 1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−5
Cf 2. soit f définie sur Rpar f(x) = 1
2x+ 2 (a) calculer l’aire du trapèze hachuré
(rappel : Aire = b+B 2 ×h ) (b) donner une primitiveF def
(c) calculer Z 4
−2
f(x)dx=F(4)−F(−2) comparer les deux résultats
(d) en déduire la valeur moyenne m de f sur[−2; 4] sachant quem= 1 4−(−2)
Z 4
−2
f(x)dx
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4 5
Cf 3. soit f définie sur Rpar f(x) =−1
2x2+ 3x (a) encadrer l’aire parabolique hachurée
par deux entiers.
(b) donner une primitiveF def (c) calculer
Z 6 0
f(x)dx=F(6)−F(0) comparer les deux résultats
(d) en déduire la valeur moyenne m de f sur[0; 6]
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4 5
Cf
Cg
4. soit f définie sur Rpar f(x) =−1
2x2+ 3x soit g définie sur Rpar g(x) = 1
2x+ 2
(a) encadrer l’aire hachurée par deux entiers.
(b) donner F etG des primitives respectives def etg (c) calculer
Z 4 1
f(x)dx− Z 4
1
g(x)dxcomme ci dessus.
comparer les résultats du a. et du c.
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activité 2 : Terminales ES - Sujet Callédonie 2005
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 6]par : f(x) = 3
4x2−3x+ 6
La courbe (Cf) ci-dessous est représentative de f dans un repère orthonormal du plan d’origine O.
La partie hachurée ci-contre est limitée par la courbe (Cf), l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’ équation x= 6.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0 1 2 3 4 5
Cf
1. Calculer, en unités d’aire, l’aire S de la partie hachurée.
En déduire l’aire en cm2 sachant que 1 unité a pour mesure 2cm en abscisses et 0,75cm en ordonnées 2. Calculer la valeur moyenne de f sur[0 ; 6] et la représenter sur le graphique.
3. On considère un point M appartenant à la courbe(Cf)d’abscisse x avecx∈[0 ; 6].
La parallè le à l’axe des ordonnées passant par M coupe l’axe des abscisses en un point H.
La parallè le à l’axe des abscisses passant par M coupe l’axe des ordonnées en un point K.
On appelle R(x) l’aire, en unités d’aire, du rectangle OHM K.
Prouver que, pour toutx appartenant à l’intervalle [0 ; 6],R(x) = 0,75x3−3x2+ 6x.
4. On se propose de rechercher toutes les valeurs possibles dexde l’intervalle[0 ; 6]telles que l’aireR(x) du rectangle OHM K soit égale à l’aire hachurée S.
(a) Montrer que le problème précédent revient à résoudre l’équation g(x) = 0 où g est la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 6] par :
g(x) = 0,75x3−3x2+ 6x−36.
(b) Étudier les variations degsur l’intervalle[0 ; 6]et dresser le tableau de variation deg. En déduire que l’équation g(x) = 0 admet sur l’intervalle[0 ; 6]une solution uniqueα.
Donner une valeur approchée deα au centième et placer alors le point M sur le graphique
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3.2 corrigés activités
corrigé activité 1 : aire sous la courbe, valeur moyenne, aire entre deux courbes et primitives
1 2 3 4
0 1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−5
Cf 1. soit la fonction f définie sur Rpar f(x) = 4
(a) aire du rectangle hachuré :
Aire = longueur× largeur = 7× 4 =✄✂28 U.A.✁ (b) une primitiveF de f ✞
✝
☎ F(x) = 4x✆
(c) Z 3
−4
f(x)dx=F(3)−F(−4) = 4×3−4×(−4) Z 3
−4
f(x)dx= 12 + 16 =✄✂ ✁28
✎
✍
☞
✌ Z 3
−4
f(x)dx=aire du rectangle
(d) il aura fabriqué ✞✝28 objets .☎✆
(e) valeur moyenne mde f sur[−4; 3]:m= 1 3−(−4)
Z 3
−4
f(x)dx= 1
7×28 =✄✂ ✁4
1 2 3 4
0 1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−5
Cf – soitf définie sur Rpar f(x) = 1
2x+ 2 1. aire du trapèze hachuré :
aire = aire du rectangle + aire du triangle aire = 6×1 + 6×3
2 = 6 + 9 =✄✂15 U.A.✁ 2. une primitive F def
F(x) = 1 2×1
2x2+ 2x=
☛
✡
✟
✠ 1
4x2+ 2x 3.
