CHAPITRE V : Intégration numérique

(1)

CHAPITRE V : Int´ egration num´ erique

(2)

1. Introduction

Dans le calcul d’int´egrales, on n’est pas toujours en mesure d’obtenir des expressions exactes. Il se peut que l’obtention d’une primitive soit

impossible ou trop compliqu´ee.

Pour pallier `a ce probl`eme, on cherche une approximation de l’integrale I(f) =Rb

a f(x)dx par une somme de surfaces de rectangles, de trapèzes ou d’autres formes géométriques dont on sait calculer l’aire.

Consid´erons une subdivision uniforme de l’intervalle[a,b]enn sous intervalles [xi−1,xi] ,i =1, ...,n de mˆeme longueur

h =x_i −x_i₋₁ = ^b−a

On a donc :x₀ =an<x₁< ...x_i <x_i+1 < ... <x_n=b

o`ux_i =a+ih pour i =0, 1, ...,n , en particulierx₀ =a et x_n=b

2 / 49

(3)

Soit fi la restriction de la fonctionf `a chaque sous intervalle[xi,xi+1]. En ´ecrivant

Z _b

a

f(x)dx =

Z _x₁

a

f(x)dx+

Z _x₂

x1

f(x)dx+...+

Z _x_n

xn−1

f(x)dx

=

n−1 i

∑

=0

Z _x_i₊₁

xi

fi(x)dx

on obtient alors des approximations de l’intégrale I(f) en rempla¸cantf_i(x) par une fonction Ψi(x)facile à intégrer sur[xi,xi+1].

Si Ψi est la fonction constanteλ_i sur chaque sous intervale [x_i,x_i+1] (_Ψ_i(x) =λi)

on obtient une approximation par les sommes de Riemann : I(f)≈Rⁿ(f) =

n−1 i

∑

=0

(xi+1−xi)λi

o`u λi =f(x_i^∗) avecx_i^∗ quelconque dans[x_i,x_i₊₁]

3 / 49

(4)

2. Approximation

Th´eor`eme

Soit f une fonction continue sur [a,b]alors :

nlim→_∞Rⁿ(f) =I(f) =

Z _b

a

f(x)dx Preuve :

Remarquons d’abord que f est uniform´ement continue sur [a,b] et par cons´equent :

∀ε >0, ∃η>0 tel que ∀(x,y)∈[a,b] v´erifiant:|x−y| ≤η on ait : |f(x)−f(y)| ≤ε

et plus particuli`erement on a :

∀ε >0, ∃η>0 tel que ∀(x,y)∈[x_i,x_i+1] v´erifiant:|x−y| ≤η on ait : |f(x)−f(y)| ≤ ^ε

b−a

Montrons maintenat que : ∀ε>0, ∃n₀ ∈_Ntel que ∀n >n₀ on ait : |I(f)−Rⁿ(f)| ≤ε

4 / 49

(5)

Soit n₀ > ^b−a

η alors pour toutn ≥n₀ on a :h= ^b−a

n ≤ ^b−a n₀ <η Par ailleurs, pour x_i^∗ ∈[x_i,x_i+1]et toutx ∈[x_i,x_i+1]on a :

|x−x_i^∗| ≤h<η et ceci implique que |f(x)−f(x_i^∗)| ≤ ^ε b−a et par suite :

|I(f)−Rⁿ(f)| ≤

n−1 i

∑

=0

Z _x_i₊₁

xi

|f(x)−f(x_i^∗)|dx

≤

n−1 i

∑

=0

Z _x_i₊₁

xi

( ^ε b−a)dx

≤ ^ε b−a

n−1 i

∑

=0

Z _x_i₊₁

xi

dx

≤ ^ε b−a

n−1 i

∑

=0

(xi+1−xi)

≤ ε

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(6)

