Faraday

1 Introduction

On sait que la lumière est composée de photons, des particules qui obéissent aux lois de la mécanique quantique. La fonction d'onde d'un photon décrit sa probabilité d'être à un en- droit donné à un temps donné. Cette fonction d'onde peut se visualiser à partir de l'analogie des vagues se propageant à la surface de l'eau. Dans le cadre de la théorie électromagnétique, cette onde représente l'amplitude du champ électrique, champ uctuant à une fréquence don- née et qui se propage dans l'espace. Ultimement, ce champ origine d'une charge électrique subissant une accélération. C'est le champ de cette charge, transverse à la direction de pro- pagation de l'onde, qui se fait sentir en un point de l'espace. La nature ondulatoire de la lumière est à la base de phénomènes tels que la diraction et l'interférence.

2 Théorie

2.1 La lumière

À chaque photon est associée une onde électromagnétique représentant un champ oscillant Edans l'espace et dans le temps. Ce champ se représente en fonction du temps comme suit :

E E

E E

Figure 1: Champ électrique d'une onde électromagnétique.

On voit que E a une direction donnée mais varie selon une relation que l'on peut écrire E=E0cosωtoùE0 est l'amplitude maximum et ω la fréquence angulaire. La direction de propagation est ici perpendiculaire à la feuille.

Une source concrète émet un grand nombre de photons issus chacun d'un électron qui a changé d'état. La somme de ces émissions forme des trains d'onde. La direction du champ électrique associée à chacun de ces trains d'onde est toujours perpendiculaire à la direction de propagation, mais change d'un train d'onde à l'autre. Pour de la lumière naturelle en un endroit et en un temps précis, ces champs se représentent comme dans la gure suivante :

Figure 2: Polarisation d'une lumière naturelle.

Chacun de ceux-ci oscille selon sa propre direction. La lumière naturelle est alors qualiée de non-polarisée car le champ E se retrouve aléatoirement selon toutes les directions perpendiculaires à la direction de propagation.

Il est possible de polariser linéairement cette lumière en ne sélectionnant que la composante d'intérêt du champ électrique, soit en faisant se dissiper dans un polariseur la composante qui lui est perpendiculaire. Initialement, les polariseurs étaient faits de calcite. On trouve maintenant des polariseurs sous la forme d'une lame ou plaque mince composées de cristaux possédant une propriété de dichroïsme, c'est-à-dire des cristaux qui absorbent le champ dans une orientation plus que dans l'orientation perpendiculaire à la précédente.

E

analyseur

polariseur

détecteur

θ θ

Figure 3: Obtention d'une polarisation linéaire.

La gure ci-dessus montre de la lumière naturelle incidente sur un polariseur dont l'axe de polarisation fait un angleθavec la verticale. Il en ressort de la lumière polarisée linéairement dont l'orientation deEfait un angleθavec la verticale. Suit un analyseur, une unité identique au polariseur, dont l'axe est vertical. Seule la composante verticale du champ E peut le traverser. Au détecteur, la lumière est polarisée verticalement et son amplitude est E₀cosθ, où E₀ est l'amplitude à la sortie du polariseur.

2.2 Loi de Malus

On sait que l'énergie transportée par une onde est proportionnelle au carré de son amplitude.

Soit I l'intensité d'une onde, c'est-à-dire une quantité proportionnelle à l'énergie, la valeur de I est donc proportionnelle au carré de l'amplitude de l'onde.

I ∝nEE^∗

où n est l'indice de réfraction du milieu dans lequel l'onde se propage. Soit I₀ l'intensité à

la sortie du polariseur, à la sortie de l'analyseur, on aura donc :

I =I₀cos²θ (1)

oùθest l'angle entre la direction de polarisation du polariseur et celle de l'analyseur. L'équa- tion (1) s'appelle la loi de Malus. Elle a été découverte par Étienne Louis Malus en 1809.

2.3 La polarisation

La discussion des pages précédentes sur la nature de la lumière est incomplète. Le photon possède un spin égal à un. Ce spin constitue un moment cinétique quantié selon la direction de propagation du photon et il ne peut avoir que deux projections possibles soient +~ ou

−~où ~est la constante de Planck divisée par 2π.