Z 4
−2
f(x)dx=F(4)−F(−2) = (1
4×42+ 2×4)−(1
4×(−2)2+ 2×(−2)) Z 4
−2
f(x)dx=F(4)−F(−2) = 12−(−3) =✄✂ ✁15
✎
✍
☞
✌ Z 4
−2
f(x)dx= aire du trapèze
4. valeur moyenne m def sur[−2; 4] :m= 1 4−(−2)
Z 4
−2
f(x)dx= 1
6 ×15 = 5
2 =✞✝2,5☎✆
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0 1 2 3 4
0 1 2 3 4 5
Cf – soitf définie sur Rpar f(x) =−1
2x2+ 3x 1. ✞✝17 ≤aire parabolique hachurée ≤18 ☎✆ 2. une primitiveF def
F(x) =−1 2×1
3x3+ 3×1 2x2 =
☛
✡
✟
−1 ✠ 6x3+ 3
2x2 3.
Z 6 0
f(x)dx=F(6)−F(0) Z 6
0
f(x)dx= (−1
6 ×63+3
2 ×62)−(−1
6 ×03+3
2 ×02) = 18−0 = ✄✂18 U.A. ✁
✎
✍
☞
✌ Z 6
0
f(x)dx=aire parabolique hachurée 4. valeur moyenne m def sur[0; 6] :m= 1
6−0 Z 6
0
f(x)dx= 1
6 ×18 =✄✂ ✁3
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4 5
Cf
Cg
– soitf définie sur Rpar f(x) =−1
2x2+ 3x soit g définie sur Rpar g(x) = 1
2x+ 2 1. ✞✝2 ≤aire hachurée ≤3☎✆
2. F etG des primitives respectives de f etg
☛
✡
✟ F(x) =−1 ✠
6x3+3 2x2 et
☛
✡
✟ G(x) = 1 ✠
4x2+ 2x 3.
Z 4 1
f(x)dx− Z 4
1
g(x)dx Z 4
1
f(x)dx− Z 4
1
g(x)dx=F(4)−F(1)−((G(4)−G(1)) Z 4
1
f(x)dx− Z 4
1
g(x)dx=F(4)−F(1)−((G(4)−G(1)) F(4) =−1
6 ×43+3
2 ×42 =−32
3 + 24 = 40 3 F(1) =−1
6 ×13+3
2 ×12 = 4 3 G(4) = 1
4×42+ 2×4 = 12 G(1) = 1
4×12+ 2×1 = 3 2 Z 4
1
f(x)dx− Z 4
1
g(x)dx= 40 3 −4
3 −(12−9
4) = 2,25 ce résultat est cohérent avec celui du a.
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corrigé activité 2 : Terminales ES - Sujet Callédonie 2005 : ex 103 page 199 1. en unités d’aire, l’aire S de la partie hachurée est S =
Z 6 0
f(x)dx S =
Z 6 0
(3
4x2−3x+ 6)dx= [F(x)]60 = [0,25x3−1,5x2+ 6x]60
S = F(6)−F(0) = (0,25×63−1,5×62+ 6×6)−0 =✄✂36 unités d’aires ✁
or une unité d’aire vaut 2×0,75 = 1,5cm2 ce qui donne en pour S :36×1,5 =✞✝54cm2 ☎✆ 2. la valeur moyenne de f sur[0 ; 6]est :m= 1
6−0 Z 6
0
f(x)dx= 36 6 = ✄✂ ✁6
3. R(x)l’aire, en unités d’aire, du rectangle OHM K= longueur×largeur =x×f(x) =✞✝0,75x3−3x2+ 6x ☎✆ 4. (a) aire R(x)du rectangle OHM K =aire hachurée S
⇐⇒0,75x3−3x2+ 6x= 36⇐⇒0,75x3−3x2+ 6x−36 = 0⇐⇒✞✝g(x) = 0☎✆ (b) variations deg sur l’intervalle [0 ; 6]et tableau de variation deg.