Cas particulier de sommes de Riemann

En particulier, sur chaque sous intervalle [x_i,x_i+1] ,on peut choisirx_i^∗ et prendre pour constante λi les valeursf(x_i^∗)suivantes :

a) x_i^∗ =x_i etλ_i =f(x_i)donne Z _b

a

f(x)dx ≈I_gⁿ=

n−1 i

∑

=0

Z _x_i₊₁

xi

f(x_i)dx (I_gⁿ ,l’indiceg pour signifier gauche)

b) x_i^∗ =xi+1 et λi =f(xi+1)donne Z _b

a

f(x)dx ≈I_dⁿ=

n−1 i

∑

=0

Z _x_i₊₁

xi

f(xi+1)dx (I_dⁿ , l’indiced pour signifier droit)

6 / 49

(7)

c) x_i^∗ =x¯_i = ¹

2(x_i+x_i+1)(milieu de [x_i,x_i+1]) et λi =f

x_i+x_i₊₁ 2

donne Z _b

a

f(x)dx ≈I_mⁿ =

n−1 i

∑

=0

Z _x_i₊₁

xi

f

x_i +x_i+1

2

dx (I_mⁿ, l’indicempour signifier moyen ou m´edian)

7 / 49

(8)

2.1 Approximation par des rectangles ` a gauche

Soit x₀ <x₁ < ...x_i <x_i₊₁< ... <x_n une subdivision uniforme de [a,b]

Si on prend x_i^∗ =xi , on obtient une approxiamtion de Rb

a f(x)dx comme suit : Rb

a f(x)dx ≈I_gⁿ o`u : I_gⁿ =

n−1 i

∑

=0

Z _x_i₊₁

xi

f(x_i^∗)dx

=

n−1 i

∑

=0

(x_i₊₁−x_i)f(x_i)

= h

n−1 i

∑

=0

f(x_i)

= ^b−a n

n−1 i

∑

=0

f(x_i)

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(9)

Th´eor`eme

1 La suite (I_gⁿ) converge vers I(f)

2 Si la fonction f est de classe C¹ sur [a,b] alors I(f)−I_gⁿ

≤M₁(b−a)² 2n o`u M₁ = max

a≤t≤b

f⁰(t). Preuve :

1 analogue à celle du théorème 1

2 Si f est de classeC¹ sur [a,b] alors : ∃M1 ≥0 tel que : M₁ = max

a≤t≤b

f⁰(t)

Le théorème des accroissements finis appliqué à la fonction f sur [xi,x] où x ∈[xi,xi+1]

donne : ∃c_i ∈]x_i,x[ tel que f(x)−f(x_i) = (x−x_i)f⁰(c_i)

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(10)

d’o`u :

I(f)−I_gⁿ ≤

n−1 i

∑

=0

Z _x_i₊₁

x_i

|(f(x)−f(xi))|dx

≤

n−1 i

∑

=0

Z _x_i₊₁

xi

(x−x_i)f⁰(c_i)dx soit encore :

I(f)−I_gⁿ

≤ M₁

n−1 i

∑

=0

Z _x_i₊₁

xi

(x−x_i)dx

≤ M₁

n−1 i

∑

=0

1

2[(x−x_i)²]^x_xⁱ_i⁺¹

≤ M₁

n−1 i

∑

=0

h² 2

≤ M1(b−a)^h 2 =M1

(b−a)² 2n

10 / 49

(11)

Corollaire

Pour obtenir une approximation avec pr´ecision de l’ordre de ε, il suffit de prendre I_gⁿ⁰

o`u l’indice n0 est tel que : M1

(b−a)² 2n0

≤ εou encore n0 ≥M1

(b−a)² 2ε

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(12)

Exemple

L’approximation de l’int´egraleR1

0 e⁻^x2dx avec la méthode des rectangles à gauche, avec les précision ε=0.1 etε=0.05

0 0.5 1 1.5 2

0 0.5 1

f(x)=e^−x

2 et ε = 0.1

0 0.5 1 1.5 2

0 0.5 1

f(x)=e^−x

2 et ε = 0.05

Figure–Approximation par des rectangles `a gauche

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(13)

