Combinatoire alg´ ebrique li´ ee aux ordres sur les arbres

(1)

D´efinitions

Éléments inférieurs dans l’ordre de Tamari Algèbre Cambrienne

Combinatoire alg´ ebrique li´ ee aux ordres sur les arbres

G. Chˆatel

8 d´ecembre 2015

G. Châtel Combinatoire algébrique liée aux ordres sur les arbres

(2)

D´efinitions

permutations arbres binaires suites binaires

Combinatoire

4231 4312

3421 3412

3241 2431 4213 4132

1234

1324 1243

2134 2143

2314 3124 1342 1423

3142 2413 4123 1432

3214 2341

− − −

− + − + − −

− − +

− + + + − + + + −

Algèbre Âlgèbre de Malvenuto-Reutenauer Algèbre de Loday-Ronco Fonctions symétriques non commutatives FQSym = vecthF^τ|τ∈Si PBT = vecthP^T|T∈ BT i NCSF = vecthX^η|η∈ ±^∗i

G´eom´etrie

3421 3412

4321 4312

2413 4213

3214 1432 1423

1342

1243 123413242134 2341

2431

23143124

− − −

− + −

+ − −

− − +

− + +

+ − +

+ + − + + +

(3)

D´efinitions

Combinatoire

4321

4231 4312

3421 3412

3241 2431 4213 4132

1234

1324 1243

2134 2143

2314 3124 1342 1423

3142 2413 4123 1432

3214 2341

− − −

− + − + − −

− − +

− + + + − + + + −

+ + +

G´eom´etrie

3421 3412

4321 4312

2413 4213

3214 1432 1423

1342

1243 123413242134 2341

2431

23143124

− − −

− + −

+ − −

− − +

− + +

+ − +

+ + − + + +

(4)

D´efinitions

Combinatoire

4321

4231 4312

3421 3412

3241 2431 4213 4132

1234

1324 1243

2134 2143

2314 3124 1342 1423

3142 2413 4123 1432

3214 2341

− − −

− + − + − −

− − +

− + + + − + + + −

+ + +

G´eom´etrie

3421 3412

2413 4213

3214 1432 1423

1342

1243 123413242134 2341

2431

23143124

− − −

− + −

+ − −

− − +

− + +

+ − +

+ + −

(5)

D´efinitions

Combinatoire

4321

4231 4312

3421 3412

3241 2431 4213 4132

1234

1324 1243

2134 2143

2314 3124 1342 1423

3142 2413 4123 1432

3214 2341

− − −

− + − + − −

− − +

− + + + − + + + −

+ + +

G´eom´etrie

3421 3412

4321 4312

2413 4213

3214 1432 1423

1342

1243 123413242134 2341

2431

23143124

− − −

− + −

+ − −

− − +

− + +

+ − +

+ + − + + +

(6)

Alg`ebre Cambrienne

1 D´efinitions Ordres

Permutations, ordre faible et treillis Arbres binaires et treillis de Tamari

2 El´éments inférieurs dans l’ordre de Tamari Résultat principal

Exemple

Idée de l’interprétation combinatoire Résultats supplémentaires

3 Alg`ebre Cambrienne Combinatoire Alg`ebre

R´esultats suppl´ementaires

(7)

D´efinitions

Ordres

D´ efinitions

Ordre total

Relation “ˆEtre plus ag´e” :

ArthurCZakariaCGr´egoryCSamueleCNicolasCJean-ChristopheCJean-Yves. Relation “ˆEtre plus grand” :

ArthurCGr´egoryCSamueleCNicolasCJean-YvesCJean-ChristopheCZakaria. Ordre partiel

Relation “ˆEtre plus grand et plus ag´e” :

Arthur

Zakaria Gr´egory

Samuele Nicolas

Jean-Christophe Jean-Yves

(8)

Alg`ebre Cambrienne Arbres binaires et treillis de Tamari

Extensions lin´ eaires

Extension lin´eaired’un ordre partielP := ordre total compatible `aP.

P=

4

1 3

2

L(P) ={4C3C1C2, 4C1C3C2, 4C1C2C3}

={4312,4132,4123}

(9)

D´efinitions

Ordres

Permutations et ordre faible

Permutations

Une permutationσest un mot de taillendans lequel chaque lettre de {1, . . . ,n}apparaˆıt une seule fois.

Ex : 31524, 1423, 312.

Ordre faible droit sur les permutations

A chaque ´` etape, on ´echange deux valeurs cons´ecutives croissantes.