• Calcul deg′(x) :✞✝g′(x) = 2,25x2−6x+ 6☎✆
• Annulation et signe deg′(x) :
g′(x)est un polynôme de degré 2 de la formeax2+bx+c, on utilise la règle du signe deax2+bx+c.
et pourg′(x) = 0on utilise le discriminant :
∆ =−18<0 donc aucune annulation et on a le tableau de signes suivant.
x 0 6
g′(x) +
• variations deg :
x 0 6
g′(x) + 54
g(x) ր
-36 g(0) =−36
•
g(0) =−36et−36<0 g(6) = 54 et54>0
g est continue sur[0; 6] en tant que fonction polynômiale de degré 3 g est strictement croissante sur[0; 6]
d’après le théorème des valeurs intermédiaires l’équation g(x) = 0 possède alors une solution unique α dans[0; 6]
• La calculatrice permet de voir que4,55 < α <4,56car : f(4,55)≃ −0,16<0
f(4,56)≃0,093>0 donc ✞✝α= 4,55ou 4,56☎✆à 10−2 près.
•conclusion : pour que le rectangle ait la même aire que la surface hachurée, il faut que✞✝x=α≃4,55☎✆
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3.3 à retenir
définition 2 (de l’intégrale)
Soitf une fonction continue sur un intervalle I;F une primitive def;aetb deux réels deI.
L’intégrale de aà bde f est le nombre noté :
✎
✍
☞
✌ Z b
a
f(x)dx avec
✎
✍
☞
✌ Z b
a
f(x)dx=F(b)−F(a)
Remarques :
(1) on lit aussi :"intégrale de a à b de f de x dx"
(2) on note aussi :F(b)−F(a) = [F(x)]ba
(3) le choix de la primitive de f n’a pas d’effet sur la valeur de l’intégrale.
propriété 5
f etgsont deux fonctions continues sur un intervalle I ,aetbsont deux réels deI,α∈R (P1) : (bornes identiques) :
✎
✍
☞
✌ Z a
a
f(x)dx= 0 (P2) : (inversion des bornes ) :
✎
✍
☞
✌ Z a
b
f(x)dx=− Z b
a
f(x)dx (P3) : (relation de Chasles ) :
✎
✍
☞
✌ Z b
a
f(x)dx+ Z c
b
f(x)dx= Z c
a
f(x)dx (P4) : (linéarité) :
✎
✍
☞
✌ Z b
a
αf(x)dx=α Z b
a
f(x)dx
✎
✍
☞
✌ Z b
a
(f(x) +g(x))dx= Z b
a
f(x)dx+ Z b
a
g(x)dx (P5) : (intégrale et positivité) :
✎
✍
☞
✌ si f ≥0 surI alors
Z b a
f(x)dx≥0 (P6) : (intégrale et ordre) :
✎
✍
☞
✌ si f ≥g surI alors
Z b a
f(x)dx≥ Z b
a
g(x)dx
propriété 6 (de l’aire "sous" la courbe d’une fonction positive ) 1U.A.
Cf
a O b
✛
✚
✘
✙ Z b
a
f(x)dx= Aire entre
• la courbeCf def
• l’axe des abscisses
• la droite verticale d’équation x=a
• la droite verticale d’équation x=b où f est positive et continue surI avec a < b deux réels deI remarque : l’aire trouvée est exprimée en unités d’aires (U.A.)
définition 3 (valeur moyenne d’une fonction) Cf
a O b
la valeur moyenne de f sur[a; b] est le nombre m tel que :
✎
✍
☞
✌ m= 1
b−a Z b
a
f(x)dx
Remarque : C’est la hauteur m du rectangle de largeur b−a
qui une aire égale à à l’intégrale.
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3.4 exercices exercice 3 :
1. calculerA= Z 2
0
x3dxen utilisant deux primitives distinctes et comparer les résultats 2. démontrer la remarque (3) de la définition 2
exercice 4 :
1. démontrer la propriété (P1) 2. déterminer A=
Z 10 10
x2dx+ Z −4
−4
x3dx sans aucun calculs exercice 5 :
1. démontrer la propriété (P2) 2. on sait queA=
Z 10 2
f(x)dx= 12que vaut alors B = Z 2
10
f(x)dx ? exercice 6 :
1. démontrer la propriété (P3) 2. on sait queA=
Z 10 2
f(x)dx= 12et queB = Z 15
10
f(x)dx= 8 que vaut alors C= Z 15
2
f(x)dx ? exercice 7 :
1. démontrer la propriété (P4) 2. on sait que
Z 10 2
f(x)dx= 12et que Z 10
2
g(x)dx= 18 a. que vaut alors
Z 10 2
5f(x)dx ? b. que vaut alors
Z 10 2
(f(x) +g(x))dx ? c. que vaut alors
Z 10 2
(5f(x)−3g(x))dx ? exercice 8 :
1. on sait quef(x)<10 sur[ 1 ; 5 ] démontrer que Z 5
1
f(x)dx <40 2. on sait quex2< g(x)< x sur[ 0 ; 1 ]en déduire un encadrement de
Z 1 0
g(x)dx exercice 9 :
1. calculer l’aire sous la courbe de la fonction cube entre -2 et 2 et faire une figure 2. calculer l’aire sous la courbe de la fonction carrée entre -2 et 2 et faire une figure exercice 10 :
1. calculer la valeur moyenne la fonction cube entre -2 et 2 et faire une figure 2. calculer la valeur moyenne de la fonction carrée entre -2 et 2 et faire une figure exercice 11 :
soit la courbe de la fonction f avec f(x) =−x+ 5− 4
x pour1≤x≤4 a. calculer
Z 4 1
(−x+ 5− 4 x)dx
b. interpréter le résultat en termes d’aire
c. calculer la valeur moyenne de f pourx compris entre 1 et 4
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exercice 12 :
calculer les intégrales suivantes et en déduire les valeurs moyennes associées a.