2.2 Approximation par des rectangles ` a droite

Soit x0 <x1 < ...xi <xi+1< ... <xn une subdivision uniforme de [a,b]

Si on prend x_i^∗ =x_i+1 , on obtient une approxiamtion deRb

a f(x)dx ≈I_dⁿ O`u :

I_dⁿ =

n−1 i

∑

=0

Z _x_i₊₁

xi

f(x_i+1)dx

=

n−1 i

∑

=0

(x_i+1−x_i)f(x_i+1)

= ^b−a n

i=n i

∑

=1

f(x_i)

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(14)

Th´eor`eme

1 La suite (I_dⁿ) converge vers I(f)

2 Si la fonction f est de classe C¹ sur [a,b] alors

|I(f)−I_dⁿ| ≤M1

(b−a)² 2n o`u M₁ = max

a≤t≤b

f⁰(t)

Preuve : analogue à celle du théorème 2 Corollaire

Pour obtenir une approximation avec pr´ecision de l’ordre de ε, il suffit de prendre I_dⁿ⁰ o`u l’indice n0 est tel que : M1

(b−a)²

2n₀ ≤ ε ou encore n0 ≥M1

(b−a)² 2ε

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(15)

Exemple

0 e⁻^x2dx avec la méthode des rectangles à droite, avec les précision ε=0.1 etε=0.05

0 0.5 1 1.5 2

0 0.5 1

f(x)=e^−x

2 et ε = 0.1

0 0.5 1 1.5 2

0 0.5 1

f(x)=e^−x

2 et ε = 0.05

Figure –Approximation par des rectangles `a droite

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(16)

2.3 Approximation par des rectangles m´ edians

Soit x₀ <x₁ < ...x_i <x_i+1< ... <x_n une subdivision uniforme de [a,b]

Si on prend x_i^∗ = ^xⁱ+x_i+1

2 , on obtient une approxiamtion deRb

a f(x)dx ≈I_mⁿ o`u :

I_mⁿ =

n−1 i

∑

=0

Z _x_i₊₁

xi

f(^xⁱ+xi+1

2 )dx

=

n−1 i

∑

=0

(xi+1−xi)f(^xⁱ+xi+1

2 )

= ^b−a n

n−1 i

∑

=0

f(^xⁱ+x_i₊₁

2 )

16 / 49

(17)

Th´eor`eme

1 La suite (I_mⁿ)converge vers I(f)

2 Si la fonction f est de classe C² sur [a,b] alors

|I(f)−I_mⁿ| ≤M₂(b−a)³

24n² o`u M₂ =max_a_≤_t_≤_b|f⁰⁰(t)|

Preuve :

1 analogue à celle du théorème 2

2 Ici, au lieu du théorème des accroissements finis, on utilise la formule de Taylor à l’ordre 2 sur l’intervalle [x¯_i,x] où x¯_i = ¹

2(x_i +x_i+1) et x ∈[xi,xi+1].

On obtient l’expression suivante : f(x)−f(x¯_i) = (x−x¯_i)f⁰(x¯_i) + ¹

2(x−x¯_i)²f⁰⁰(c_i) avecc_i ∈[x¯_i,x]

17 / 49

(18)

On a alors :

|I(f)−I_mⁿ| =

n−1 i

∑

=0

Z _x_i₊₁

xi

(f(x)−f(x¯i))dx

≤

n−1 i

∑

=0

Z _x_i₊₁

xi

(x−x¯i)f⁰(x¯i)dx

+

n−1 i

∑

=0

Z _x_i₊₁

xi

1

2(x−x¯i)²f⁰⁰(ci)dx

≤ A+B o`u A =

n−1 i

∑

=0

Z _x_i₊₁

xi

(x−x¯_i)f⁰(x¯_i)dx

= ||

n−1 i

∑

=0

f⁰(x¯_i)

