Séminaire du 03 05 2018 labo math info La Réunion

Références

Processus de Wiener,

Intégrale d’Itô,

Équations différentielles stochastiques

2

Partie

Sylvain Dotti

Laboratoire d’Informatique et de Mathématiques de La Réunion

3 Mai 2018

Les conditions habituelles de l’espace probabilisé filtré

On considère dans tout cet exposé un espace probabilisé (Ω, F , P) muni d’une mesure de probabilité P complète, d’une filtration (Ft)_t∈R+

I complète i.e. F0 contient les ensembles de P-mesure nulle.

I _{continue à droite i.e. ∀t ∈ R}+, Ft = \

s>t Fs

Deux processus stochastiques X , Y : Ω × R+_{→ R vérifiant}

∀t ∈ R+_{, X (ω, t) = Y (ω, t) ps, sont dits modifications l’un de l’autre.}

Deux processus stochastiques X , Y : Ω × R+_{→ R presque sûrement}

continus à droites et modifications l’un de l’autre vérifient P ∀t ∈ R+, Xt= Yt
= 1.

Le Mouvement Brownien réel

Un processus B : Ω × R+→ (R, B(R)) adapté à la filtration (Ft)_t∈R+ est appelé mouvement Brownien ou processus de Wiener si

I ∀0 ≤ s < t < +∞, B(., t) − B(., s) est indépendante de la tribu Fs

I ∀0 ≤ s < t < +∞, B(., t) − B(., s) est de loi N (0, t − s)

I p.s. B(ω, 0) = 0

Un tel Mouvement Brownien B admet une modification dont les trajectoires sont presque sûrement localement α-Hölderiennes, ∀α ∈]0,1

2[, mais pas pour α = 1 2.

Presque sûrement, ∀t1, t2∈ I compact ⊂ R+,

|B(ω, t1) − B(ω, t2)| ≤ C (ω, α, I) |t1− t2|

α

L’intégrale d’Itô

Soit T ∈ R+

∗, l’intégrale d’Itô contre le Mouvement Brownien B est une

isométrie (linéaire)  _L2 (Ω × [0, T ], Prog , dt ⊗ P) → L2(Ω, F , P) X 7→R₀TX (ω, t)dB(ω, t) vérifiant I _E Z T 0 X (ω, t)dB(ω, t) ! = 0 I _E " Z T 0 X (ω, t)dB(ω, t) !2# = E Z T 0 X (ω, t)2dt ! Le processus (ω, t) 7→Rt

0X (ω, s)dB(ω, s) est adapté à la filtration

(Ft)_{t∈[0,T ]}, c’est une martingale de carré intégrable qui admet une modification continue.

Calcul stochastique

Soient A, C ∈ L2

(Ω × [0, T ], Prog , dt ⊗ P) deux processus stochastiques,

X (ω, t) = X (ω, 0) + Z t 0 A(ω, s)ds + Z t 0 C (ω, s)dB(ω, s)

défini ∀t ∈ [0, T ], ω ∈ Ω, est appelé processus d’Itô. L’égalité précédente se note dXt= Atdt + CtdBt, et s’appelle différentielle d’Itô.

Soient deux processus d’Itô X et Y , avec dYt = ¯Atdt + ¯CtdBt. On a la formule d’intégration par parties suivante :

d (X × Y )_t = XtdYt+ YtdXt+ CtC¯tdt

Soit f ∈ C2,1_{(R × R}+), on a la formule d’Itô :

d (f (Xt, t)) = (∂tf ) (Xt, t)dt + (∂xf ) (Xt, t)dXt+ 1 2C

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t × (∂xxf ) (Xt, t)dt. Pour une approche intuitive de ces formules, voir Evans [Eva13]

Équation différentielle stochastique

Une équation différentielle stochastique est une équation de la forme

dX (ω, t) = a (X (ω, t), t) dt + b (X (ω, t), t) dB(ω, t)

où l’inconnue X est un processus d’Itô, les fonctions a, b : R × R+

→ R sont boréliennes.

La condition initiale X (., 0) : Ω → R du problème de Cauchy doit être F0-mesurable.

Un théorème d’existence et d’unicité au problème de

Cauchy

Considérons la classe d’équivalence suivante : deux processus

stochastiques X et Y sont indiscernables ssi leurs trajectoires sont égales presque sûrement i.e. P (∀t ∈ [0, T ] : X (., t) = Y (., t)) = 1.

Il existe une unique solution X ∈ L2

(Ω × [0, T ], Prog , dt ⊗ d P) à indiscernabilité au problème de Cauchy



dX (ω, t) = a (X (ω, t), t) dt + b (X (ω, t), t) dB(ω, t), t ∈ [0, T ] X0= G ∈ L2(Ω, F0, P)

sous les conditions

I _{a,b : R × [0, T ] → R localement lipschitiennes en x uniformément}

en t.

I _{a,b à croissance au plus affine en x i.e. il existe K ∈ R}+

∗ telle que

Convergence de l’approximation numérique donnée par le

schéma d’Euler-Maruyama

Soit la subdivision de taille k > 0 de l’intervalle [0, T ] : tn= kn, ∀n ∈ N. Sous la condition initiale X0∈ R, dans le cas où a, b ne dépendent que

d’une variable x ∈ R, le schéma d’Euler initialisé par X0 est défini par Xn+1(ω) = Xn(ω) + a (Xn(ω)) k + b (Xn(ω)) (B(tn+1, ω) − B(tn, ω)) . À k ∈ R+

∗ fixé, la solution approchée donnée par le schéma est définie

∀t ∈ [tn, tn+1[, ∀n ∈ N par ¯ Xk(ω, t) = Xn(ω) + Z t tn a (Xn(ω)) ds + Z t tn b (Xn(ω)) dB(s, ω). En notant X la solution de l’EDS en continu, dans le cas où a et b sont globalement lipschitziennes, on a l’estimation de l’erreur d’approximation

E  sup t∈[0,T ] | ¯Xk(., t) − X (., t)|2  ≤ Cste × k. On pourra consulter [Mao07] pour une démonstration.

Introduction aux processus de Wiener cylindriques

On sait généraliser la notion d’EDS

dX (ω, t) = a (X (ω, t), t) dt + b (X (ω, t), t) dB(ω, t)

au cas où on ajoute une infinité dénombrable de bruits multiplicatifs avec (Bk)_k∈N∗ suite de mouvements browniens indépendants :

dX (ω, t) = a (X (ω, t), t) dt + +∞

X

k=1

bk(X (ω, t), t) dBk(ω, t)

en définissant la notion de processus de Wiener cylindrique, puis l’intégrale d’Itô contre ces processus, en suivant la même construction qu’en dimension 1, à ceci près que les processus intégrandes

φ : Ω × [0, T ] → L2(H, R) seront à valeurs dans l’espace des opérateurs

Bibliographie I

Lawrence Evans.An introduction to stochastic differential equations. AMS, 2013 (cf. p.5).