Z 3 0
(x−4)dx b.
Z 2 1
(t− 1 t2)dt c.
Z 0
−2
4q3dq
d.
Z 1
−1
(x2−1)dx e.
Z 2
−1
3 x+ 2dx
exercice 13 :
1. on sait que
f(x) = e0,36x 99 +e0,36x F(x) = 1
0,36ln(99 +e0,36x)
calculer la valeur moyenne exacte puis approchée à 0,01 près de f sur [30; 40]
2. on sait que
f(x) = 200 + 0,02(x−7)ex F(x) = 200x+ 0,02(x−8)ex
(a) calculer la valeur exacte puis approchée à 0,01 près de Z 7
1
f(x)dx
(b) en déduire la valeur moyenne exacte puis approchée à 0,01 près de f sur[1; 7]
3. on sait que f(t) = 10e0,05t
calculer la valeur moyenne exacte puis approchée à 0,01 près de f sur [−20; 30]
4.
f(x) =e−x(x−3)2
F(x) =−e−x(x2−4x+ 5)
calculer la valeur moyenne exacte puis approchée à 0,01 près de f sur [0; 10]
5.
f(x) = 10−2e−0,2x+1 F(x) = 10x+ 10e−0,2x+1
calculer la valeur moyenne exacte puis approchée à 0,01 près de f sur [1; 20]
6.
f(x) = 6x+ 28−24ln(x) F(x) = 3x2+ 52x−24xln(x) (a) calculer la valeur exacte de
Z 12 1
f(x)dx
(b) en déduire la valeur moyenne exacte puis approchée à 0,01 près de f sur[1; 12]
7.
f(x) = 9,3−0,048x− 2,8e2x e2x+ 160000
F(x) = 9,3x−0,024x2−1,4ln(e2x+ 160000)
calculer la valeur moyenne exacte puis approchée à 0,01 près de f sur [0; 12]
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exercice 14 :
f est définie sur]−1 ; +∞ [par f(x) =x− 4 (x+ 1)2
1 2 3
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4
−1
Cf
1U.A.
1. calculer Z 4
2
f(x)dx
interpréter graphiquement le résultat
(définir la surface par un système d’inéquations) 2. calculer
Z 4 0
f(x)dx
cette intégrale est-elle une aire ?
3. calculer la valeur moyenne de f entre 2 et 4 exercice 15 :
f est définie sur]2 ; 10 [par f(x) = 30(lnx−1)2 x
a. calculer la dérivée de la fonctiong définie sur]2 ; 10 [ par g(x) = (lnx−1)3 b. en déduire une primitive def sur]2 ; 10 [
c. en déduire la valeur moyenne def sur]2 ; 10 [ d. étudier les variations def sur]2 ; 10 [
exercice 16 :
f(x) =−1
4x2+ 2x+ 5 g(x) = 32
x2
1. soient les aires hachurées suivantes
01 23 45 67 89
0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 Cf
01 23 45 67 89
0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 Cg
a. calculer l’aire correspondant à f
b. calculer la valeur moyenne de f sur [ 0 ; 10 ] c. calculer
Z 4 0
f(x)dxen déduire Z 8
0
f(x)dx
2. a. calculer l’aire correspondant au système :
2≤x≤8 0≤y≤ 32
x2 b. calculer la valeur moyenne de : x7−→ 32
x2 sur [ 2 ; 8 ]
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exercice 17 :
la capacité pulmonaire d’un humain exprimée en litres dépend de son âge x on peut la modéliser par la fonction f telle que : f(x) = 110(lnx−2)
x pourx∈[ 10 ; 90 ] 1. étudier les variations def sur[ 10 ; 90 ]
2. a. tracer la courbe def avec 1cm pour 10 ans et 2cm pour 1 litre.
