Etude d’une tuyère à ouverture variable pour banc d’essais de turboréacteur - Corrigé
Fermeture géométrique : OO 0r OA AB BC CO x.xr1 h.yr1 .lxr4 h.yr5 .lxr1
−
− + +
= + + +
=
= On projette dans la base 1 :
= α
− β +
=
− α + β +
0 cos . h sin .l h
0 l sin . h cos .l x
On cherche ensuite à éliminer β
α +
−
= β
α
−
−
= β
2 2
2 2
) cos . h h ( ) sin .l (
) sin . h x l ( ) cos .l (
→ l2 =(l−x−h.sinα)2+(−h+h.cosα)2 → l2 =(l−x)2−2.(l−x).h.sinα+h2.sin2α+h2−2.h2.cosα+h2.cos2α
→ l2 =l2−2..lx+x2−2.(l−x).h.sinα−2.h2.cosα+2.h2 → 2.lx−x2−2.h2 =−2.(l−x).h.sinα−2.h2.cosα
→ 2.h
x .l 2 h . 2 cos x
. h sin ).
x l (
2
2+ −
= α + α
− →
x l . h h
. 2
x .l 2 h . 2 cos x
x. l
sin h 2
2 2
−
−
= +
− α + α On pose
x l tan h
= −
ϕ → α+ ϕ α= + − .tanϕ h
. 2
x .l 2 h . 2 cos x
. tan
sin 2
2 2
→ ϕ α+ ϕ α= + − .sinϕ
h . 2
x .l 2 h . 2 cos x
. sin sin .
cos 2
2 2
et on montre que dans le triangle rectangle :
2 2 (l x) h
sin h
−
= +
ϕ ce qui donne :
2 2
2 2
) x l ( h . h . 2
x .l 2 h . 2 ) x
sin( + −
−
= + ϕ + α
2 2
2 2
) x l ( h . h . 2
x .l 2 h . 2 x
− +
−
+ est bien compris entre -1 et 1 →
2 2
2 2
) x l ( h . h . 2
x .l 2 h . 2 arcsin x
− +
−
= + ϕ + α
→ l x
arctan h )
x l ( h . h . 2
x .l 2 h . 2 arcsin x
2 2
2 2
− −
− +
−
= + α
On constate à l'aide d'un tableur que cette loi peut raisonnablement être approximé par une loi E/S linéaire de la forme α ≈ - 0,4.x ce qui est cohérent ensuite avec le graphe utilisé question 2.
Le diamètre de la veine de fluide a pour diamètre : D = D0 – 2.L.sinα
y = -0,4066x + 0,6512 R2 = 0,9998
-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10
0 20 40 60 80 100 120 140 160
x (mm)
alpha (°)
Q.2. Graphiquement on a D(x) = 600 – 2.x soit D(x) = D0 – 2.x
Q.3. Pour 6V on a un débit d’environ 0,6×6 = 3,6 soit une pente de 3,6/6 = 0,6 L.min–1.V–1.
→ KD = 0,6 L.min–1.V–1 Q.4. On a Qmax=Vmax.S →
S
Vmax=Qmax → A.N. : 6 1
3
max 5m.s
10 . 20 60
10 .
V 6 − −
− =
= ×
Le cahier des charges donne une réduction de la veine de fluide de 200 mm soit un déplacement de 100 mm du vérin en 4s → 0,025 m.s–1<< 5m.s–1 → ok.
