Démonstrations en géométrie à l’aide des complexes
Exercice 1
Sur Geogebra : Effacer les axes, créer un point , un point . Construire, à l’aide d’une rotation, un triangle rectangle isocèle direct en , puis un triangle rectangle isocèle direct en . Construire le milieu de , tracer les droites et (BC), puis leur angle. Que constate-t-on ? Déplacer les points pour vérifier.
Avec des complexes : Prenons l’origine en ,appelons l’affixe de . Exprimer l’affixe de . De même, appelons l’affixe de , et déterminer l’affixe de . Reste à calculer l’affixe , puis celles des vecteurs et . Que devrait-on obtenir ?
Conclure.
Exercice 2
Sur Geogebra : effacer les axes, construire un triangle direct, puis les triangles équilatéraux directs et , puis enfin le parallélogramme . Faire bouger . Que constate-ton ?
Avec des complexes : Appelons , , les affixes respectives de , , .
Compléter la phrase : est l’image de …. par la ………. de centre ….. d’angle ……..
Si est l’affixe de , on a donc
Démontrer que . (On pourra calculer 1 ) Exprimer de même l’affixe de .
En déduire que l’affixe de vaut . Conclure.
Exercice 3 (théorème de Napoléon)
Sur Geogebra : effacer les axes, construire un triangle direct, puis les triangles équilatéraux directs , , . On appelle , !, " les centres de gravité de ces triangles. Quelle est la nature du triangle !" ?
Avec des complexes : Appelons , , les affixes respectives de , , . Comme dans l’exercice précédent, déterminer les affixes des points , , . Démontrer que l’affixe # de vaut $
%&1 ' $%&1 ' .
En remarquant que 1 √3*, et en faisant un calcul analogue pour 1 , donner une expression plus simple de #.
Exprimer de même les affixes ,, - de ! et ". Calculer enfin - # et , #.
Conclure.
Pouvez-vous démontrer que et !" ont le même centre de gravité ?
Remarque culturelle : selon la légende, Napoléon Bonaparte (qui n’était pas encore Napoléon 1er, aurait présenté ce théorème à l’Académie des Sciences au retour de sa campagne d’Italie, en 1797. Le grand mathématicien français Lagrange (à qui on doit, entre autres, la notation . pour la dérivée, aurait alors dit : « Nous attendions tout de vous, mon Général, mais pas une leçon de géométrie. »