En général, une particule de spin 1 possède 3 projections. Dans le cas du photon, étant donné qu'il se déplace à la vitesse de la lumière, ceci est réduit à deux projections.

Le concept de moment cinétique est associé à celui de la rotation semblable à la rotation d'une toupie autour de son axe de symétrie. Il faut donc imaginer le photon comme tour- nant dans le sens horaire ou dans le sens antihoraire. Traduit en électromagnétisme, cela veut dire un champ électriqueE de grandeur constante qui tourne autour de l'axe de propa- gation en décrivant une hélice. Par convention, lorsque le sens de propagation de l'onde est orienté vers l'observateur, on dit qu'une lumière est polarisée circulairement à droite si le champ électrique tourne dans le temps dans le sens horaire à une position donnée le long de l'axe de propagation. Si la rotation se fait dans le sens antihoraire, on parlera de polarisation circulaire gauche.

Il faut comprendre qu'un rayon lumineux polarisé linéairement peut être représenté comme une somme de deux rayons polarisés circulairement : l'un à gauche et l'autre à droite. En eet, considérons les gures suivantes qui illustrent comment se superposent deux champs E de grandeur constante mais tournant dans des sens opposés.

E1+E2 E1

E1

E1

E1

E1

E2

E2

E2

E2

E2

+

E1+E2

Figure 4: Décomposition d'une polarisation linéaire en deux circulaires.

Ces gures montrent bien que E = E1 +E2 est un vecteur dont l'orientation est dénie mais dont la grandeur oscille de la même manière que celui de la lumière polarisée linéai- rement. En résumé, la lumière issue d'un polariseur est polarisée linéairement. On peut se

représenter une polarisation linéaire comme formée de deux composantes polarisées circu- lairement tournant en sens opposé et en phase. La somme de ces deux composantes est le champ total tel que ressenti localement dans un système. On peut choisir arbitrairement de représenter la situation physique à partir de la polarisation linéaire initiale, ou d'une somme de deux polarisations circulaires. Le résultat physique, qui est l'intensité lumineuse mesurée au détecteur, est indépendant de la représentation choisie pour traiter mathématiquement le problème.

2.4 L'eet Faraday

An de bien comprendre ce phénomène, imaginons une molécule polaire se trouvant dans un champ électrique tournant à une fréquence donnée (pas trop élevée). Une molécule polaire est une molécule qui présente un excès de charges positives d'un côté et un excès de charge négatives de l'autre, et ceci en permanence. Elle forme donc un dipôle électrique permanent.

L'eau est un exemple d'une telle molécule qui s'oriente dans un champ électrique à cause de son dipôle permanent. En tournant, ce champ fait tourner la molécule. Si de plus on intro- duit un champ magnétique parallèle à l'axe de rotation du champ électrique, les hydrogènes qui tournent autour de l'oxygène subiront une force causée par le champ magnétique. C'est la force de Lorentz F = qv×B où v est la vitesse de la charge q et B le champ magné- tique. Cette force ferait subir une contraction ou une dilatation du lien entre l'oxygène et l'hydrogène selon le sens de la rotation du champ électrique (N.B. Toute cette discussion sera reprise sous forme mathématique un peu plus loin). Le champ électrique de la lumière visible tourne cependant à une fréquence très élevée, de l'ordre de 10¹⁴Hz. À une telle fré- quence, les molécules sont globalement incapables de suivre le champ, l'inertie due à leur masse importante ne le permettant pas. Les électrons, de masse beaucoup plus faible, sont cependant en mesure de réagir beaucoup plus rapidement. Par son action sur les électrons, le champ électrique de la lumière peut ainsi polariser n'importe quelle molécule ou atome, même si ces molécules ou atomes n'ont pas de dipôle permanent. Il sut en eet d'imaginer un atome se trouvant dans un champ électrique. Les électrons liés à l'atome se font entrainer par le champ qui étire l'atome. Il devient polarisé, un excès d'électrons d'un côté et un excès de charges positives (le noyau) de l'autre côté. Si le champ électrique tourne, il fera tourner la polarisation induite sur l'atome de façon analogue à ce qui est discuté plus haut dans le cas d'une molécule polaire. En bonne approximation, on peut considérer que le noyau reste xe et que c'est le nuage électronique déformé par le champ qui tourne autour du noyau.

