HAL Id: jpa-00211035
https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00211035
Submitted on 1 Jan 1989
HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of
sci-entific research documents, whether they are
pub-lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d’enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.
La transformée de Wigner libre, évolution dans une
collision
F. Laloë
To cite this version:
F. Laloë. La transformée de Wigner libre, évolution dans une collision. Journal de Physique, 1989,
50 (14), pp.1851-1878. �10.1051/jphys:0198900500140185100�. �jpa-00211035�
La
transformée de
Wigner
libre,
évolution dans
unecollision
F. Laloë
(*)
Laboratoire de
Physique
de l’E.N.S., 24 rue Lhomond, F 75005 Paris, France(Reçu
le 5 décembre 1988,accepté
le 16février 1989)
Résumé. 2014
Le but
général
de la série d’articles dont celui-ci est lepremier
est de décrire ladynamique
horsd’équilibre
des gazquantiques
dilués en tenant compte defaçon précise
des corrélations binaires entreparticules ;
ces corrélations sontgénéralement ignorées
dans lesapproches
théoriques
du type Boltzmann. Nous proposons pour cela l’utilisation d’une variante de la transformée deWigner,
la transformée deWigner
libre,qui
« efface » les corrélations àcourte distance créées par le
potentiel
d’interaction entreparticules.
Ainsi,chaque
foisqu’avant
collision la transformée libre était factorisée, une factorisation subsiste
rigoureusement pendant
toute la collision ; elle se
prête
donc mieux que la transformée habituelle à unehypothèse
de« chaos moléculaire » à la Boltzmann. Une fois connue la transformée libre, les corrélations entre
particules
peuvent être reconstruites et leurs effetsphysiques
calculés. L’étude de l’évolution de la transformée deWigner
libre dans une collision binaire conduit à des résultatsqui s’expriment
complètement
en fonction descaractéristiques
de la matrice T « sur la couche de masse »(matrice
S,
déphasages),
mêmelorsque
lesparticules
sont en traind’interagir.
En sus des termes habituels de collision oùapparaissent
comme dansl’équation
de Boltzmann les sections efficaces de collision, le calcul donne des termes dus aux effets de retard, et aux effets « de réfraction » dans la collision. Ces termesjoueront
un rôle essentiel dansl’équation cinétique
proposée
dans l’article suivant, et dans les corrections du viriel auxpropriétés
d’équilibre
et de transport du gaz. Abstract. 2014 This is the first ofa series of articles where we
develop
atheory
for thedescription
ofthe
dynamics
of dilute quantum gases, at or out ofequilibrium,
with an accurate treatment of the correlation effects introducedby binary
collisions(these
correlations are not taken into accountwhen the Boltzmann
equation
isused).
For this purpose, we propose the introduction of a variant of theWigner
transform, the « freeWigner
transform », whichwipes
out the effects of thepotential
at short distances. Ifinitially
factorized, theentering
part of the free transform remainsexactly
soduring
all collision, so that it is betteradapted
to a molecular chaosassumption
than theordinary
transform. Once the free transform is known, the effects of the short distance correlations can be reconstructed from it. Therefore, theproblem
is to find anappropriate
equation
of evolution whichgives
its time variations. With this aim inmind,
westudy
in thepresent article the evolution of the free
Wigner
transform in abinary
collision. We show that itsevolution
equation
includes coefficients which can beexactly
obtained from the « on shell » termsof the T matrix
(S
matrix,phase
shifts),
even while theparticles
areinteracting.
In addition to the usual terms which involve thescattering
cross sections, as usual with the Boltzmannequation,
theClassification
Physics
Abstracts 51.10 - 05.60calculation
provides
other terms whichcorrespond
to collision retardation effects and « refrac-tion » effects(refraction
of the wave function of the test atomby density gradients
of the collisionpartners).
These terms willplay
animportant
role in thefollowing
article, and introduce the second virial corrections to theequilibrium
and transportproperties
of the gas.Introduction.
Cet article fait
partie
d’une série dont le butgénéral
est de décrire ladynamique
des gazquantiques
dilués enprenant
encompte
defaçon
précise
les effets des corrélations à deux corps introduites à courte distance par les interactions dans lesystème. L’équation
de Boltzmann est un outil trèspuissant
pour l’étude de ladynamique
des gaz,puisqu’elle
permet
de tenir
compte
de l’effet des collisions binaires sur leurévolution,
mais elleignore
tous les effets de corrélation entreparticules,
cequi
n’est pas sansconséquences
physiques.
Parexemple,
si l’on calcule lapression
àpartir
del’équation
de Boltzmann(via
la méthode deChapman Enskog
et la constructiond’équations hydrodynamiques [1]),
on constate que l’on trouve seulement lapression
d’un gazparfait,
sans la seconde correction duviriel ;
pourtant
cette dernière est, elle
aussi,
due à l’effet des collisionsbinaires,
cequi
montre bien que cescollisions ne sont pas totalement
prises
encompte
dansl’approche
de Boltzmann. Onpeut
voir là une certaine
incohérence,
àlaquelle
nous nous donnons commeobjectif
de remédierdans le
présent
travail.La méthode habituelle pour obtenir les secondes corrections du viriel à la
pression,
lacapacité calorifique,
etc. d’unsystème
diluépart
d’undéveloppement
en densité de lafonction de
partition,
cequi
en limitel’application
auxsystèmes
àl’équilibre. Puisque
cescorrections ne sont pas obtenues si l’on
part
del’équation
cinétique
deBoltzmann,
qui
estvalable hors
d’équilibre,
le but que nous nous proposons est donc enquelque
sorte de réconcilierdescriptions dynamique
etstatique
dusystème.
