Etude de l'asservissement d'une unité dentaire – Corrigé
Q.1. H(p) : moteur et G(p) : réducteur à engrenages.
Q.2.
) p ( G ).
p ( H ).
p ( C 1
) p ( G ).
p ( H ).
p ( C ) p (
) p (
c v
= + Ω Ω
Q.3. u(t) = e(t) + R.i(t) + dt
) t ( i .d
L → U(p) = E(p) + R.I(p) + L.p.I(p) e(t) = ke.ωm(t) → E(p) = ke.Ωm(p)
dt ) t ( .d J ωm
= Cm(t) – f.ωm(t) → J.p Ωm(p) = Cm(p) – f. Ωm(p) Cm(t) = km.i(t) → Cm(p) = km.I(p)
Q.4.
( )( )
( )( ) ( )( ) ( )
m e2
e m e
e m e m e e
m e m
e m
k . k R . f p . f . L J . R p . J . L
k . . k
k 1 k . k f p . J . Lp R
k . . k
k 1 f p . J . Lp R
k . 1 k
f p . J . Lp R
k . k k .
1 ) p ( U
) p (
+ + +
= + +
+
= + + + +
+
= +
Ω
( )
2e m e
m
e m
e m
e m
p k . . k R . f
J . p L k . . k R . f
f . L J . 1 R
k . k R . f
k . k k .
1 ) p ( U
) p (
+ + +
+ +
= +
Ω =
) 1 p zp . 1 2 (
K
2 2 0 +ω0
+ω avec K=
e m m
k . k R . f
k
+ , ω0 =
J . L
k . k R .
f + m e et z
(
f.R km.ke)
. J . L
f . L J . . R 2 1
+
= + .
+ - U(p)
f p . J
1 + ke
km
Cm(p)
Ωm(p) I(p)
E(p)
p . L R
1 +
Si on utilise un correcteur proportionnel, l'application numérique des grandeurs physiques permet de trouver la fonction de transfert simplifiée suivante : =
Ω Ω
) p (
) p (
c v
p . T 1
K
T T
+ , avec KT=0,9 et TT=0,1s Q.5. ωc(t) = ωc0.u(t) → Ωc(p) =
p
0
ωc
→ système du 1er ordre → ωv(t) K . . 1 e TT .u(t)
t 0
c
T
− ω
= −
Q.6. t5% = 3.τ = 0,3s (τ = TT= 0,1s) → voir cours 06 réponse indicielle 1er ordre.
Q.7.et 8. a. (t) dt
) t ( x d
v
v = ω → p.Xv(p) = a. Ωv(p)
+ - C(p) H(p) G(p)
Ωv(p) Ωm(p)
U(p) Ωc(p)
p
a Xv(p)
Xv(p) = p a.
p . T 1
K
T T
+ .Ωc(p) → Xv(p) = p a.
p . T 1
K
T T
+ . p
0
ωc
→ Réponse d’un système du premier ordre à une rampe : x (t) a.K . t T T .e TT .u(t)
t T T 0 c T
v
− +
ω
= −
→ voir cours 06 réponse à une rampe 1er ordre
Q.9. =
Ω Ω
) p (
) p (
c v
p2
p . 2 1
1 +
+ → système du 2ème ordre avec K=1, ω0 =1 et z=1.
→ Réponse d’un système du 2nd ordre à un échelon ωc(t) = ωc0.u(t) :
(
1 e t.e)
.u(t). ) t
( c0 t t
c
−
− −
−
=ω
ω
Régime permanent Régime transitoire
→ voir cours réponse 07 indicielle 2ème ordre pour z=1 (Rappel : s(t)=K
(
1−e−ω0.t−ω0.t.e−ω0.t)
.u(t))Q.10. t5%.ω0 =5 (annexe 2 cours 07) soit t5% = 5s → système plus lent qu’avec correcteur proportionnel.
Q.11. Synthèse :
Performances mesurées
Système matériel Ecart entre performances
attendues et mesurées Expression
du besoin
Ecart entre performances mesurées et simulées
Temps de réponse attendu : 0,5 s
Réglage 1 correcteur P
→ Temps de réponse simulé = 0,3 s
Avec ce réglage de correcteur, l’exigence du cahier des charges
n’est pas respectée.
Réglage 2 correcteur PID → Temps de réponse simulé = 5 s Cahier
des charges respecté.