123 213 132 231 312

321

(10)

Ordre faible de taille 4

1234

2134 1324 1243

2314 3124 2143 1342 1423

3214 2341 3142 2413 4123 1432

3241 2431 3412 4213 4132

3421 4231 4312

4321

(11)

D´efinitions

Ordres

Ordre faible de taille 4

1234

2134 1324 1243

2314 3124 2143 1342 1423

3214 2341 3142 2413 4123 1432

3241 2431 3412 4213 4132

3421 4231 4312

4321

(12)

Ordre faible de taille 4

1234

2134 1324 1243

2314 3124 2143 1342 1423

3214 2341 3142 2413 4123 1432

3241 2431 3412 4213 4132

3421 4231 4312

4321

(13)

D´efinitions

Ordres

Ordre faible de taille 4

1234

2134 1324 1243

2314 3124 2143 1342 1423

3214 2341 3142 2413 4123 1432

3241 2431 3412 4213 4132

3421 4231 4312

4321

(14)

Ordre faible de taille 4

1234

2134 1324 1243

2314 3124 2143 1342 1423

3214 2341 3142 2413 4123 1432

3241 2431 3412 4213 4132

3421 4231 4312

4321

(15)

D´efinitions

Ordres

Arbres binaires

D´efinition

Un arbre binaire est soit un arbre vide soit une racine sur laquelle on a greff´e deux arbres binaires.

•

• •

•

• •

Propri´et´es des arbres binaires

compt´es par les nombres de CatalanCn= _n+1¹ ²ⁿ_n , sont en bijection avec des centaines d’objets, apparaissent dans de nombreux champs des sciences.

(16)

D´efinitions

Ordres

Arbres binaires

D´efinition

•

• •

•

• • •

• •

(17)

D´efinitions

Ordres

Arbres binaires

D´efinition

•

• •

•

• •

(18)

Arbres binaires

D´efinition

•

• •

•

• •

(19)

D´efinitions

Ordres

Ordre de Tamari sur les arbres binaires

Rotation droite

x y

A B

C →

x

A y

B C

(20)

Ordre de Tamari sur les arbres binaires

Rotation droite

x y

A B

C →

x

A y

B C

(21)

D´efinitions

Ordres

Ordre de Tamari sur les arbres binaires

Rotation droite

x y

A B

C →

x

A y

B C

(22)

Ordre de Tamari sur les arbres binaires

Rotation droite

x y

A B

C →

x

A y

B C

(23)

D´efinitions

Ordres

Ordre de Tamari sur les arbres binaires

Rotation droite

x y

A B

C →

x

A y

B C

(24)

Ordre de Tamari sur les arbres binaires

Rotation droite

x y

A B

C →

x

A y

B C

(25)

D´efinitions

Ordres

Ordre de Tamari sur les arbres binaires

Rotation droite

x y

A B

C →

x

A y

B C

(26)

Ordre de Tamari sur les arbres binaires

Rotation droite

x y

A B

C →

x

A y

B C

(27)

D´efinitions

Ordres

Ordre de Tamari sur les arbres binaires

Rotation droite

x y

A B

C →

x

A y

B C

(28)

Ordre de Tamari sur les arbres binaires

Rotation droite

x y

A B

C →

x

A y

B C

(29)

D´efinitions

Ordres

Ordre de Tamari sur les arbres binaires

Rotation droite

x y

A B

C →

x

A y

B C

(30)

Ordre de Tamari sur les arbres binaires

Rotation droite

x y

A B

C →

x

A y

B C

(31)

D´efinitions

Ordres

Ordre de Tamari sur les arbres binaires

Rotation droite

x y

A B

C →

x

A y

B C

(32)

Ordre de Tamari

(33)

D´efinitions

Ordres

Quelques r´ esultats sur l’ordre de Tamari

1962, Tamari : ordre sur les parenth´esages formels,

1972, Huang, Tamari : structure de treillis, 2007, Chapoton : nombre d’intervalles,

2 n(n+ 1)

4n+ 1 n−1

!

2014, Pournin : diam`etre du polytope correspondant. 2n−4

(34)

D´efinitions

Ordres

Quelques r´ esultats sur l’ordre de Tamari

1962, Tamari : ordre sur les parenth´esages formels, 1972, Huang, Tamari : structure de treillis,

2 n(n+ 1)

4n+ 1 n−1

!