Nous nous limiteronscependant
à l’étude des interactions à deux corps et, enconséquence,
des seconds coefficients duviriel ;
nous travaillerons dans un cadre
complètement quantique,
afin de rétablir àpartir
d’uneéquation cinétique
l’expression
exacte des seconds coefficients du viriel donnée par Beth etUhlenbeck
[2, 3].
Le
point
de vue de Boltzmann est de considérer les collisions comme desphénomènes
ponctuels,
dans letemps
(pas
dedurée)
et dansl’espace
(pas
deportée
dupotentiel).
Evidemment,
cecin’empêche
pas de mettre les sections efficaces exactes, calculéesquantiquement,
dans le second membre del’équation (le
terme decollision)
- c’est parexemple
l’approche
de Waldmann[4].
Enmécanique quantique
commeclassique,
lepoint
essentiel pour ce
qui
nous occupe ici est que, dans cetype
dedescription,
lesparticules
ne sontjamais
« en traind’interagir
» , restrictionqui
élimine certainsaspects
essentiels des processuscollisionnels.
Clairement,
une telle limitation doit être levée pour le but que nous nous sommes fixés. Ils’agit
donc :(1)
d’introduire dans la théorie les effets de retardqui
seproduisent pendant
lescollisions,
et de tenir
compte
de l’existence d’uneportée
non nulle dupotentiel
d’interaction. A ces effets s’enajouteront
d’autres,
de naturepurement
quantique,
que nousappellerons
« effetsde réfraction ». Considérons un atome donné se
propageant
dans un gaz de densité nonuniforme : en
présence
d’ungradient
de densité(perpendiculaire
à lavitesse),
l’onde de DeBroglie
qui
lui est associée sera réfractée par un effet de lentilleanalogue
à celuiqui
seproduirait
pour unphoton
sepropageant
dans un gaz de densité variable. De tels effets vontengendrer
dansl’équation cinétique
des termes dutype
« potentiel
effectif »qui
ne sont(2)
de tenircompte
explicitement
dans la théorie de laprésence
des corrélations à courtesdistances,
et enparticulier
de ne pas supposer que la fonction de distribution à deuxparticules,
fll,
estsimplement
leproduit
f
xf
de
fonctions de distribution à uneparticule,
fI·
Nous verrons que cela est effectivement
possible,
tout en utilisant une fonction de distributionf
qui
ressemble àf,
I mais en diffèrecependant
defaçon
essentielle :f
décrit lecomportement
statistique
d’uneparticule
quelconque
dusystème lorsqu’elle
estéloignée
de toutes les autres ; cette conditiond’éloignement
- qui dépend
évidemment de laposition
de toutes les autresparticules
- fait def
autre chosequ’une
distribution ordinaire àune
particule.
Engénéral
d’ailleursf
nepeut
êtredéfinie,
ni en fonction def
seule,
ni mêmede
fll,
maisuniquement
de la distributionf N
dusystème
de l’ensemble desparticules.
Pour fixer les
idées,
prenons d’abord unsystème
de deuxparticules
seulement. La fonctionf
décrira alorssimplement
lecomportement
asymptotique
àgrande
distance(relative
desdeux
particules)
de la fonctionf II : lorsque
lesparticules
sontéloignées,
hors de laportée
dupotentiel
d’interaction,
onpeut
supposer que la factorisationf II
=f
xf
estréalisée ;
c’estune
hypothèse
qui
est bien dansl’esprit
de celle deBoltzmann,
tout enpréservant
lapossibilité
que cette factorisation ne seproduise
pas à courte distance.Pour un
système
comprenant
ungrand
nombre departicules,
il n’est pas suffisant de s’assurer que laparticule
2 soitéloignée
de laparticule
1 pour que cette dernière ne soit pas en interaction avec une troisième(pour
ungrand système,
la distributionfII
se factorise d’ailleurssimplement
enf,
xf,
I àgrande
distancemutuelle).
Enconséquence,
et commenous l’avons
deja
notéplus
haut,
la fonctionf
doit maintenant être définie àpartir
de la fonction de distributionf N
à Nparticules : f
donne ladépendance
def N
en fonction des variablesdynamiques
de laparticule
1 dans lesrégions
del’espace
desconfigurations
où laparticule
1 est suffisammentéloignée
de laparticule
laplus proche. Supposer
que ladépendance
def N
en fonction des variables de 1 se factorise de cettefaçon
est unehypothèse
qui paraît
raisonnable et, commeplus
haut,
bien dansl’esprit
de Boltzmann.En
pratique cependant,
nous n’aurons pas besoin pour nos calculs de la définitiongénérale
de f à
partir
def N :
nous raisonnerons au cours de tout cet article sur unsystème
de deuxparticules
seulement,
cequi simplifie
le formalisme en évitant demultiples
tracespartielles ;
en
conséquence,
la définitionsimple
de f à
partir
defII
sera suffisante au moins pour leprésent
travail.C’est donc cette fonction
f
qui
sera la base de notre théorie. C’est surf
que sera faite la« Stossansatz » de
Boltzmann,
c’estégalement
f
qui apparaîtra
dansl’équation
cinétique
dusystème.
C’est enfin àpartir
def
que seront calculées les modifications dues aux corrélationsà courte distance
(en
gros, pour unsystème
de deuxparticules,
la différence8 fIl
=fII - f x f) et
les corrections du virielcorrespondantes.
Se pose alors bien sûr la
question
de la définitionprécise de f à partir
del’opérateur
densité dusystème,
pour touteconfiguration
qui
lui est accessible : il nepeut
évidemment êtrequestion
de se contenter d’une définition valableuniquement lorsque
lesparticules
sontéloignées
si l’on désire rendrecompte
de l’effet des collisions par uneéquation
cinétique.