b. déterminer graphiquement l’intervalle d’âges durant lequel la capacité reste supérieure à 4,5 L 3. a. calculer la dérivée degavec g(x) = (lnx−2)2 et en déduire une primitive de f
b. en déduire la valeur moyenne de la capacité pulmonaire entre 20 et 70 ans à 0,1 L par défaut exercice 18 :(calcul de surplus)
soit x la quantité (en milliers) d’un certain article disponible sur le marché.
le prix unitaire (en euros) de la demande (des consommateurs) est donné parf(x) =−9x+ 75 le prix unitaire (en euros) de l’offre (des producteurs) est donné par g(x) =−x2+ 16x+ 9
Définition 1 : le prix d’équilibre du marchépe, est le prix associé à la quantité qe pour laquelle le prix de la demande est égale au prix de l’offre .
Définition 2 : le surplus des consommateurs est égal à :Sc = Z qe
0
(f(x)−pe)dx
(correspond à l’économie réalisée par les consommateurs qui étaient près à payer plus cher jusqu’àu prix d’équilibre)
Définition 3 : le surplus des producteurs est égal à :Sp = Z qe
0
(pe−g(x))dx
(correspond à l’économie réalisée par les producteurs qui étaient près à vendre moins cher jusqu’àu prix d’équilibre)
0 10 20 30 40 50 60 70
0 1 2 3 4 5
Cf Cg
x
1. déterminer graphiquement le prix d’équilibre ainsi que la quantité à l’équilibre grâce à une des définitions et vérifier par calcul.
2. a. calculer grâce à une des définitions, le surplus des consommateurs à 0,1 mililers d’euros près et interpréter le résultat
b. écrireSc sous la forme d’une différence entre deux intégrales et en déduire une interprétation graphique deSc en termes d’aire (colorier la surface associée).
3. a. calculer grâce à une des définitions, le surplus des producteurs à 0,1 mililers d’euros près.
b. écrireSp sous la forme d’une différence entre deux intégrales et en déduire une interprétation graphique deSp en terme d’aire (colorier la surface associée)
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exercice 19 :(aire de la surface entre deux courbes)
0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6 7
Cf Cg
x 1. estimer graphiquement un encadrement de
l’aire de la surface hachurée I par deux entiers 2. sachant que :
f(x) =−1
2x2+ 4x− 5 2 g(x) =x
déterminer la valeur exacte de I (considérer deux surfaces)
exercice 20 :(Courbe de Lorentz et Indice de Gini) (bac 2004)
• x est la proportion cumulée de la population du pays ( entre 0 = 0% et 1 = 100%).
• la proportion cumulée des richesses d’un paysF est donnée en fonction de xpar f(x) = 0,9x3+ 0,1x de courbe Cf ci dessous.(par exemple : dans ce pays, 40% de la population détient 10% de la richesse)
• la proportion cumulée des richesses d’un paysGest donnée en fonction dexpar g(x) = 0,9x6+ 0,1x2 de courbe Cg
• la droiteD d’équation y=x représente la distribution parfaitement égalitaire (pour tout t avec0≤t≤1 on a : t% de la population détient t% de la richesse)
Définition 1 : L’indice de Gini associé à une courbe de LorentzCf est le nombre
✎
✍
☞
✌ I = 2
Z 1 0
(x−f(x))dx
Définition 2 :
siI = 0 on dit qu’il y a absence d’inégalité
plusI est proche de 1 et plus l’inégalité est grande siI = 1 on dit qu’il y a inégalité extrème
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Cf
Cg D
x y
1. Quelle proportion des richesses du paysGest détenue par80%de la population ? (graphiquement) 2. a. Lequel des deux pays semble le plus inégalitaire ?
b. Vérifier que l’indice de Gini vaut 0 dans le cas d’un pays parfaitement égalitaire.
c. i. Calculer l’indice de Gini du pays F à 0,1 près.
ii. EcrireI sous la forme du produit par 2 d’une différence entre deux intégrales et en déduire une interprétation graphique de I en termes d’aire(colorier la surface associée).
d. Calculer l’indice de Gini du pays Gà 0,1 près.
e. Comparer les deux pays
3. Représenter ci dessus une courbe de pays extrèmement inégalitaire.
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3.5 corrigés exercices corrigé exercice 1 :
soit la courbe de la fonction f avec f(x) =−x+ 5− 4
x pour1≤x≤4 a.