(35)

D´efinitions

Ordres

Quelques r´ esultats sur l’ordre de Tamari

1962, Tamari : ordre sur les parenth´esages formels, 1972, Huang, Tamari : structure de treillis, 2007, Chapoton : nombre d’intervalles,

2 n(n+ 1)

4n+ 1 n−1

!

(36)

Quelques r´ esultats sur l’ordre de Tamari

1962, Tamari : ordre sur les parenth´esages formels, 1972, Huang, Tamari : structure de treillis, 2007, Chapoton : nombre d’intervalles,

2 n(n+ 1)

4n+ 1 n−1

!

2014, Pournin : diam`etre du polytope correspondant.

2n−4

(37)

D´efinitions

Ordres

Exemple de statistique

Taille de la branche gauche d’un arbre

1

P

T

1 = 5

x³

x²

x¹

x²

x¹

x^bg(T) x= 1

P

T

x

^bg(T)

= x

³

+ 2x

²

+ 2x

x = 1

(38)

Exemple de statistique

Taille de la branche gauche d’un arbre

1

P

T

1 = 5

x³

x²

x¹

x²

x¹

x^bg(T) x= 1

P

T

x

^bg(T)

= x

³

+ 2x

²

+ 2x

x = 1

(39)

D´efinitions

R´esultat principal Exemple

Exemple

(40)

Algèbre Cambrienne Idée de l’interprétation combinatoire Résultats supplémentaires

El´ ´ ements inf´ erieurs dans l’ordre de Tamari

(41)

D´efinitions

Polynˆomes de Tamari [C., Pons 2012]

On d´efinit r´ecursivementBT par B∅(x) := 1

BT(x) :=xBL(x)xBR(x)− BR(1) x−1

avec T =

L

•

R

Th´eor`eme [C., Pons 2012]

BT(x) compte le nombre d’arbres inférieurs ou égaux àT dans l’ordre de Tamari en fonction du nombre de nœuds sur leur branche gauche.

(42)

avec T =

L

•

R

(43)

D´efinitions

avec T =

L

•

R

(44)

D´efinitions

Exemple de calcul

B∅:= 1

BR(x)=x²

(45)

D´efinitions

Exemple de calcul

B∅:= 1

BT(x) :=xBL(x)xBR(x)− BR(1) x−1 BL(x)=x²+x³

BR(x)=x²

(46)

Exemple de calcul

B∅:= 1

BT(x) :=xBL(x)xBR(x)− BR(1) x−1 BL(x)=x²+x³

BR(x)=x²

(47)

D´efinitions

Exemple de calcul

B∅:= 1

BT(x) :=x(x²+x³)xBR(x)− BR(1) x−1

BL(x)=x²+x³

BR(x)=x²

(48)

D´efinitions

Exemple de calcul

B∅:= 1

BT(x) :=x(x²+x³)(1 +x+x²)

BR(x)=x²

(49)

D´efinitions

Interpr´ etation du r´ esultat

BT(x) =x(x²+x³)(1 +x+x²) =x³+ 2x⁴+ 2x⁵+x⁶

BT(1) = 6

(50)

D´efinitions

Interpr´ etation du r´ esultat

BT(x) =x(x²+x³)(1 +x+x²) =x³+ 2x⁴+ 2x⁵+x⁶

(51)

D´efinitions

Interpr´ etation du r´ esultat

BT(x) =x(x²+x³)(1 +x+x²) =x³+2x⁴+ 2x⁵+x⁶

BT(1) = 6

(52)

D´efinitions

Interpr´ etation du r´ esultat

BT(x) =x(x²+x³)(1 +x+x²) =x³+ 2x⁴+2x⁵+x⁶

(53)

D´efinitions

Interpr´ etation du r´ esultat

BT(x) =x(x²+x³)(1 +x+x²) =x³+ 2x⁴+ 2x⁵+x⁶

BT(1) = 6

(54)

Interpr´ etation du r´ esultat

BT(x) =x(x²+x³)(1 +x+x²) =x³+ 2x⁴+ 2x⁵+x⁶ BT(1) = 6

(55)

D´efinitions

Polynˆ omes de Tamari en taille 4

B (x) =x⁴ B (x) =x⁴+x³ B (x) =x⁴+x³ B (x) =x⁴+x³+x² B (x) =x⁴+ 2x³+ 2x² B (x) =x⁴+x³ B (x) =x⁴+ 2x³+x²

B (x) =x⁴+x³+x² B (x) =x⁴+ 2x³+ 2x² B (x) =x⁴+x³+x²+x B (x) =x⁴+ 2x³+ 2x²+ 2x B (x) =x⁴+ 2x³+ 2x²+ 2x B (x) =x⁴+ 2x³+ 3x²+ 3x B (x) =x⁴+ 3x³+ 5x²+ 5x

(56)

D´efinitions

Id´ ee de l’interpr´ etation combinatoire

Tamari ayantT comme maximum. Nouveaux outils :

Intervalles-posets: posets en bijection avec les intervalles de Tamari. Op´eration de compositionsur les intervalles-posets.