Nous définirons donc
f
parextrapolation
vers les courtes distances ducomportement
defII (nous
raisonnons sur unsystème
de deuxparticules),
l’extrapolation
étant faite comme si lesparticules
étaientlibres ;
ainsif
sera une fonction telle quef
xf
donne une bonnedescription
despropriétés
des deuxparticules lorsqu’elles
sontéloignées,
mais « efface » leseffets du
potentiel
à courte distance.Mathématiquement,
cetteopération
sera faite defaçon
rigoureuse
par une modification de la transformée deWigner
en une transformée « libre »qui,
tout en donnant moins directement accès auxgrandeurs
physiques
que la véritableQuitte
àanticiper
sur le contenu de cet article et des deuxsuivants,
il nous semble utile pourdégager
dans cette introduction une vue d’ensemble depréciser
dès maintenantquelques
propriétés
de cette transformée libre :(i)
elle ne diffère sensiblement de la véritable transformée deWigner
que dans unepetite
région
del’espace
desconfigurations,
celle où la distance relative desparticules
est del’ordre,
soit de l’ordre de laportée
dupotentiel,
soit de lalongueur
d’onde de DeBroglie.
(ii)
Son évolution dans une collisiondépend
uniquement
deparamètres
qui s’expriment
tous en fonction de la matrice
S,
c’est-à-dire desdéphasages,
et cela mêmelorsque
lesparticules
sont en cours de collision. Ce ne serait pas le cas de la véritable transformée deWigner,
où subsistent les effets des transitions virtuelles(«
off shell terms » de la matriceT)
tant que lesparticules
ne se sont paséloignées.
En d’autres termes, l’évolution def
nedépend
que des transitionsréelles,
oùl’énergie
cinétique
estconservée,
tandis que les effets des transitions virtuellespendant
la collision sont concentrés dans5 fII.
Le fait que, pour desparticules
en traind’interagir,
l’évolution def
soitplus simple
que celle def
I est évidemment unpoint
favorable pour l’écriture d’uneéquation cinétique.
(iii)
Undéveloppement systématique
permet
d’obtenir dansl’équation
d’évolution def,
enpremier
lieu les termes habituels nedépendant
que de la section efficace decollision,
puis
des corrections dues aux effets de retard et deréfraction ;
ces corrections fontapparaître
d’autres
paramètres
que la sectionefficace,
qui s’expriment
toutefoiségalement
en fonction de la matrice S.(iv)
La transformée deWigner
libre faitapparaître explicitement
unepartie
« entrante »correspondant
auxparticules
qui
vontinteragir,
et unepartie
« sortante » desparticules
qui
ont
interagi.
Au cours de lacollision,
parties
entrante et sortante se transforment l’une dansl’autre comme on
pouvait s’y
attendre ;
cependant,
àpart
cettetransformation,
elles sepropagent
exactement comme si lesparticules
étaient libres(pas
d’effet dupotentiel
d’interaction).
C’est en fait cette
propriété
de la transformée librequi
est lapropriété
cruciale pour toute la suite de ce travail :si, initialement,
lapartie
entrante estfactorisée,
elle le resterigoureusement
tout aulong
de l’interaction entre les atomes en collision(effacement
des effets dupotentiel).
On ne fait donc pasd’approximation
qui risque
de détruire les corrélations à courte distancelorsque
l’on suppose une factorisation dans la transformée deWigner
libre. Enfait,
aucuneapproximation
n’est faite dans le calcul de l’effet d’une collision binaire(comme
parexemple
de supposer une factorisation de la fonction de distribution à deux corps, ou encore de neprendre
encompte
que des collisions terminées comme on leferait dans le
point
de vue deBoltzmann) :
les relations que nous écrirons au cours de cetarticle sont
complètement
exactes, mêmependant
la collision. De cepoint
de vue, il est clair que la transformée libre seprête
ainsi bien mieux que la véritable fonctionf
I à une« Stossansatz » à la Boltzmann et, en
conséquence,
à l’écriture d’uneéquation
cinétique.
Comme on
pouvait s’y
attendrecependant,
lasimplification apportée
à l’évolution de ladistribution
f
(comparée
à l’évolution defI)
est obtenue auprix
d’unecomplication qui
apparaît
à un stade différent des calculs : ce sont les relations entre les valeurs moyenneslocales de
grandeurs
physiques
telles que la densité departicules
qui
sont moinssimples qu’en
théorie de
Boltzmann ;
elles deviennent en fait des fonctions non linéaires def.
(v)
Une autrepropriété
commode est son lien étroit avecl’énergie
cinétique
desparticules
lorsqu’elles
sontéloignées :
ainsiapparaîtra
trèssimplement
la définition de latempérature
du gaz, alors que cette définition seraitplus
difficile sur la véritable transformée deWigner
(celle
qui
donnefI).
pour une
particule
unique
dans unpotentiel, puis
pour deuxparticules
en interactionmutuelle. Nous étudions ensuite en détail son évolution dans une collision binaire. L’article
suivant
(que
nousdésignerons
parB)
part
des résultats obtenus pour établir uneéquation
cinétique
qui généralise
l’équation
deBoltzmann,
tout enrespectant
les lois de conservationqui
sont à la base deséquations
hydrodynamiques.
Ces dernières seront établies et étudiées dans l’articleC,
où l’oncomplètera
le programme annoncé : obtention des secondes corrections du viriel àpartir
del’équation
cinétique,
et de corrections similaires pour lescoefficients de
transport.