On connait déjà la théorie de Bohr d'après laquelle les électrons se trouvent sur des orbites autour du noyau. Le rayon de ces orbites dépend de la force électrostatique qui s'exerce entre les électrons et le noyau. À cette force, nous en ajoutons une autre, la force de Lorentz créée par le champ magnétique extérieur parallèle à l'axe de rotation du nuage électronique déformé de l'atome (en d'autres mots, le champ magnétique est orienté parallèlement à la direction de propagation de la lumière). Cette force contracte ou dilate le rayon des orbites des électrons soumis au champ électrique des photons, si bien que l'atome ou la molécule apparaissent légèrement diérents selon le sens de rotation du champ électrique relativement au champ magnétique. (On doit se représenter ceci à l'aide de dessins et de la règle de la main droite pour bien comprendre le sens de ces explications). Si les atomes sont diérents, la matière l'est aussi tout comme ses propriétés optiques, en particulier l'indice de réfraction qui

dière d'une substance à une autre. Or, l'indice de réfraction règle la vitesse de propagation de la lumière dans un milieu. La lumière polarisée circulairement à droite ne se propage pas exactement à la même vitesse que celle polarisée à gauche. Les deux composantes se décalent dans l'espace. On verra mathématiquement plus loin que l'eet global, pour une lumière incidente polarisée linéairement, est de faire tourner le plan de polarisation par un angle φtel que :

φ=V LB (2)

où B : est le champ magnétique

L : la longueur parcourue dans la matière soumise au champ magnétique V : une constante (constante de Verdet) qui est caractéristique d'une substance donnée.

φ I

Figure 5: Montage pour observer l'eet Farady.

On appelle eet Faraday cette rotation du plan de polarisation de la lumière par de la matière soumise à un champ magnétique.

3 Partie expérimentale

Attention : Pour appliquer le champ magnétique, vous devez faire circuler un cou- rant de 20 ampères dans la bobine entourant la cellule qui contient la substance voulue. Ce courant ne doit être appliqué que pendant un in- tervalle de temps court (quelques secondes) pour éviter d'endommager la bobine. Vous devrez donc procéder de la façon suivante pour prendre vos mesures :

- on ajuste l'angle du premier polariseur

- on applique un courant de 20 ampères à la bobine

- on mesure rapidement l'intensité lumineuse reçue au photo-détecteur - on remet le courant de la bobine à zéro et on attend une minute pour la

laisser refroidir

- on recommence pour un autre angle

Attention à la lumière émise par la DEL : Éviter de regarder directement la lumière

émise par la DEL car elle contient beaucoup d'énergie dans la région du bleu et cela est dangereux pour votre vision. Les spécications de la DEL se retrouvent également sur le site des T.P..

Éviter de mettre vos doigts sur la surface optique des ltres interférentiels. Ne pas tenter de les nettoyer vous-mêmes.

3.1 Mesure du champ magnétique

À l'aide du gaussmètre, mesurer le champ sur l'axe du solénoïde pour un courant de 20 ampères. Commencer par mesurer le champ au centre du solénoïde puis déplacer graduelle- ment la sonde jusqu'au bout du solénoïde, et ce, à chaque centimètre. Appliquer le courant très peu longtemps à chaque mesure pour éviter de faire surchauer la bobine. Mesurer également la longueur des tubes de quartz et du verre int super lourd.

3.2 Loi de Malus

Il s'agit, dans cette première manipulation, de vérier la loi de Malus à l'aide de l'instru- mentation fournie au laboratoire. L'instrument comprend les éléments suivants : polariseur, analyseur, détecteur au Si, bobine et cellule test.

Note : Utiliser un ltre interférentiel bleu (4880A) pour eectuer vos mesures.˚ Les ltres interférentiels ont une bande passante de 10 nm.