Z 4 1
(−x+ 5− 4 x)dx Z 4
1
(−x+ 5−4
x)dx= [−x2
2 + 5x−4lnx]41 = (−42
2 + 5×4−4ln4)−(−12
2 + 5×1−4ln1) =
☛
✡
✟
✠ 15
2 −4ln4 b. interprétation du résultat en termes d’aire :
l’aire du domaine compris entre la courbe de f et l’axe des abscisses pour x compris entre 1 et 4 vaut ✄✂≃2 unités d’aires✁
c. valeur moyenne def pour xcompris entre 1 et 4 m= 1
4−1 Z 4
1
(−x+ 5− 4
x)dx= 1 3(15
2 −4ln4) =
☛
✡
✟
✠ 5
2 −4 3ln4 corrigé exercice 2 :
calculer les intégrales suivantes et en déduire les valeurs moyennes associées a.
Z 3 0
(x−4)dx Z 3
0
(x−4)dx= [x2
2 −4x]30 = (32
2 −4×3)−(02
2 −4×0) = 9
2 −12 =
✞
✝
☎
✆ 15
2 valeur moyenne de f sur[ 0 ; 3 ] :m= 1
3−0 Z 3
0
(x−4)dx= 1 3× 15
2 =
✞
✝
☎
✆ 5 2
b.
Z 2 1
(t− 1 t2)dt Z 2
1
(t− 1
t2)dt= [t2 2 −−1
t ]21= [t2 2 +1
t]21= (22 2 +1
2)−(12 2 +1
1) =✄✂ ✁1 valeur moyenne de f sur[ 1 ; 2 ] :m= 1
2−1 Z 2
1
(t− 1
t2)dt=✄✂ ✁1
c.
Z 0
−2
4q3dq Z 0
−2
4q3dq= [q4]30= (04)−(−2)4 =✞✝−16☎✆ valeur moyenne de f sur[−2 ; 0 ]:m= 1
0−(−2) Z 0
−2
4q3dq= 1
2×(−16) =✞✝−8☎✆
d.
Z 1
−1
(x2−1)dx Z 1
−1
(x2−1)dx= [x3
3 −x]1−1 = (13
3 −1)−((−1)3
3 −(−1)) = 1
3 −1 + 1 3−1 =
☛
✡
✟
✠
−4 3 valeur moyenne de f sur[−1 ; 1 ]:m= 1
1−(−1) Z 1
−1
(x2−1)dx= 1 2×(−4
3) =
☛
✡
✟
−2 ✠
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3e.
Z 2
−1
3 x+ 2dx Z 2
−1
3
x+ 2dx= [3ln(x+ 2)]2−1 = 3ln(2 + 2)−(3ln(−1 + 2)) = 3ln4−3ln1 = ✞✝3ln4☎✆ valeur moyenne de f sur[−1 ; 2 ]:m= 1
3−0 Z 2
−1
3
x+ 2dx= 1
2−(−1) ×3ln4 = ✞✝ln4☎✆ corrigé exercice 3 :
f est définie sur]−1 ; +∞ [par f(x) =x− 4 (x+ 1)2
1 2 3
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4
−1
Cf
1U.A.
1.
Z 4 2
f(x)dx
Z 4 2
f(x)dx= [x2
2 −4× −1 x+ 1]42 Z 4
2
f(x)dx= [x2 2 + 4
x+ 1]42
Z 4 2
f(x)dx= (42 2 + 4
4 + 1)−(22 2 + 4
2 + 1) Z 4
2
f(x)dx= 8 +4
5 −2−4 3 Z 4
2
f(x)dx= 120 15 +12
15 −30 15 −20
15 = 82
15 ≃ ✞✝5,5☎✆ interprétation graphique du résultat :
l’aire du domaine définit par le système d’inéquation :
2≤x≤4 0≤y≤f(x)
vaut environs✞✝5,5 unités d’aires .☎✆
2.