Précisons à nouveau que seules sont
prises
encompte
dans tout ce travail les collisionsbinaires ;
il nes’applique
doncqu’aux
gaz modérémentdenses,
mais pas à ceuxqui
sontprès
du
point
critique
parexemple.
Deplus,
pour le moment, nous ne traitons que desparticules
discernables
(pas
d’effets destatistique)
et sansspin.
Lagénéralisation
aux effets liés auxspins
et à lastatistique
sera abordée ultérieurement.1. Définition de la transformée libre.
1.1 PARTICULE DANS UN POTENTIEL.
1.1.1
Définition.
- Considéronsune
particule
(unique,
sansspin) d’opérateur
densitép, soumise à l’action d’un
potentiel
V centré autour del’origine.
Nous noterons1 P,(+ , - )
les états stationnaires de diffusion(entrant
etsortant)
de laparticule
dans cepotentiel,
Pkl+, - )(r)
les fonctions d’ondecorrespondantes
etn (+, - )
lesopérateurs
unitaires de Môllerqui
transforment les ondesplanes
1 k)
en ces états stationnaires :Un
changement
de base àpartir
de la définitiongénérale
de la transformée deWigner
(appendice
A,
formule(Al)),
donne :avec :
Les états stationnaires entrant et sortant sont
différents ;
cependant
si,
dans la formule(2),
onfait
figurer
(au
choix maisuniformément),
soit les ondes entrantesseulement,
soit les ondessortantes, on réobtient la même transformée de
Wigner.
Dans la
région
d’action dupotentiel,
les fonctions d’onde des états stationnaires de diffusion sont déformées par l’effet dupotentiel.
Que
seproduit-il cependant
si,
dans(2),
onefface ces distorsions en
remplaçant simplement
les1JI’+’ - )(r) par des
fonctions
d’onde nonperturbées,
les ondesplanes
exp (ik . r) ?
Ilapparaît
alors sousl’intégrale
desexponentielles
qui
rendentpossible
une sommation immédiate sur x, introduisant ainsi une fonctionà
qui
à son tourpermet
la sommation surkt
+k2,
et donne pour finir :La
comparaison
avec la dernière des formules(Al)
del’appendice
A montre que le résultatainsi obtenu
rappelle
fortement une autreexpression
de la transformée deWigner ;
c’estcependant
à la transformée d’unopérateur
différent,
l’un desopérateurs :
que nous a conduits cette
opération
de « redressement » des fonctions d’onde. Une telleopération
n’a évidemment aucune raison engénéral
de laisser invariante la transformée deWigner.
Cependant,
sil’opérateur
densité pcorrespond
à uneparticule qui
est encore loin du domaine d’action dupotentiel
(loin
parrapport
à laportée
dupotentiel
etégalement
lalongueur
d’onde de DeBroglie),
lespaquets
d’ondes construits àpartir
des ondes entrantesou des ondes
planes
sont les mêmes - c’est dans ce but même que sont construits les états stationnaires entrants ; onpeut
montrer que, dans lepaquet d’ondes,
les ondessphériques
sortantes des états stationnaires se détruisent mutuellement par interférence
[4] (nous
prenons la convention de
vocabulaire,
fréquente
mais pasuniverselle,
où les états stationnaires entrants contiennent une ondesphérique
sortante, et viceversa).
Dans ce cas, latransformée de
Wigner
sera aussi bien donnée par(4),
sous la version où yfigurent
les étatsstationnaires entrants, que par sa définition
générale.
En d’autres termes, nous prenons dans ce cas unopérateur
densité pqui
commuteavec f2 (’
),
cequi
permet
de montrer facilement que sa transformée deWigner
est donnée par(4).
Inversement,
il est clair que si p décrit uneparticule
qui
s’estbeaucoup éloignée
de larégion
d’action dupotentiel,
p commute maintenant avec
f2 (- )
est c’est l’autre version de(4)
qu’il
fautprendre
pour rétablir la vraie transformée deWigner.
Il existe bien sûr un cas, de peu d’intérêtpratique,
où les deux versions sont simultanément valables : celui où pcorrespond
à uneparticule qui
passe très loin du
potentiel
etn’interagit jamais
avec lui.La transformée de
Wigner
libre,
que nous allons maintenantintroduire,
est obtenue parune
simple
combinaison des deux casprécédents :
si leproduit
scalaire p . r estnégatif,
ils’agit plutôt
d’uneparticule
« entrante » et c’est lapremière
modification de la transformée que nousprendrons ;
si ceproduit
scalaire estpositif,
àl’inverse,
nousprendrons
la seconde version. Ainsi nous définissons cette transformée librep LW
par :soit
également :
où
apparaissent
les deuxfonctions,
que nousappellerons respectivement
« transformée(libre)
entrante » et « sortante » :Dans ces
formules,
y(+) désigne
la fonction de Heavisidequi
vaut 1 si p . r estpositif,
zérosinon ;
inversement pourY(-) ;
T.W.désigne
la transformée deWigner.
Avec cette définition de la transformée deWigner
librequi
combine les deux versions de(4),
nous avons maintenant une fonction pqui
coïncide avec la vraie transformée deWigner
à la foislongtemps
avant etlongtemps après
lacollision,
mais en diffèrependant.
Examinonsplus
endétail
quelques
propriétés
de cette transformée.1.1.2
Propriétés.
- Parconstruction,
la transformée libre diffère defaçon
essentielle de latransformée de
Wigner
habituelle dans toute larégion
d’action dupotentiel
et, apriori,
danstout un domaine autour de cette
région
dont la dimension estcomparable
à lalongueur
d’onde de DeBroglie
(dans
laplupart
dessituations,
la transformée deWigner
en unpoint
del’espace
nedépend
que des valeurs de la fonction d’onde dans un domaine de cettedimension,
mais ce n’est pas unerègle
absolue ;
nous renvoyons aux références citées dansl’appendice
A pour une discussionplus
détaillée de cespoints, qui dépassent
le cadre duprésent
article).