Performances attendues Cahier des charges
(du système souhaité)
Système complexe pluritechnologique
Performances simulés Système
virtuel
Ecart entre performances attendues et simulées
Résultats obtenus avec un logiciel de simulation (gratuit) : Easy Reg
Réponse indicielle
p2
p . 2 1
1 + +
Réponse indicielle
p 1 , 0 1
9 , 0 +
Radar d’avion - Corrigé
Q.1.
+ -
Um(p)
θc(p) ε(p) Ωm(p) θr(p)
A Hm(p) B
p Ωr(p) 1
Q.2. et Q.3. um(t) = e(t) + R.i(t) → Um(p) = E(p) + R.I(p) e(t) = ke.ωm(t) → E(p) = ke.Ωm(p)
dt ) t ( .d J ωm
= Cm(t) → J.p Ωm(p) = Cm(p) Cm(t) = km.i(t) → Cm(p) = km.I(p)
+ - J.p
1
ke
km
1/R
Cm(p)
Ωm(p) I(p)
E(p) Um(p)
p k . . k
J . 1 R . 1 k
1 k . k p . J . R
k . . k k
1 p . J . R
k . 1 k
p . J . R
k . k k .
1 ) p ( U
) p ) (
p ( H
e m e e m e m e e
m e m
e m
m
m = +
= +
= +
=Ω
p . T 1
K
m m
= + avec Km= ke
1 et Tm=
e m.k k
J . R
Q.4. L’entrée est définie par un échelon unitaire, um(t)=u0.u(t), soit dans le domaine de Laplace, Um(p)=
p u0
. La sortie a donc pour expression dans le domaine de Laplace :
) p . T 1 .(
p u . ) K
p (
m 0 m
m = +
Ω La décomposition en éléments simples donne :
p . T 1
T . u . K p
u . K p . T 1 ) p p (
m m 0 m 0 m m
m = − +
+ + β
=α Ω
Soit
− +
= Ω
T p 1
1 p . 1 u . K ) p (
m 0
m
m . Par transformation inverse on obtient ensuite la réponse temporelle qui a
donc pour expression : (t) K .u 1 e Tm .u(t)
t 0
m
m
−
=
ω −
Ordonnée à l’origine : Pour t=0 on a : ωm(0)=0 Pente à l’origine :
[ ]
m 0 m m
0 2 m
m p m p
0 m t
T u . K ) p . T 1 .(
p u . . K p lim ) p ( . p . p lim ) t ( ' lim ) 0 (
' =
= + Ω
= ω
=
ω → →∞ →∞
+
+
Théorème de la valeur initiale
Transformée de la dérivée (CI nulles)
Ordonnée en +∞ :
0 m 0 m
m p
m(+∞)=tlim ω (t)=limp.Ω (p)=K .u
ω →+∞ →
Théorème de la valeur finale
Remarque : si on connait la réponse indicielle d’un système du 1er ordre, on peut bien évidemment donner directement les réponses.
Q.5.
( ) ( )
1K . B . A
p . T 1 . p
1 K
. B . A p . T 1 . p
K . B . A p
.1 p . T 1 . K B . A 1
p .1 p . T 1 . K B . A p ).1 p ( H . B . A 1
p ).1 p ( H . B . A ) p (
) p ) ( p ( H
m m m
m m
m m m m
m m
c r
+ + + =
= + + +
= + +
θ =
=θ
( )
2m m m
m
m p
K . B . A p T K . . B . A 1 1
1 K 1
. B . A
p . T 1 . p ) 1 p ( H
+
= + + +
= =
) 1 p zp . 1 2 (
K
2 2 0 +ω0
+ω
avec :
K = 1 ;
m m 2
0 A.B.K T 1 =
ω →
m m
0 T
K . B .
= A
ω ;
m 0 A.B.K
1 z .
2 =
ω →
m m.A.B.K T . 1 2 z=1
Q.6. Par définition pour une réponse indicielle (échelon unité) d’un système du 2nd ordre on a : Ordonnée en +∞ de la courbe de sortie :
p K . . z . 2 p
. lim K
) p ( S . p lim ) t ( s lim ) (
s 2
0 0 2
2 0 0
p 0
p
t =
ω + ω +
= ω
=
=
+∞ →+∞ → → → s(+∞)=K
Théorème de la valeur finale Le régime établi ne dépend que du gain statique Z alors que z et ω0 n’interviennent que sur le régime transitoire
Valeur du 1er dépassement : 1 z2
. z
1 e
D −
− π
= Valeur de la pseudo-période :
2 p 0
p
z 1 2 T 2
− ω
= π ω
= π
t (s) t1 =Tp/2
Tp/2 D1 K
θr(t) (rad)
Graphiquement on lit : K = 1 ; t1 = 0,24 =
2 0 1−z ω
π ; 1 z2
. z
1 e
D −
− π
= =0,1
Soit z ≈ 0,58 et ω0 ≈ 15,8 rad/s.