Z 4 0
f(x)dx Z 4
0
f(x)dx= [x2 2 + 4
x+ 1]40
Z 4 0
f(x)dx= (42 2 + 4
4 + 1)−(02 2 + 4
0 + 1) Z 4
0
f(x)dx= 8 +4 5 −4 Z 4
0
f(x)dx= 40 5 +4
5 −20 5 =
✞
✝
☎
✆ 24
5
cette intégrale n’est pas une aire car la fonction change de signe entre 2 et 4
3. valeur moyenne def entre 2 et 4
m= 1 4−2
Z 4 2
f(x)dx= 1 2× 24
5 =
✞
✝
☎
✆ 12
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5corrigé exercice 4 :
f est définie sur]2 ; 10 [par f(x) = 30(lnx−1)2 x
a. dérivée de la fonctiong définie sur ]2 ; 10 [par g(x) = (lnx−1)3 g=u3 =⇒g′ = 3u2u′ avecu=lnx−1 =⇒u′ = 1
x g′(x) = 3(lnx−1)2× 1
x =
✎
✍
☞
✌ 3(lnx−1)2
x b. une primitive de f sur]2 ; 10 [
g′(x) = 3(lnx−1)2 x
10g′(x) = 30(lnx−1)2
x =f(x) 10g est une primitive def
✞
✝
☎
F(x) = 10g(x) = 10(lnx−1)3 ✆est une primitive de f sur]2 ; 10 [
c. valeur moyenne def sur]2 ; 10 [ Z 10
2
f(x)dx= [10(lnx−1)3]102
Z 10 2
f(x)dx= 10(ln10−1)3−10(ln2−1)3 Z 10
2
f(x)dx≃22,39 m= 1
10−2 Z 10
2
f(x)dx
m≃ 1
8 ×22,39 m≃✞✝2,8☎✆
d. étude des variations def sur ]2 ; 10 [ dérivée :
f = u
v =⇒f′ = u′v−uv′ v2 avec
u= 30(lnx−1)2 =⇒u′ = 30×2×(lnx−1)× 1 x (∗) v=x=⇒v′= 1
(∗) : (u2)′ = 2uu′
f′(x) =
(30×2×(lnx−1)× 1
x)×x−(30(lnx−1)2)×1 x2
f′(x) = 60(lnx−1)−30(lnx−1)2
x2 = 30(lnx−1)(2−(lnx−1)
x2 = 30(lnx−1)(3−lnx) x2
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annulation et signe de la dérivée et variations def sur]2 ; 10 [: f′(x) = 30(lnx−1)(3−lnx)
x2 est du signe de (lnx−1)(3−lnx) car 30 etx2 sont positifs il reste à étudier les signes de (lnx−1) et(3−lnx):
lnx−1≥0⇐⇒lnx≥1⇐⇒x≥e1 ⇐⇒x≥e avec e≃2,718
3−lnx≥0⇐⇒ −lnx≥ −3⇐⇒lnx≤3⇐⇒x≤e3 avec e3≃20,1 (hors tableau car x∈]2 ; 10 [)
x 2 e 10
lnx−1 - 0 +
3−lnx + | +
f′(x) - 0 +
≃1,41 ≃5,09
f(x) ց ր
0
f(e) = 30(lne−1)2
e = 0
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corrigé exercice 5 :
f(x) =−1
4x2+ 2x+ 5 g(x) = 32
x2
1. soient les aires hachurées suivantes
01 23 45 67 89
0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 Cf
01 23 45 67 89
0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 Cg
a. aire correspondant à f :
f(x) =−1
4x2+ 2x+ 5 F(x) =−1
12x3+x2+ 5x
S1= Z 10
0
f(x)dx= [F(x)]100 = [− 1
12x3+x2+ 5x]100 =F(10)−F(0) S1 = (− 1
12 ×103+ 102+ 5×10)−0 = 800 12 =
☛
✡
✟
✠ 200
3 U.A. ≃66,7 b. valeur moyenne def sur[ 0 ; 10 ]:
1 10−0
Z 10 0
f(x)dx= 1
10 ×200 3 =
☛
✡
✟
✠ 20
3 ≃6,7
c.