Autour del’origine,
elle efface enquelque
sorte les effetsperturbateurs
dupotentiel
par uneextrapolation
ducomportement
àgrande
distance ;
leprix
de cettesimplification
est une discontinuitéqui
seproduit
danschaque
plan
p . r = 0. Sapropagation
dans letemps
estparticulièrement simple
à calculerpuisque,
les états stationnaires de diffusion étant des états propres del’halmiltonien,
onpeut
directement utiliser dans(7a)
lesrelations :
avec :
Ainsi,
il suffit d’effectuer dans(7a)
la substitution :(où m
est la masse de laparticule)
pour obtenir la transformée deWigner
libre à un instantquelconque ;
dans sonévolution,
les effets dupotentiel
ont biendisparu,
et ellejustifie
ainsison nom de « libre ».
Contrairement à la transformée ordinaire
qui
est normée - sonintégrale
sur toutl’espace
des
phases
estégale
à la trace de p, c’est-à-dire 1 la transformée libre ne satisfait pas à unetelle
propriété ;
la «probabilité
manquante »
qui
s’introduit ainsi sera calculée au début del’article B et
jouera
un rôle essentiel dans toute la suite.Un
exemple simple
permet
de fixer les idées et mettre en lumière les différences entre les deux transformées : celui d’uneparticule
enéquilibre thermique
dans unpotentiel
extérieur.L’opérateur
densité est alors :où Z est la fonction de
partition,
kB la
constante de Boltzmann et T latempérature ;
l’hamiltonien est la somme del’énergie
cinétique
et del’énergie
potentielle
de laparticule.
L’opérateur
densité étantdiagonal
dans la base des étatsstationnaires,
la formule(7a)
sesimplifie
et donne :La
température
libre est donc effectivement une fonction où les effetsrépulsifs
ou attractifscomme d’ailleurs la véritable transformée de
Wigner,
tant que laparticule
n’est pas confinée àun volume
fini).
Loin du domaine d’action dupotentiel,
elle coïncide avec la transformée habituelle.1.2 DEUX PARTICULES EN INTERACTION. -
Lorsque
deuxparticules
interagissent
mutuelle-ment par un
potentiel
V,
il est commode de considérer deuxparticules
fictives,
celle associéeau centre de masse et la «
particule
relative »qui,
seule,
est soumise aux effets dupotentiel.
La transformée deWigner
libre sera alors tout naturellement définie comme la transformée habituelle en cequi
concerne le centre de masse, mais avec le passage en transformée librecomme au
paragraphe
précédent
pour les variables de laparticule
relative. On posera donc :où R et r sont les
positions
respectives
de centre de masse et de laparticule
relative,
P et pleurs
impulsions :
Nous supposons pour
simplifier
que lesparticules
ont même masse, de sorte que la massetotale M et la masse 1£ de la
particule
relative sontsimplement
données par :Pour l’étude d’une collision
binaire,
qui
est notre but pour le moment, la variabled’impulsion
qui
s’introduit naturellement est p ;cependant,
dans l’écriture ultérieure d’uneéquation
cinétique,
il seraplus
commode d’introduire la notation :(ainsi,
parexemple
la trace sur les variables dupartenaire
de collisioncorrespond-elle
simplement
à uneintégration
sur r et p dans toutl’espace). Les k±
ont été définis en(5) ;
ils s’écriventégalement :
Enfin,
lesK±
sont donnés par :La définition
(11)
est donc lagénéralisation
de(7a)
au cas de deuxparticules
eninteraction ;
les définitions
(7c)
des transformées « entrante » et « sortante » restent valables(compte
tenudu fait que
l’opérateur
f?n’agit
que dansl’espace
des états de laparticule
relative,
mais pas dans celui du centre demasse).
Ainsi queprécédemment,
ces transformées libres sepropagent
comme le feraient des transformées ordinaires en l’absenced’interaction,
cequi
On a donc la nullité des « dérivées totales » :
Il sera utile pour la suite d’inverser les relations
(7c)
de transformation deWigner
(Appendice
A,
relation(A6))
et d’écrire :2. Evolution dans une collision binaire.
La définition
(11)
seprête
facilement au calcul de l’évolution de la transforméelibre,
puisqu’y
figurent
directement les éléments de matrice del’opérateur
densité entre des états propres del’énergie,
dont lesfréquences
propres sont données par :Nous allons
cependant
faire ici un calculdifférent,
basé seulement sur les relations unitairesqui
lient lesopérateurs
qui apparaissent
aux seconds membres de(7c),
et dontpWL(+)
etptL)
sont les transformées deWigner ;
notre but estd’exprimer
entièrement l’évolution de cesdeux fonctions à
partir
de la seule transformée « libre entrante ».Injectons
donc,
dechaque
côté de
l’opérateur
pqui figure
dans lapartie
« sortante » du second membre de(11),
unerelation de fermeture sur les états stationnaires entrants ; il vient alors
l’intégrale :
avec la notation usuelle :
Mais nous pouvons alors utiliser
l’égalité
(14)
pourexprimer
l’élément de matrice dep en fonction de la transformée entrante
pWL(+) ;
ilapparaît
alorsl’intégrale :
Cette relation est
simplement
celle d’une transformée unitaire(Appendice
A,
formule(8)),
sous l’action de
l’opérateur
[n (- )]t
[f? (’ )]
qui
n’agit
que dansl’espace
des états de laparticule
relative,
d’où le faitqu’aucune
convolution n’affecte les variables associées au centrede masse.