Z _x_i₊₁

xi

(x−x¯_i)dx

= 0 et B =

n−1 i

∑

=0

Z _x_i₊₁

xi

1

2(x−x¯_i)²f⁰⁰(c_i)dx

≤ ¹ 2M2

n−1 i

∑

=0

Z _x_i₊₁

xi

(x−x¯i)²dx

18 / 49

(19)

B ≤ ¹ 2M2

n−1 i

∑

=0

1

3[(x−x_¯_i)³]^x_xⁱ⁺¹

i

≤ ¹ 6M2

n−1 i

∑

=0

2(^xⁱ⁺¹−xi

2 )³

≤ M₂(b−a)³ 24n²

19 / 49

(20)

Corollaire

Pour obtenir une approximation avec pr´ecision de l’ordre de ε, il suffit de prendre I_mⁿ⁰ o`u l’indice n₀ est tel que :

M₂(b−a)³ 24n²₀ ≤ε c-`a-d

n²₀ ≥M₂(b−a)³ 24ε ou encore

n₀ ≥ s

M₂(b−a)³ 24ε

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(21)

Exemple

0 e⁻^x2dx avec la méthode des rectangles médians, avec les précision ε =0.01 etε=0.001

0 0.5 1 1.5 2

0 0.5 1

f(x)=e^−x

2 et ε = 0.01

0 0.5 1 1.5 2

0 0.5 1

f(x)=e^−x

2 et ε = 0.001

Figure –Approximation par des rectangles m´edians

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(22)

2.4 Approximations par des trap` ezes

Soit x₀ <x₁ < ...x_i <x_i₊₁< ... <x_n une subdivision uniforme et P 1(x)un polynˆome de degr´e 1 interpolantf aux points xi etxi+1 de chaque intervalle [x_i,x_i+1].

[P₁(x_i) =f(x_i)et P₁(x_i₊₁) =f(x_i₊₁)]

En approchant sur chaque sous intervalle [xi,xi+1],f(x) par P1(x)on obtient :

f(x) 'P₁(x) =f(x_i) + [f(x_i),f(x_i₊₁)](x−x_i) f(x) 'P₁(x) =f(x_i) + ^f(x_i+1)−f(x_i)

x_i+1−x_i (x−x_i) et en cons´equences :

I(f) =

Z _x_i₊₁

xi

f(x)dx '

Z _x_i₊₁

xi

P₁(x)dx ' ^h

2[f(xi) +f(xi+1)]

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(23)

2.5 Formule de Simpson

Th´eor`eme

Soit P₂(x)un polynôme de degré 2vérifiant :

P2(xi) =f(xi) , P2(xi+1) =f(xi+1)et P2(xi+2) =f(xi+2)

En approchant sur chaque sous intervalle [x_i,x_i+2], f(x) par P₂(x)on obtient :

f(x) ' P₂(x)

' f(x0) + [f(x_i),f(x_i+1)](x−x_i)

+[f(xi),f(xi+1),f(xi+2)](x−xi)(x−xi+1) et en cons´equences :

I(f) =Rxi+2

xi f(x)dx ' Rxi+2

xi P2(x)dx = ^h

3[f(xi) +4f(xi+1) +f(xi+2)]

23 / 49

(24)

Preuve :

On a Rxi+2

x_i P₂(x)dx =I(P₂) +J(P₂) +K(P₂)avec : I(P2) =

Z _x_i₊₂

x_i f(xi)dx J(P₂) =

Z _x_i₊₂

xi

f(x_i₊₁)−f(x_i) xi+1−xi

(x−x_i)dx K(P₂) =

Z _x_i₊₂

xi

[f(x_i),f(x_i₊₁),f(x_i₊₂)](x−x_i)(x−x_i₊₁)dx On fait le changement de variables suivant :

(x−x_i) =ht ⇒dx =hdt si x =x_i ⇒t =0 et six =x_i+2 ⇒t =2 I(P2) =

Z ₂

0

f(xi)hdt

= 2hf(x_i)