Q.5.
dt ) t ( Sdx ) t (
q = → Q(p)=S.p.X(p)→
p . S
1 ) p ( Q
) p ( ) X p (
Hv = =
Q.6. On modifie le schéma-bloc :
X(p) Vérin
Q(p) Module de commande
Adaptateur
Capteur
Servo - Distributeur
Mécanisme de transformation
de mvt UD(p)
KC
KC
KD HM(p)
+ -
C(p) KU HV(p) D(p)
Dréf(p) HA(p)
Xréf(p)
FTBF demandée
X(p)
KC KD
+ -
KP KU
p . S Xréf(p) 1
p K . . K . K . K 1 S
1 K
. K . K . K p . S
K . K . K . K p
. S
K . K . K . 1 K
p . S
K . K . K . K ) p ( X
) p ( ) X p ( H
D U P C D
U P C
D U P C D
U P C
D U P C
ref
EF = +
= +
= +
=
→ FoncQon de transfert du 1er ordre de gain K=1 et constante de temps T=
D U P C.K .K .K K
S
Q.7. Pour de système du 1er ordre pour une entrée en échelon on aura x(+∞)=100.K=100 → l'écart de posiQon consécutif à une consigne en échelon de 100 mm est nul → C.d.C.F. ok.
Q.8. Pour ce système du 1er ordre on a t5% = 3.T=
D U P C.K .K .K K
. S
3 = 4s d’après le cahier des charges.
→
D U C P K .K .K
. S 4
K =3
Q.9.
Q.10.
+ - ε(p) ΔP(p)
p . V
B . 2
S.p
S
Fv(p) -
+ X(p)
p2
. Meq
1
Fr(p) KE
Q(p)
+ - ε(p) ΔP(p)
p . V
B . 2
S.p
S
Fv(p) -
+ X(p)
p2
. Meq
1
Fr(p) KE
Permutation des points de prélèvement et calcul de la FTBF de la boucle imbriquée
Q(p)
E 2 2
E 2
v
1 Meq.p K
1 p
. Meq 1 K
p . Meq
1 )
p ( F
) p ( ) X p (
FTBF = +
+
=
=
V S . B . K 2 p . Meq
V S . B . 2 p.
. S
1
K p . Meq
V S . B . 2 1
K p . Meq
V S . B . 2 p. . S
1 K p . Meq . 1 p . V
p . S . S . B . 1 2
K p . Meq . 1 p . V
p . S . S . B . 2 p. . S
1 ) p ( Q
) p ( ) X p (
H 2
E 2
2
E 2
2 E 2
2
E 2
E 2 v
+ +
= + +
= + + +
= +
=
D’où :
+ +
= +
2 2 E
2 E
v
p . V
S . B . K 2 1 Meq . p
V S . B . K 2
V S . B . 2
) p (
H avec
V S . B . K 2
V S . B . 2
K 2
E V
+
= et
V S . B . K 2
a Meq 2
E 2
+
=
Q.11. On a
) p . a 1 .(
p ) K p (
Hv V 2
+ 2
= K X(p)
C KD
+ -
KP KU
Xréf(p)
Hv(p)
V D U P C 2
V D U P C
2 V D U P C
2 V D U P C
ref
EF p.(1 a .p ) K .K .K .K .K
K . K . K . K . K )
p . a 1 .(
p
K . K . K . K . 1 K
) p . a 1 .(
p
K . K . K . K . K ) p ( X
) p ( ) X p ( H
2 2
2
+
= + + +
= +
=
3 V D U P C V D U P C EF
p K . . K . K . K . K p a K . . K . K . K . K 1 1 ) 1 p ( H
+ 2
+
=
Q.12.
Q.13.
Q(p) + -
ΔP(p) ε(p)
p . V
B . 2
S.p
S
Fv(p) -
+ X(p)
p2
. Meq
1
Fr(p) KE
δ -
+
ΔP(p) ε(p)
p . V
B . 2
S.p
S
Fv(p) -
+ X(p)
p2
. Meq
1
Fr(p) KE
δ -
FTBF1(p) Q(p)
+ - FTBF2(p)
E 1 2
K p . Meq ) 1 p (
FTBF = + (Inchangée)
δ
= + + δ
ε =
=∆
. B . 2 p . V
B . 2 p
. V
. B . 1 2
p . V
B . 2 ) p (
) p ( ) P p ( FTBF2
p . S . B . 2 ) K p . Meq ).(
. B . 2 p . V (
S . B . 2 K
p . Meq p 1 . S . . B . 2 p . V
B . 1 2
K p . Meq p 1 . S . . B . 2 p . V
B . 2 p.