Quant
àl’expression
de la transformée libre dans sonensemble,
elle est :(il
est aisé de vérifier que le termequi
contient deux fonctions delta sousl’intégrale
reconstruit la
partie entrante),
expression
qui
sera notrepoint
dedépart
pour le calcul del’évolution de la transformée de
Wigner
libre.Plus
précisément,
nous allons calculer la « dérivée totale » :(nous
considérerons indifféremment les transformées deWigner,
libre ou non, comme des fonctions des variables individuelles desparticules
ou de celles desparticules
relatives et centre de masse ;compte
tenu des relationsopératorielles
(12a),
il est facile de montrer queles transformations de
Wigner
parrapport
aux deuxtypes
de variables conduisent à des fonctionsqui
sont en faitégales,
et nous ne lesdistinguerons
pasformellement).
On sait que :Laissons pour le moment de côté le terme de dérivation pour la
particule
centre de masse, quenous regrouperons avec la dérivation
temporelle,
et étudions l’effet sur(20)
du terme degradient
parrapport
à r. Deux sortes de contributions sont àprendre
encompte :
lapremière
provient
de la dérivation des fonctions deHeaviside,
qui
donne immédiatementl’intégrale :
où
p
est le vecteur unitaire ;et la seconde de la dérivation de
l’exponentielle
eiK
r. Pour cette dernière s’introduit sousl’intégrale
l’expression
écrite en(15a), multipliée
par i ;
mais,
comme les éléments de lamatrice S
qui
interviennent dansl’intégrale
(20)
conserventl’énergie
(ils
contiennent une fonction5 (k - k’ ),
cf.(33)),
ce coefficientpeut
êtreremplacé
par :On
peut
alors absorber le coefficient(k, - k2)
dans une dérivation d’uneexponentielle
parrapport
à r’ selon :et, par
intégration
parparties
sur cettevariable,
faireapparaître
laquantité :
Il ne reste maintenant
qu’à
regrouper le terme ainsi obtenu avec ceux, laissés decôté,
dedérivation par
rapport
à R et à t pour obtenir[compte
tenu à nouveau de(21b)]
un termequi
contient sous
l’intégrale
l’expression :
avec la notation :
En
résumé,
si nous notonsDT
la dérivée totale :nous avons donc :
où
Ica
été défini en(22)
et oùI’c
est donné par :où
D’T
estl’opérateur
différentiel(29)
parrapport
aux variables(28).
L’égalité
(30),
jointe
auxdéfinitions
(22)
et(31)
dele
etI’c,
est uneconséquence
tout à faitgénérale
de(20) ;
cetterelation
peut
être considérée comme la définition de la transformée deWigner
libre,
quelle
que soit l’évolution de
l’opérateur
densité p.Cependant,
onpeut
évidemment introduire ladynamique
des deuxparticules
en interaction par l’intermédiaire des relations(13),
qui
entraînent la nullité de
l’intégrale I’c
et aussitôt :relation
qui
est donc valable pour deuxparticules
sans autre interaction que leur interactionmutuelle.
selon une
équation qui
fait seulement intervenir les éléments de la matriceS,
qui
est elle-même reliée à la matriceT,
par :ce
qui
implique
que seulsjouent
un rôle pour l’évolution les éléments de T « sur la couche de masse ».Comme nous étudions dans cet article un
système
de deuxparticules
isolées,
nous allonsignorer
I’c et
étudier en détail la structure del’intégrale
de collisionI,
(l’intégrale
I’c
jouera
un rôle àpartir
de l’articleB).
Après
insertion de(33)
dans(22),
ilapparaît
troissortes de termes : ceux de
degré zéro
en
T,
qui
disparaissent
immédiatement parcompensation
avec les fonctions delta dans le crochet(on
retrouve ainsiqu’en
l’absenced’interaction le terme de collision est bien
nul) ;
deux termes linéaires enT,
qui
correspondent
aux effets de « diffusion vers l’avant »(interférence
entre l’ondeplane
incidente et l’onde diffusée
sphérique sortante) ;
enfin les termesquadratiques
enT
qui
traduisent les effets de diffusion latérale. La suite de cet article est consacrée au calculde ces termes.
3. Termes habituels de collision.
3.1 IDÉE GÉNÉRALE DU CALCUL. - Les
équations (22)
et(32)
nous montrent que l’évolutionde la transformée libre se fait de
façon
« nonlocale »,
puisque
les variations enchaque point
rdépendent
des valeurs de lapartie
entrante en despoints
r’ différents. Iln’y
a là riend’étonnant,
on trouvera dans les références[5-10]
d’autresexemples d’intégrales
de collisionpossédant
la mêmepropriété.
La non-localité de(22)
prend
la forme d’uneintégrale
deconvolution,
dont le noyau est lui-même uneintégrale
multiple. Cependant,
dans cetteintégrale
n’interviennent que desquantités microscopiques ;
c’est dire que l’influence d’unpoint
r’ sur unpoint
r a uneportée
del’ordre,
soit de laportée
dupotentiel
(contenue
dans lespropriétés
de la matriceS),
soit de lalongueur
d’onde de DeBroglie.
Il est donc utile pour lasuite de s’intéresser aux variations
spatiales
de lapartie
entrante à cette échelle.De
façon
générale,
on sait(Refs.
[5-8])
que la transformée deWigner
peut
présenter
descomportements
compliqués,
osciller ou même devenirnégative
dans depetites régions
del’espace
desphases ;
cescomportements
disparaissent
cependant
par moyennage dansl’espace
desphases
sur des volumesgrands
parrapport
àh3.