J(P2) = ^f(xi+1)−f(xi) xi+1−xi

Z ₂

0

h²tdt

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(25)

J(P2) = h[f(x_i+1)−f(x_i)]

t² 2

2 0

= 2h[f(x_i+1)−f(x_i)]

d’o`u on obtient successivement :

K(P2) = [f(xi),f(xi+1),f(xi+2)]

Z _x_i₊₂

xi

(x−xi)(x−xi+1)dx

= [f(x_i),f(x_i₊₁),f(x_i₊₂)]

Z 2 0

h³t(t−1)dt

= ^f(x_i+2)−2f(x_i+1) +f(x_i)

2h² h³

t³ 3 −^t

2

2 2

0

= [f(xi+2)−2f(xi+1) +f(xi)]^h 3 Soit enfin :

Z _x_i₊₂

xi

P2(x)dx =I(P2) +J(P2) +K(P2) = ^h

3[f(xi) +4f(xi+1) +f(xi+2)]

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(26)

3. Interpolation et Erreur d’int´ egration num´ erique

D´efinition

On appelle formule de quadrature de type interpolation la formule : Z _b

a

f(x)dx '

Z _b

a

Pn(x)dx oùPn est le polynôme d’interpolation associé à f. Degré d’exactitude :

D´efinition

On définit le degré de précision (ou d’exactitude) d’une formule de quadrature comme le plus grand entier k ≥0 pour lequel la valeur approchée de l’intégrale (obtenue avec la formule de quadrature) d’un polynôme de degré k est égale à la valeur exacte,

Autrement dit, une formule de quadrature est dite d’ordrek si elle est exacte sur Rk[x] et inexacte pour au moins un polynôme de degré strictement supérieur à k .

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(27)

Remarque

Pour vérifier qu’une formule de quadrature est d’ordre k il suffit de vérifier qu’elle est exacte sur une base de Rk[x](par exemple la base canonique) et inexacte pour un polynôme de degré k+1(par exemple le polynôme x^k⁺¹).

Th´eor`eme

Toute formule de quadrature interpolatoire utilisant n+1 points distincts a un degré de précision au moins égale à n.

27 / 49

(28)

3.1 Interpolation lin` eaire et la formule du trap` eze :

Soit a=x₀ <x₁< ...<x_n=b , une subdivision uniforme de[a,b]et f ∈C²([a,b])

Considérons d’abord le sous intervalle [xi,xi+1], avech =xi+1−xi , Soit P₁ le polynôme de degré 1 interpolant f aux pointsx_i et x_i+1

Alors l’int´egrale Ii(f) =Rxi+1

xi f(x)dx peut ˆetre approch´ee par : I_i(f)' Rxi+1

xi P₁(x)dx = ^h

2[f(x_i) +f(x_i₊₁)]

On a e1(x) =f(x)−Pn(x) = ^f

(⁰⁰)(θi) (2)_! ^Π²(x)

Donc l’erreur commise par cette approximation ´etant donn´ee par : Ei(f) =Rxi+1

xi e1(x)dx = ¹ 2

Rxi+1

xi (x−xi)(x−xi+1)f⁰⁰(θi)dx

Π2(x) = (x−x_i)(x−x_i+1)garde un signe constant dans [x_i,x_i+1] d’o`u, en appliquant la formule de la moyenne :

E_i(f) = ^f

00(ηi) 2

Rxi+1

xi (x−x_i)(x−x_i+1)dx =−^h

3

12f⁰⁰(η_i); η_i ∈ [x_i,x_i+1]

28 / 49

(29)

3.2 Formule du trap` eze compos´ ee

Pour chercher une approximation de l’int´egrale sur tout l’intervalle [a,b], il suffit d’´ecrire :

Z _b₌_x_n

a=x0

f(x)dx =

n−1 i

∑

=0

Z _x_i₊₁

xi

f(x)dx

=

n−1 i

∑

=0

[^h

2[f(xi) +f(xi+1)] +

n−1 i

∑

=0

−^h

3

12f⁰⁰(ηi)

