les points A(2,1,3) ;B(3,1,1) et C(2,2,1) et la sphère(S)

(1)

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Soit la suite (U_n) définie sur IN par :

0

1

2

3 ( )

5

n n

n

U

U U n IN

 U

 

 

   

 



1. Vérifier que pour tout n dans IN on a : et montrer par récurrence que : pour tout n dans IN.

2. Soit la suite (Vn) définie par: pour tout n de IN.

a) Montrer que la suite (Vn) est géométrique de raison , et déduire que : pour tout n de IN.

b) Montrer que : ^{1 3V}

1 V

n n

n

U  

 pour tout n de IN puis écrire U_nen fonction de n.

c) Déterminer la limite de la suite

On considère dans l’espace muni d’un repère orthonormé direct les points A(2,1,3) ;B(3,1,1) et C(2,2,1) et la sphère(S) d’équation :

1. a) Montrer que :

b) En déduire que : est l’équation cartésienne du plan (ABC).

2. a) Montrer que le point (1,-1,0) est le centre de la sphère(S) et 6 est son rayon.

b) montrer que d( (ABC))=3 ,puis déduire que le plan (ABC) coupe la sphère (S) selon un cercle (C).

1. a) donner une représentation paramétrique de la droite ( )qui passe par et qui est perpendiculaire au plan (ABC).

b) montrer que B est le centre de (C).

1

4(U 3)

3 2 (3 )

n n

n

U ^ U

  

 

n 3 U 

U 1 3

n n

n

V U

 



1 2 1

2

n

Vn  

   

 Un



^{o i j k}^{; ; ;}



2 2 2

2 2 34 0

x y z  x y 

2 2

ABAC  i jk

2x2y  z 9 0

(2)

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : z²4z290 . 2. On considère dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé

direct les points , A et B d’affixes respectifs , et .

a) soit u le nombre complexe tel que :

vérifier que : et que : arg( )  2 u 4

  .

b) donner un argument du nombre complexe ̅ ( ̅ étant le conjugue de u ).

c) vérifier que : , en déduire que et que : .

d) on considère la rotation R de centre et d'angle . Déterminer l’image du point A par la rotation R.

Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher de couleurs différentes ( 4 Rouges , 6 Vertes )

On tire de façon aléatoire, simultanément deux boules de l’urne . 1. On considère l’événement A « les deux boules tirées sont rouges » Montrer que :

2. Soit X la variable aléatoire liée au :« nombre de boules rouges restantes après tirage »

a) Montrer que l’ensemble des valeurs prises par X est ^{2;3; 4} b) Montrer que puis donner la loi de probabilité de X

Partie I

1. Soit f la fonction définie sur IR par :

et sa courbe dans un repère orthonormé (o ; ⃗ ⃗) (unité 1cm) a) Montrer que :



^{o e e}^{; ;}¹ ²



^^{ }^{2 5i} ^a^{ }^{5 2}ⁱ

5 8 b  i

u b  3 3

u  i

a  u

 

2 2 b

a

  



   

  

 

arg

 2



 

²

P A 15



3



⁸

P X  15

( ) 2 2 2^x 4 ^x f x  x e  e

 

^C^f

lim ( )

x f x

  

(3)

b) Montrer que la droite (D) d’équationy2x2est une asymptote à

 

Cf au voisinage de .

2. a) Montrer que :

b) Montrer que : , Interpréter géométriquement le résultat obtenu.

3. a) Montrer que : f x ( ) 2(e^x1)² pour tout x de IR.

b) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur IR.

(remarquer que (f '(0)=0)

c) Montrer que l'équation f(x)=0 admet une solution unique sur



^{1;ln 4}



^.

4. a) Montrer que se trouve au-dessus de la droite (D) sur l’intervalle



^{ln 4;}^



et au-dessous de la droite (D) sur l’intervalle



^^{;ln 4}



^.

b) Montrer que admet un unique point d’inflexion de coordonnées (0,-5).

c) Construire dans un même repère(o, ⃗ ⃗) la courbe et la droite(D) (prendre ln4 1,4 et ) .

5. a) Montrer que : ^{ln 4} ²

0

( 4 ) 9

2

x x

e  e dx 



b) Calculer en l’air du domaine délimité par la courbe ,la droite (D),la droite d’équation x=0 et x=ln4.

Partie II

1. a) résoudre l’équation différentielle

b) préciser la solution g de qui vérifie et

2. Soit h la fonction définie sur l’intervalle ] [ par : a) montrer que h admet une fonction réciproque définie sur IR b) vérifier que et calculer .

lim ( )

x f x

  

lim (x)

x

f

 x  

 

Cf

 

Cf

 

^C^f

(C_f)

 ^E ^y^^³^y^^²^y^⁰

 ^E ^g⁽⁰⁾^{ }³ ^g⁽⁰⁾^{ }² ( ) ln( 2^x 4 ^x)

h x  e  e

h^1

 

^{ln 5} ^{ln 5}

h 

 

^h^¹ ^^{ }^{ln 5}