. S
1 ) p ( Q
) p ( ) X p (
H 2
E 2
E 2 2
E 2 2
v = + δ + +
+ δ
+ +
+ δ
= +
=
1 p K ).
. . B . 2
S . B . 2 V . (K p K . . . B . 2
Meq . . B . p 2 K . . . B . 2
V . Meq
K . . B . 2
S . B . 2 K
. . B . 2 p ).
S . B . 2 V . K ( p . Meq . . B . 2 p . V . Meq
S . B . ) 2
p ( H
E 2 2 E
E 3
E
E E
2 E
2 v 3
δ + + +
δ + δ δ
= δ δ + +
+ δ
= +
1 p K ).
. . B . 2
S . B . 2 V . (K p K . p Meq K . . . B . 2
V . Meq
K .
S )
p ( H
E 2 2 E
E 3 E
E v
δ + + +
δ +
= δ avec
E
V .K
K S
=δ
E 2 E
1 2.B. .K S . B . 2 V . a K
δ
= +
E
2 K
a =Meq et
E 3 2.B. .K
V . a Meq
= δ
Q.14.
40 dB
0° – 90°
– 270°
3 rad/s 1000 rad/s
– 20 dB/dec
– 60 dB/dec
Graphiquement on observe que HV(p) est de la forme
2 2 0 0
v
p 1 . p z. . 1 2 . 1 p . T 1 ) K p ( H
+ω +ω
= + avec
40 ) K log(
.
20 = dB → K 1020 100
40
=
= → K=100 et 3
T=1s pour le système du 1er ordre.
z = 0,7 pour garantir le temps de réponse minimal ω0 = 1000 rad/s et K = 1 pour le système du 2nd ordre.
Q.15. KBONC = KC.KU.KD.KV=2.105×5.10−4×10−5×100=0,1
Q.16. La valeur asymptotique de la FTBO en −∞ est 20.log(0,1)=−20dB, il faut donc décaler la courge en gain de -60 dB.
– 20 dB
0° – 90°
– 270°
3 rad/s 1000 rad/s
– 20 dB/dec
– 60 dB/dec
Q.17. Pour compenser la constante de temps du système du 1er ordre il faut prendre TI = 3 1s.
Q.18. L’erreur en vitesse vaut 1 K . K
T . V
P BONC
I
0 < mm pour V0 = 25 mm/s d’après le C.d.C.F..
→ 3
3 P 3 0,1 1.10
10 .
K 25 −
−
×
> × =83,3
Q.19. Proposition de synthèse :
Objectif : Régler le correcteur du l’asservissement de la tuyère à ouverture variable vis-à-vis des performances attendues dans le cahier des charges
Modèle 1
Modèle de connaissance du système de transformation de
mouvement Modèle de
comportement du servo-distributeur
Modèle de connaissance du vérin hydraulique avec hypothèse fluide
incompressible
Modèle 2
Modèle 3
Amélioration du modèle
Modèle de connaissance du vérin hydraulique avec hypothèse fluide
compressible
Modèle de connaissance du vérin hydraulique avec hypothèse fluide compressible + prise en
compte du débit de fuite Amélioration du
modèle Mise en place d’un
modèle SLCI
Ecart réel/modèle : Modèle trop simplifié par rapport au comportement du système
réel Ecart réel/modèle : Modèle instable
Ecart réel/modèle : Modèle proche du comportement réel du système et adapté à
l’objectif
Utilisation du modèle
Choix correcteur : Correcteur PI avec KP = 83,3 et Ti = 0,33 s
• t5% = 4s
• Erreur statique nulle
• Erreur trainage 1mm pour une consigne de 25 mm/s
• t5% ≤ 4s
• Erreur statique nulle
• Erreur trainage 1mm pour une consigne de 25 mm/s
Ecart réel/cahier des charges nul sur
ces 3 critères