= ^h

2[f(x0) +2f(x1) +....2f(xn−1) +f(xn)]

−^h

3

12

n−1 i

∑

=0

f⁰⁰(ηi)

= ^h

2[f(x0) +2f(x1) +....2f(xn−1) +f(xn)]

−(b−a)

12 h²f⁰⁰(η) avec η∈[a,b]

29 / 49

(30)

3.3 Formule de Simpson compos´ ee

Soit a=x₀ <x₁< ...<x_n=b , une subdivision uniforme de[a,b]en un nombre pair de sous-intervalles et f ∈C⁴([a,b])

Sur chaque sous-intervalle [x_i,x_i+2], on a Rxi+2

xi P₂(x)dx = ^h

3[f(x_i) +4f(x_i₊₁) +f(x_i₊₂)]

avec h= (b−a)/n est la longueur de ces sous-intervalles ; x_i =a+ih pouri =0, 1,. . .,n−1,n

Pour chercher une approximation de l’int´egrale sur tout l’intervalle [a,b], il suffit d’´ecrire :

Z _b₌_x_n

a=x0

f(x)dx =

n−2 i

∑

=0

Z _x_i₊₂

xi

f(x)dx

≈

n−2 i

∑

=0

h

3[f(xi) +4f(xi+1) +f(xi+2)]

≈ ^h 3

f(x0) +2

n/2−1 i

∑

=1

f(x2i) +4

n/2

∑

i=1

f(x2i−1) +f(xn)

30 / 49

(31)

3.4 Erreur de la formule de Simpson

En posant :

e2(x) =f(x)−P2(x) et

E2(f) =

Z _b

a

e2(x)dx =

Z _b

a

[f(x)−P2(x)]dx

X L’erreur commise par la m´ethode de Simpson simple est donn´ee par :

E₂(f) =−^h

5

90f⁽⁴⁾(θ); θ∈ [a,b]

X L’erreur commise par la méthode de Simpson composée est donnée par :

E2(f) =−(b−a)

180 h⁴f⁽⁴⁾(θ); θ ∈[a,b]

31 / 49

(32)

Exemple

On veut calculer une valeur approcher de ln 2 pour cela on va calculer l’intégrale de la fonction f(x)=1/(x+1) sur un intervalle [0,1] par la méthode de Simpson la méthode des trapèzes, et la méthode des rectangles. Et on compare les résultats avec différentes valeurs de n (le nombre de subdivision de l’intervalle [0, 1]) alors on a le tableau suivant :

32 / 49

(33)

Exemple

33 / 49

(34)

4. Exercices

Exercice (1)

Soit une fonctionf(x)connue seulement pour les valeurs de x suivantes :

x 0 π/8 π/4 3π/8 π/2

f(x) 0 0.382683 0.707107 0.923880 1 On d´esire ´evaluerI =

Z _π/2

0

f(x)dx .

1 Estimer la valeur de I à l’aide de la méthode des rectangles à gauche composite,

2 Estimer la valeur de I à l’aide de la méthode des trapèzes composite,

3 Estimer la valeur de I `a l’aide de la m´ethode des Simpson composite,

4 Sachant quef est d´efinie par f(x) =sin(x), comparer alors les r´esultats obtenus avec la valeur exacte.

34 / 49

(35)

Exercice

5 Rappeler la formule de l’erreur de quadrature pour chaque m´ethode.

Donnez une estimation de l’erreur pour la fonctionf, et la comparer avec l’erreur calculée dans la question précédente.