Interpr´etation deBT en termes de composition d’intervalles-posets.

(57)

D´efinitions

Id´ ee de l’interpr´ etation combinatoire

Les arbres inf´erieurs `aT sont en bijection avec lesintervallesde l’ordre de Tamari ayantT comme maximum.

Nouveaux outils :

Intervalles-posets: posets en bijection avec les intervalles de Tamari. Op´eration de compositionsur les intervalles-posets.

(58)

D´efinitions

Id´ ee de l’interpr´ etation combinatoire

Nouveaux outils :

Intervalles-posets: posets en bijection avec les intervalles de Tamari.

Op´eration de compositionsur les intervalles-posets.

(59)

D´efinitions

Id´ ee de l’interpr´ etation combinatoire

Nouveaux outils :

Intervalles-posets: posets en bijection avec les intervalles de Tamari.

Op´eration de compositionsur les intervalles-posets.

(60)

m-Tamari

Compter les éléments inférieurs dans le treillis dem-Tamari ([Bergeron, Préville-Ratelle 2012]).

(61)

D´efinitions

Bijection entre intervalles et flots

Bijection entre les intervalles de l’ordre de Tamari et les flots fermés sur les forêts d’arbres enracinés ([Chapoton 2013]).

-1

1 1

1

3 3 4 4

-1

2 2 1 0 3

-1

0 0

2 2 1

(62)

R´ epartition sym´ etrique de statistiques

Preuve bijective de la répartition symétrique de deux statistiques dans la série génératrices des intervalles de l’ordre de Tamari ([Bousquet-Melou, Fusy, Préville-Ratelle 2011]).

Φ(y;x,z) =X

I

y^size(I)x^trees(I)z^ir(I), Φ(y;x,z) = Φ(y;z,x)

(63)

D´efinitions

Combinatoire Alg`ebre

Exemple

(64)

Algèbre Cambrienne Résultats supplémentaires

Arbres binaires ´ etiquett´ es

Arbre binaire de recherche:= arbre orienté et étiqueté tel que

j

<j >j

?

arbre décroissant:= arbre orienté et étiqueté tel que les étiquettes soient décroissantes sur les chemins de la racine vers les feuilles.

arbre binaire à niveaux:= arbre orienté et muni d’un étiquetage de recherche et d’un étiquetage décroissant

7 6 5 3 4

2 1

12 34 56 7

7 6 5 4 3 2 1

2 4 1 3

5 6 7

(65)

D´efinitions

Permutations vers les arbres binaires ` a niveaux

La correspondance sylvestre (Hivert, Novelli, Thibon 2005): permutations7−→(arbre binaire de recherche, arbre d´ecroissant) Reformulation(C., Pilaud) :

Ex : permutation 6275134

12 34 56 7

7 6 5 4 3 2 1

P(τ) =P-symbole deτ := arbre binaire de recherche produit par cette correspondance

Q(τ) =Q-symbole deτ = arbre d´ecroissant produit par cette correspondance. (par analogie avec l’algorithme de Robinson-Schensted)

(66)

D´efinitions

Permutations vers les arbres binaires ` a niveaux

12 34 56 7

7 6 5 4 3 2 1

correspondance

(67)

D´efinitions

Permutations vers les arbres binaires ` a niveaux

12 34 56 7

7 6 5 4 3 2 1

(68)

D´efinitions

Permutations vers les arbres binaires ` a niveaux

12 34 56 7

7 6 5 4 3 2 1

correspondance

(69)

D´efinitions

Permutations vers les arbres binaires ` a niveaux

12 34 56 7

7 6 5 4 3 2 1

(70)

D´efinitions

Permutations vers les arbres binaires ` a niveaux

12 34 56 7

7 6 5 4 3 2 1

correspondance

(71)

D´efinitions

Permutations vers les arbres binaires ` a niveaux

12 34 56 7

7 6 5 4 3 2 1