Z 4 0
f(x)dx=F(4)−F(0) = (− 1
12 ×43+ 42+ 5×4)−0 = 368 12 =
☛
✡
✟
✠ 92
3 U.A. ≃30,7 on en déduit par symétrie de la courbe que
Z 8 0
f(x)dx= 2×92 3 =
☛
✡
✟
✠ 184
3 U.A.
2. a. aire correspondant au système :
2≤x≤8 0≤y≤ 32
x2 g(x) = 32
x2 G(x) =−32
x S2 =
Z 8 2
g(x)dx= [G(x)]82 = [−32
x]82 =G(8)−G(2) S2 = (−32
8 )−(−32
2 ) = 12=✄✂12 U.A. ✁
b. valeur moyenne de :x7−→ 32
x2 sur[ 2 ; 8 ] : m= 1
8−2 Z 8
2
g(x)dx= 1
6 ×12= ✄✂ ✁2
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corrigé exercice 6 :
la capacité pulmonaire d’un humain exprimée en litres dépend de son âge x on peut la modéliser par la fonction f telle que : f(x) = 110(lnx−2)
x pourx∈[ 10 ; 90 ] 1. variations def sur[ 10 ; 90 ]
• dérivée :
f(x) = 110(lnx−2)
x = 110lnx−220 x f′(x) =
(110×1
x)×x−(110lnx−220)×1
x2 =
☛
✡
✟
✠ 330−110lnx
x2
• annulation et signe def′(x), varations de f :
f′(x) est du signe du numérateur car un carré est positif f′(x) = 0⇐⇒330−110lnx = 0⇐⇒lnx= 330
110 ⇐⇒✞✝x=e3 ☎✆ f′(x)<0⇐⇒330−110lnx <0⇐⇒lnx > 330
110 ⇐⇒x > e3 f′(x)>0⇐⇒330−110lnx >0⇐⇒lnx < 330
110 ⇐⇒x < e3
d’où :
x 10 e3 ≃20 90
f′(x) + 0 -
≃5,5
f(x) ր ց
≃3,3 ≃3,1
f(10) = 110(ln10−2) 10 ≃3,3
2. a. courbe de f avec 1cm pour 10 ans et 2cm pour 1 litre.
0 1 2 3 4 5
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Cf x 10 20 30 40 50 60 70 80 90
f(x) 3.3 5.5 5.1 4.6 4.2 3.8 3.5 3.3 3.1 b. graphiquement :
✞
✝
☎ f(x)>4,5⇐⇒x∈] 12 ; 42 [✆ 3. a. g(x) = (lnx−2)2 =u2
g′(x) = 2(lnx−2)×1
x = 2uu′
☛
✡
✟ g′(x) = 2(lnx−2) ✠
x
✞
✝
☎ F(x) = 55×(lnx−2)2 ✆ est une primitive de f carF′(x) = 55×2(lnx−2)
x =f(x) b. valeur moyenne de la capacité pulmonaire
entre 20 et 70 ans à 0,1 L par défaut.
m= 1
70−20 Z 70
20
f(x)dx m= 1
50(F(20)−F(70)) m≃✞✝4,5 L☎✆
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corrigé exercice 7 :(Courbe de Lorentz et Indice de Gini)(bac 2004)
• x est la proportion cumulée de la population du pays ( entre 0 = 0% et 1 = 100%).
• la proportion cumulée des richesses d’un pays F est donnée en fonction de x par f(x) = 0,9x3+ 0,1x de courbe Cf ci dessous.(par exemple : dans ce pays, 40% de la population détient 10% de la richesse)
• la proportion cumulée des richesses d’un pays Gest donnée en fonction de x par g(x) = 0,9x6+ 0,1x2 de courbe Cg
• la droiteD d’équation y=x représente la distribution parfaitement égalitaire (pour tout t avec0≤t≤1 on a : t% de la population détient t% de la richesse)
Définition 1 : L’indice de Gini associé à une courbe de LorentzCf est le nombre
✎
✍
☞
✌ I = 2
Z 1 0
(x−f(x))dx
Définition 2 :
siI = 0 on dit qu’il y a absence d’inégalité
plus I est proche de 1 et plus l’inégalité est grande siI = 1 on dit qu’il y a inégalité extrème
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Cf
Cg Ch
D
x y
1. ✞✝30% des richesses du pays☎✆ Gest détenue par80% de la population(graphiquement) 2. a. le paysG semble le plus inégalitaire :
car : ( ✞
✝ ☎
30% des richesses du pays✆ Gest détenue par 80%de la population
✞
✝
☎
≃55%✆des richesses du paysF est détenue par 80%de la population b. Indice de Gini dans le cas d’un pays parfaitement égalitaire.
I = 2 Z 1
0
(x−h(x))dx avech(x) =x I = 2
Z 1 0
(x−x)dx= 2 Z 1
0
0dx= [k]10=k−k= ✄✂ ✁0