Q.7. Il n’existe pas de formule simple pour calculer le temps de réponse à 5% car il dépend de la valeur du coefficient d’amortissement z et de la pulsation propre non amortie du système ω0. On peut le lire graphiquement sur la courbe proposée ou bien on peut utiliser l’abaque disponible dans les annexes du cours 07 et on lit t5%.ω0 ≈5pour z=0,6 soit t5%≈0.33s > 0,2s → le critère de rapidité du cahier des charges n’est pas respecté, il faut améliorer les performances du système en ajoutant un correcteur.
Préhenseur de pièces – Corrigé
Q.1. On a VM(p) = K7.θb(p) et Uc(p) = K1.θc(p)
d’où : ε(p) = Uc(p) – VM(p) = K1.θc(p) – K7.θb(p) = 0 → si θc(p) = θb(p) alors K1 = K7. Q.2. uM(t) = e(t) + R.i(t) → UM(p) = E(p) + R.I(p)
e(t) = ke.ωM(t) → E(p) = ke.ΩM(p) dt
) t ( .d J ωM
= CM(t) → J.p ΩM(p) = CM(p) CM(t) = kM.i(t) → CM(p) = kM.I(p)
+ - UM(p)
p . J
1
ke
KM 1/R
CM(p)
ΩM(p) I(p)
E(p)
p k . . k
J . 1 R . 1 k
1 k . k p . J . R
k . . k k
1 p . J . R
k . 1 k
p . J . R
k . k k .
1 ) p ( U
) p ) (
p ( H
e M e e M e M e e
M e M
e M
M
3 = +
= +
= +
=Ω =
) p . T 1 (
K
3 3
+ avec K3= ke
1 et T3=
e M.k k
J . R
Q.3. (t) K .U . 1 e T3 .u(t)
t 0
3
M
−
=
ω − → voir cours réponse indicielle 1er ordre
• Valeur de ωM(t) à l'origine : ωM(t) = 0 pour t = 0.
• Pente à l’origine :
[ ]
3 0 3 3
0 2 3
M p M p
0 M t
T U . K ) p . T 1 .(
p U . . K p lim ) p ( . p . p lim ) t ( ' lim ) 0 (
' =
= + Ω
= ω
=
ω → →∞ →∞
+
+ → Pente à l’origine =
3 0 3
T U . K
Théorème de la valeur initiale
Transformée de la dérivée (CI nulles)
• Ordonnée en +∞ :
0 3 0 M
M p
M(+∞)=tlim ω (t)=limp.Ω (p)=K .U
ω →+∞ → → ωM(+∞)=K3.U0
Théorème de la valeur finale
Q.4.
dt ) t ( dθM
= ωM(t) → p.θM(p) = ΩM(t) →
p 1 ) p (
) p ) (
p ( H
M M
4 =
Ω
= θ .
Q.5.
Schéma bloc :
+ - K2 H3(p)
θc(p) θb(p)
K1 K5 K6
K7
H4(p)
Uc(p) UM(p) ΩM(p) θM(p) θR(p)
VM(p)
Calcul de la FTBF :
p .1 ) p . T 1 (
K . K . K . K . 1 K
p .1 ) p . T 1 (
K . K . K . K . K K . .1 K K . K . K ).
p ( H ).
p ( H . K 1
K . K . K ).
p ( H ).
p ( H . . K K . 1 ) K p ( U
) p . ( ) K p (
) p ) ( p ( H
3 7 6 5 3 2
3 7 6 5 3 2
7 1 7 6 5 4 3 2
7 6 5 4 3 2 7 1 c b 1 c b
+ +
= +
= +
= θ θ
=θ
On pose KBO gain boucle ouverte tel que : KBO = K2.K3.K5.K6.K7
1 K p p 1 K .
T K K K
p p . T . K K ) K p ( H
BO 2 BO
3 7 1
BO 2
3 BO 7
1
+ + + =
= + =
) 1 p zp . 1 2 (
K
2 2 0 +ω0
+ω
avec :
K=
7 1
K
K = 1 si K1 =K7 (Q.1.) , ω0 =
3 BO
T K et z
3 BO.T K . 1 2
=1 et KBO = K2.K3.K5.K6.K7 (KBO en s-1)
Q.6.