Cependant,
dans leprésent
travail,
nous pouvons supposer que les variationsspatiales
de la transformée deWigner
initiale(avant collision)
sont lentes à cette échelle. Cela n’exclut en rien lapossibilité
que,pendant
lacollision,
des variationsspatiales
rapides,
d’échellemicroscopique,
se créent sous l’effet dupotentiel :
nous supposons seulementqu’elles
n’existent pas avant le début de la collision. Dans cesconditions,
comme la transformée deWigner
libreentrante
coïncideinitialement avec la véritable transformée de
Wigner,
etqu’elle
se propage de la mêmefaçon
qu’en
l’absence depotentiel,
elle conserve nécessairement des variationsspatiales
lentes,
même
pendant
collision.Ainsi,
undéveloppement
depWL(+)
engradients
spatiaux
dans le second membre de(22)
est-il
naturel,
et devrait-il convergerrapidement.
C’estl’objet
desparagraphes qui
suivent : leterme d’ordre zéro en
gradients
sera évalué dans ceparagraphe
3,
et nous verronsqu’il
engendre simplement
le terme de collision habituel deBoltzmann ;
le terme d’ordre suivant introduit des correctionsqui
seront calculées auparagraphe
4. Sur leplan
mathématique,
ils’agit
d’obtenir la transformée deWigner
d’unproduit
de troisopérateurs.
C’est donc lagénéralisation
de la formule de Groenewold[15],
valable pour unproduit
de deuxopérateurs,
et
qui
contient successivement lesproduits
des transformées deWigner,
leur crochet dePoisson,
et une série infinie de termes contenant des dérivées d’ordrecroissant ;
nousobtiendrons effectivement des résultats du même
type.
Une
hypothèse
de variationspatiale
lente à échellemicroscopique
de la transformée deWigner
avant collision est évidemment trèslargement
vérifiée si l’on s’intéresse à desexpériences
de collisionjet
surjet
enphysique
atomique.
C’est lepoint
de vue que nousprenons dans cet article.
Mais,
anticipons
pour un instant avec lepoint
de vuequi
seraadopté
à
partir
de l’articleB,
où nous nous intéresserons à ungrand
nombre d’atomes dans un gazhors
d’équilibre ;
l’hypothèse
de variationspatiale
lente de la transformée libre reviendra à supposer que la fonction de distribution à uneparticule
f I
- et donc lesgrandeurs
hydrodynamiques
comme parexemple
la vitesse moyenne locale - ne varie pas à une échellemicroscopique.
Ellen’implique
en rien que la fonction de distributionfII
aie la mêmepropriété :
car ellepeut
parfaitement
varier defaçon significative
en fonction de la variable r à l’échelle de laportée
dupotentiel ;
enrevanche,
ces variationsrapides
ne seproduisent
pas pour la
dépendance
en fonction deR,
cequi
explique
leurdisparition
def,
I parmoyennage
,spatial.
Incidemment,
une tellehypothèse
ne nous restreindra pas à l’étude de situationsproches
del’équilibre
pour la distribution de Boltzmann : nous n’excluons pas desvariations
rapides
def,
I(et
def )
à l’échelle du libre parcours moyen dans le gaz.3.2 TERMES DE DIFFUSION VERS L’AVANT. - Il existe deux termes linéaires en T dans
(22),
l’un
proportionnel
àT,
l’autre à T*qui
estcomplexe conjugué
duprécédent.
Calculons parexemple
lepremier
d’entre eux ; sousl’intégrale,
onpeut
remplacer k2
par k_ etki
park+
k,
oùk
est le vecteur unitaire de même direction quekl ;
on obtient ainsi(nous
prenons un axe Oz
parallèle
àp) :
Nous allons nous intéresser à la trace sur la
particule
2 de ce terme ; pour le moment, nousn’effectuerons que la sommation sur r2. En
fait,
il seraplus
commode deprendre
commevariable
d’intégration
laposition
r de laparticule
relative,
cequi
conduit à effectuer dans(34)
la substitution :
La sommation sur z est immédiate à cause de la
présence
de lafonction 6 ;
ellepermet
deremplacer
eiK
r par :Pour effectuer celle sur x et y, nous
développons
P¥L)
suivant :et nous ne
gardons
pour le moment que lepremier
terme dudéveloppement (ordre zéro).
Alors,
les seulesdépendances
en x et y de la fonction àintégrer
sont contenues dans lesdes
composantes
sur Ox etOy
de K ; notant poursimplifier
K celle surOz,
nous obtenonsainsi :
où
p
est le vecteur unitaire de p,parallèle
àOz,
etk±
désigne
lacomposante
dek-z.
surp
(qui
vaut, soitk, ,
soit sonopposé,
suivant la valeur deK ) .
Passons maintenant des deux variables
angulaires
du vecteur unitairek
aux deuxcomposantes
cartésiennes kx
etky
dek
sur Ox etOy ;
cetteopération
introduit(le
moduled’)
un
jacobien qui
vaut cos0,
où 0 estl’angle
entrek
etOz,
et conduit à uneintégration
surdeux nappes
puisque :
Alors :
Pour effectuer
l’intégration
sur x’ ety’, développons
encore ladépendance spatiale
depWL(+)
suivant :A nouveau, nous nous limitons pour le moment au terme d’ordre zéro en
gradients.