35 / 49

(36)

Corrig´ e

Exercice (1)

1 La méthode des rectangles à gauche composite à n+1 points pour calculer l’intégrale d’une fonctionf sur l’intervalle[a,b]s’écrit I_gⁿ= ^b−a

n

i=n i

∑

=1

f(xi) = ^b−a

n [f(x1) +f(x2) +....+f(xn−1) +f(xn)]

Avec a=0,b= π/2,n =4 donc on obtient Ig ≈

Z _b₌_π/2

a=0

f(x)dx

= ^π

8[f(x1) +f(x2) +f(x3) +f(x4)]

= ^π

8[0.382683+0.707107+0.92388+1]

= 1.183465442

36 / 49

(37)

Exercice

2 La méthode des trapèzes composite àn+1 points pour calculer l’intégrale d’une fonctionf sur l’intervalle[a,b]s’écrit

Z _b₌_x_n

a=x0

f(x)dx = ^h

2[f(x0) +2f(x1) +....2f(xn−1) +f(xn)]

Avec a=0,b= _π/2,n =4 d’o`u h = ^b−a

n = ^π

8 et on obtient IT =

Z _b=_π/2 a=0

f(x)dx

= ^h

2[f(x0) +2f(x1) +2f(x2) +2f(x3) +f(x4)]

= ^π

16[0+2(0.382683+0.707107+0.92388)) +1]

= 0.987116

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(38)

Exercice

3 La méthode des Simpson composite à n+1 points pour calculer l’intégrale d’une fonctionf sur l’intervalle[a,b]s’écrit

Z _b=xn

a=x0

f(x)dx ≈ ^h 3

f(x0) +2

n/2−1 i

∑

=1

f(x2i) +4

n/2

∑

i=1

f(x2i−1) +f(xn)

Avec a=0,b= π/2,n =4 d’o`u h = ^b−a

n = ^π

8 et on obtient I_S =

Z _b=π/2 a=0

f(x)dx

= ^h

3[f(x0) +4f(x1) +2f(x2) +4f(x3) +f(x4)]

= ^π

24[0+ (4×0.382683(+(2×0.707107) + (4×0.92388) +1]

= 1.000135

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(39)

Exercice

4 On aI =Rb=π/2

a=0 sin(x)dx =1

|I_d−I|=0.183465

|IT−I|=0.012884

|IS−I|=0.000135

Donc la meilleure approximation de I est celle de la m´ethode de Simpson.

5

X L’erreur commise par la méthode des rectangles à gauche composée est donnée par :

I(f)−I_gⁿ

≤M₁(b−a)² 2n o`u M1 = max

a≤t≤b

f⁰(t).

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(40)

Exercice

On a a=0,b =_π/2,n =4 et|f⁰(t)| ≤1=⇒M1 =1.

I(f)−I_gⁿ

≤ M₁(b−a)² 2n

≤ (π/2)² 2×4

≤ ^π

2

32

≤ 0, 30842513753404245683857784374613

40 / 49

(41)

Exercice

X L’erreur commise par la méthode des trapèzes composée est donnée par :

E1(f) =−(b−a)

12 h²f⁰⁰(η) avecη∈[a,b]

On aa=0,b =π/2,n =4 , h= ^b−a

n = ^π

8 et

|f”(t)| ≤1. Donc

|E₁(f)| ≈ (b−a) 12 h²

≈ ^π

3

1536

≈ 0, 02018637804707019542674239262181

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(42)

Exercice

X L’erreur commise par la méthode de Simpson composée est donnée par :

E2(f) =−(b−a)

180 h⁴f⁽⁴⁾(θ); θ ∈[a,b] On aa=0,b =π/2,n =4 , h= ^b−a

n = ^π

8 et

f⁽⁴⁾(θ)

≤1. Donc

|E₂(f)| ≈ ^π 360

π⁴ 4096

≈ ^π

5

1474560

≈ 0.6605976768×10⁻⁴

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(43)

Exercice (2)

Trouver le nombre n de subdivisions nécessaires de l’intervalle d’intégration [−π,π] , pour évaluer à 0.5×10⁻³ près, grâce à la méthode de Simpson, l’intégrale

Z _π

−π

cos(x)dx Corrig´e Exercice (2)