A l’aide de l’abaque annexe 1 du cours 07, on obtient graphiquement z = 0,2.
Valeur asymptotique : Graphiquement on lit θb(+∞) = 1 → K = 1.
La période des oscillations amorties est
2 p 0
p
z 1 2 T 2
− ω
= π ω
= π .
Graphiquement on lit Tp = 0,13 s
→ 2 2
p 0
2 , 0 1 . 13 , 0
2 z
1 . T
2
−
= π
−
= π ω
ω0 = 49 rad/s.
t (s) θb(t)
D1
Valeur asymptotique θb(+∞) = 1 = K
Tp
Valeur du dépassement transitoire
0,52 100
= 52 →D1=52%
Q.7. Pour z = 0,2 on lit sur l’annexe 2 cours 07 t5%.ω0 ≈13→ 0,26s 49
t5%=13= → Exigence 1.2.1 non vérifiée.
t θb(t)
Valeur asymptotique θb(+∞) = 1 = K 1,05.K
0,95.K
t5%
Graphiquement t5% ≈ 0,27 s
Q.8. Synthèse :
Performances mesurées
Système matériel Ecart entre performances
attendues et mesurées Expression
du besoin
Ecart entre performances mesurées et simulées
Temps de réponse attendu : 0,2 s
→ Temps de réponse simulé = 0,26 s
L’exigence 1.2.1. du cahier des charges n’est
pas respectée.
Performances attendues Cahier des charges
(du système souhaité)
Système complexe pluritechnologique
Performances simulés Système
virtuel
Ecart entre performances attendues et simulées
Etude des performances de rouleaux d'impression d'imprimante - Corrigé
Q.1. u(t) = e(t) + R.i(t) → U(p) = E(p) + R.I(p) e(t) = ke.ωm(t) → E(p) = ke.Ωm(p)
dt ) t ( .d J ωm
= Cm(t) → J.p Ωm(p) = Cm(p) Cm(t) = km.i(t) → Cm(p) = km.I(p)
Q.2.
p k . . k
J . 1 R . 1 k
1 k . k p . J . R
k . . k k
1 p . J . R
k . 1 k
p . J . R
k . k k .
1 ) p ( U
) p (
e m e e m e m e e
m e m
e m
+ + =
= +
Ω =
p . T 1
K
= + avec K=
ke
1 et T=
e m.k k
J . R
+ - U(p)
p . J 1
ke km
1/R
Cm(p)
Ωm(p) I(p)
E(p)
Q.3. (t) K.u . 1 e T .u(t)
t 0
m
−
=
ω − → voir cours réponse indicielle 1er ordre
Q.4. tr5% = 3.τ avec τ = T. → voir cours réponse indicielle 1er ordre Q.5. Fonction de transfert d’une intégration : G(p) =
p 1 .
Q.6.
(
B A)
cA B
) p ( ) p (
) p ( ) p ) (
p (
H θ −θ
θ
−
= θ
2 2 1 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1
p K. . K . K p T K . K . K 1 1
1 K
. K . K ) p . T 1 .(
p
K . K . K )
p . T 1 .(
p K . K . 1 K
) p . T 1 .(
p K . K . K
+
= + +
= + + +
+
Soit :
) 1 p zp . 1 2 (
K
2 2 0 0
3
+ω
+ω avec K3 = 1, ω0 =
J . R
k . k . K . K . K T
K . K .
K1 2 1 2 m e
= et z
K . K . K . J . R
k . k 2 1
2 1
e
= m .
Q.8. K3=1 [1] ; z=1 [1] et ω0=1 [rad/s].
(θB(p) – θA(p))c
p
=2 et
(
B A)
cA B
) p ( ) p (
) p ( ) p ) (
p (
H θ −θ
θ
−
= θ
) 1 p zp . 1 2 (
K
2 2 0 0
3
+ω +ω
=
θB(t) – θA(t) = 2.K
(
1−e−ω0.t−ω0.t.e−ω0.t)
.u(t) → voir cours réponse indicielle 2ème ordre pour z=1.Pour une entrée échelon de consigne de 2 rad on obtient en régime permanent un angle de 2 rad → l'erreur statique est nulle, l'exigence est validée.