Dans cesconditions,
par sommation sur x’ ety’
del’exponentielle
(40)
apparaissent
des fonctions delta descomposantes
sur Ox etOy
dek+
k :
de sorte que, dans cette
exponentielle,
onpeut reporter :
Examinons successivement les contributions de ces deux déterminations. Pour la
première,
la sommation sur z’ introduit
l’intégrale :
(le
module du vecteurk+
et le nombrealgébrique
k-
nepeuvent
êtreégaux
que si Ks’annule,
comme onpeut
s’en assureraisément) ;
onpeut
alorssimplifier
(42b)
par la(qui
impose
la valeur un aujacobien).
L’intégration
sur kx
etky
est alorssimple
puisque
la non-annulation dek+
permet
de réécrire le second membre de(42a)
sous la forme :et il vient :
(par
unléger changement
denotation,
nous notons maintenant ladépendance
de T enp/h
et en cosinus del’angle
decollision).
Pour la seconde détermination de(42b),
elle introduit une fonction delta de la somme du module du vecteurk+
et dek- ,
qui
n’estjamais
nulle,
de sortequ’elle
ne contribue pas au résultat.Regroupant
maintenant(44)
avec le termecomplexe conjugué
introduit parT*,
nousobtenons pour finir :
où l’on retrouve la définition habituelle de la section efficace totale
(théorème optique) :
L’interprétation physique
de ce terme estsimple :
à cet ordre engradients,
les termeslinéaires en T font
simplement apparaître
les termes de «départ »
dansl’intégrale
de collisionde Boltzmann
(sans
l’intégrale triple
surl’impulsion puisque,
si nous avonsdéjà
sommé surr2, nous n’avons pas encore sommé sur
l’impulsion
de la secondeparticule).
Aucunraisonnement
semi-classique
n’a été nécessaire pourintroduire,
ni la sectionefficace,
ni lepréfacteur
p/u,
dont leproduit
est habituellement introduit comme le « volumebalayé »
parla
particule ;
ils sontconséquences
du raisonnementgénéral
effectué sur la transformée deWigner
libre.3.3 TERMES DE DIFFUSION LATÉRALE. - Le terme
quadratique
en T issu de(22)
s’écrit :Comme
plus
haut,
nous effectuons la trace sur laposition
de laparticule
2 enprenant
r comme variabled’intégration
et en effectuant la substitution(35).
Nousdéveloppons
demême la
dépendance
dep WL(+)
en R(formule (37))
cequi,
à l’ordrezéro,
nouspermet
ànouveau de faire
apparaître
des fonctions delta descomposantes
de K sur leplan
Nous prenons maintenant
(ce
sera le caschaque
fois que nous calculerons des termes de diffusionlatérale)
l’axe Ozparallèle,
non pas à p, mais àkl ;
comme ce vecteurjouera
le rôled’impulsion
initiale relative de lacollision,
onpeut
dire que cette dernière définit dans tous lescas l’axe Oz. Passant des variables
angulaires
dek2
auxcomposantes
cartésiennes de cevecteur
unitaire,
nous faisonsapparaître l’exponentielle :
Développant
pWL(+)
comme en(41),
nous negardons
pour le moment que le terme d’ordre leplus
bas ;
cetteopération
introduit les mêmes fonctions deltaqu’en
(42a)
- àun
changement
près
dek+
enk-
etde k
en k2
-, cequi
impose :
La nappe
correspondant
ausigne
+ de cetteégalité
introduit uneintégrale
sur z’analogue
à(43),
cequi
permet
de montrer que :(le jacobien
vautun)
et d’utiliser(42d) (en
y substituantk-
àk, ,
k2
àk) pour
intégrer
sur les deuxcomposantes
dek2 ;
pour finir :où l’on retrouve la définition habituelle de la section efficace différentielle :
La nappe
correspondant
ausigne
moins dans(50)
fait,
comme pour le terme de diffusion versl’avant,
intervenir une fonction delta dontl’argument
nepeut
jamais
s’annuler,
de sorte quesa contribution est nulle.
4. Effets de retard et de réfraction.
Reprenons
maintenant les calculsprécédents
engardant
lespremiers
termesnégligés,
soit dans ladépendance
de p enR,
soit en r. Nous examinerons successivement les termeslinéaires et
quadratiques
en T.4.1 DIFFUSION VERS L’AVANT. - Nous
partons
à nouveau de la formule(34)
- sommée sur raprès
la substitution(35)
- etnous reprenons l’une
après
l’autre lesapproximations
faitespour calculer cette
intégrale.
4.1.1 Gradients par
rapport
à R. - C’est le deuxième terme du second membre de(37) qui
nous intéresse maintenant. Les sommations sur x
et y
(l’axe
Oz est à nouveaupris parallèle
à(et
un terme semblable où xet y
sontintervertis).
Nous obtenonsdonc,
en notantX et Y les
composantes
de R sur les axes Ox etOy :
où,
dansl’intégrale,
après
dérivation de la fonction parrapport
à K,,, il faut donner des valeursnulles à K x et
K y
(comme
plus
haut, K
remplace
Kz); id (x, y) désigne
le terme où lesdérivations sont faites par
rapport
àK y
et Y. Dérivons tour à tour les divers termes.(i)
Dérivée del’exponentielle ;
comme :il vient :
On voit ainsi que,
lorsque
K x etK y
sontnuls,
les dérivéesde k±
en K x etKy
sont nulles. Le seulterme à dériver dans
l’exponentielle
est donc celui en k- - r’. On a :ce
qui
introduit la contribution à(54) :
Nous pouvons
alors,
comme auparagraphe
3,
ignorer
ladépendance
en r’ dep eL)
(elle
introduirait des termes du second ordre en
gradients),
cequi
permet
d’utiliser la relation :Le raisonnement est alors semblable à celui de la fin du
paragraphe
3.2 ;
on a deuxdéterminations du vecteur