On a a= −π,b =π d’o`uh = ^b−a n = ^2π

n et l’erreur commise par la méthode de Simpson composée est donnée par :

E2 = −(b−a)

180 h⁴f⁽⁴⁾(ξ) ξ ∈ [a,b]

= −^2π 180

2π n

4

cos⁽⁴⁾(ξ)

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(44)

Exercice par cons´equent,

|E₂| ≤ ^16π

5

90n⁴;

Ainsi pour que |E2| ≤0.5×10⁻³ il suffit que n v´erifie 16π⁵

90n⁴ ≤0.5×10⁻³ =⇒n⁴ ≥ ¹ 0.5×10⁻³

16π⁵ 90

Donc n vérifie n≥18.16 . On prendra par exemple n=20, car pour la méthode de Simpson, le nombre de subdivisions de l’intervalle [a,b] doit toujours être pair.

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(45)

Exercice (3)

Soit αun nombre r´eel donn´e tel que 0<α≤1 et soient

x₀ =−1,x₁ =0,x₂ =α. Etant donnés ces trois points d’intégration, nous sommes intéressés à trouver trois nombres (poids) ω0,ω1 et ω2 qui définiront la formule de quadrature

J(f) =

∑

2 i=0

ω_if(x_i) =ω0f(−1) +ω1f(0) +ω2f(α), o`uf est une fonction continue quelconque donn´ee sur [−1, 1].

1 Trouver les poids ω0,ω1 et ω2 en fonction deαtels que J(P) =

Z ₁

−1

P(x)dx pour tout polynˆome P de degr´e m≤2

2 Existe-t-il αtel que J(P) =

Z 1

−1

P(x)dx pour tout polynˆome P de degr´em≥3? Si oui, quelle est la valeur maximale de m et que valent α,ω0,ω1 et ω2?

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(46)

Corrig´ e

Exercice (3)

1 On a :

i)pour P₀(x) =1

ω₀P₀(−1) +ω₁P₀(0) +ω₂P₀(α) =

Z ₁

−1

P₀(x)dx ω0+ω1+ω2 = 2

ii)pour P₁(x) =x

ω0P₁(−1) +ω1P₁(0) +ω2P₁(α) =

Z 1

−1

P₁(x)dx

−ω0+αω2 = 0

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(47)

Exercice

iii)pour P2(x) =x²

ω0P2(−1) +ω1P2(0) +ω2P2(α) =

Z ₁

−1

P2(x)dx ω0+α²ω2 = ²

3 On obtient le syst`eme suivant :







ω0+ω1+ω2 = 2

−ω0+αω2 = 0 ω0+α²ω2 = ² 3

⇐⇒







ω1 = 2−(ω0+ω2) ω0 = αω2

ω0(1+α) = ² On obtient donc 3

ω0 = ²

3(α+1)^, ^ω¹ = ^6α−2

3α , ω2 = ²

3α(α+1)^.

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(48)

Exercice

2 pour P₃(x) =x³

ω0P3(−1) +ω1P3(0) +ω2P3(α) =

Z ₁

−1

P3(x)dx

−ω0+α³ω2 = 0

⇐⇒ ω0 = α³ω2

⇐⇒ ²

3(α+1) = α³ 2 3α(α+1)

⇐⇒α² = 1

=⇒α = 1 (0<α≤1) Les poids deviennent alors ω0 = ¹

3,ω1 = ⁴

3 et ω2= ¹ 3

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(49)

Exercice

Pour P4(x) =x⁴, avecα=1,ω0 = ¹

3,ω1 = ⁴

3 et ω2 = ¹

3, on obtient J(x⁴) = ¹

3P₄(−1) + ⁴

3P₄(0) +¹

3P₄(1) = ² 3 et

Z ₁

−1

P₄(x)dx = ² 5. Donc

J(P4)6=

Z ₁

−1

P4(x)dx

Ainsi la valeur maximale de mtelle que la formule de quadrature intègre exactement les polynômes de degré m est m=3.

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