Vous devez commencer par vous familiariser avec les diérentes composantes du mon- tage. Noter que la tension de saturation du détecteur optique (photodiode Si) est d'environ 6 volts.

Retirer d'abord la cellule de l'intérieur de la bobine et laisser la source de courant de la bobine éteinte.

L'angleθ₀(lu sur le support de rotation du polariseur) pour lequel l'axe du polariseur est parallèle à celui de l'analyseur n'est pas connu. On peut déterminerθ0en tournant le polariseur jusqu'à ce que l'intensité reçue au détecteur soit maximale. La position angulaire de ce maximum est toutefois imprécise en raison de la dépendance encos²θ de la loi de Malus.

Noter l'angle du polariseur lorsque l'intensité au détecteur est maximale (appeléeI0).

Noter également la valeur de cette intensité.

Tourner ensuite le polariseur d'un angle positif θ = 10^o, puis ensuite d'un angle négatifθ=−10^o, et à chaque angle, noter l'intensité mesurée. Répéter ces mesures à chaque10^o en évitant d'attendre que la tension (à la sortie du détecteur) se stabilise à chaque mesure. Vous obtiendrez de meilleurs résultats si vous procédez rapidement.

Porter vos résultats sous forme graphique et déterminer θ0 : ceci est la meilleure valeur de la direction de l'axe polarisation du polariseur analyseur que vous pouvez obtenir.

Croiser à 90^o le polariseur avec l'analyseur et vérier l'extinction de la lumière. Elle peut ne pas être complète dû à la lumière parasite de la pièce. Il vous faudra soustraire cette contribution. Est-ce une technique de mesure précise pour la deuxième partie ?

Tracer le graphique approprié qui permet de vérier la loi de Malus et discuter vos résultats.

3.3 Eet Faraday

Il s'agit essentiellement de reprendre la manipulation précédente mais cette fois, en insérant un solide (ou un liquide) à l'intérieur de la bobine séparant les deux polariseurs. Il s'agit d'obtenir la constante V des substances qui seront insérées dans la bobine.

3.3.1 Méthode utilisant un analyseur xe

Pour les deux substances utilisées, quartz et le verre int super lourd, et pour une longueur d'onde de 4880˚A (en utilisant un ltre interférentiel) vous devez :

mesurer la rotation du plan de polarisation due à l'application d'un champ magné- tique, et ce, en traçant un graphique de l'intensité reçue au détecteur en fonction de l'angle du polariseur (en présence du champ magnétique).

déterminer la constante de Verdet et comparer la valeur obtenue à la celle donnée dans les tables (voir site des T.P. dont les données proviennent du Handbook of Chemistry and Physics, 31^stedition). Noter que les constantes de Verdet données dans les tables sont données pour une longueur d'onde précise.

3.3.2 Méthode utilisant un analyseur en rotation

Dans le montage expérimental utilisé, l'analyseur peut tourner car il est xé à l'axe de rotation d'un moteur. Dans le cas où le premier polariseur est xe, et que le second tourne, le signal au détecteur aura l'allure d'une sinusoïde. En appliquant le champ magnétique cette sinusoïde sera déplacée. La rotation du plan de polarisation peut être obtenue très rapidement en mesurant le déplacement relatif (en degrés) de ces deux courbes. L'oscilloscope dont vous disposez vous permet d'eectuer cette opération.

φ

sans champ magnétique

avec champ magnétique

Figure 6: Signaux à l'oscilloscope avec et sans champ magnétique.

Pour le cas du verre de type int super lourd, et pour une longueur d'onde de 4880A˚, vérier que le changement d'angle du plan de polarisation est bien proportionnel au champ magnétique appliqué.

Pour le cas du verre int super lourd seulement, faire la mesure de la constante de Verdet pour le maximum possible de longueurs d'onde et vérier la relationV ∝1/λ² , telle que démontrée dans le complément mathématique.

Note : Les constantes de Verdet sont sur le site des T.P. Demander au moniteur de vous expliquer le contenu du Handbook duquel elles sont tirées. Notez qu'elles sont données pour une longueur d'onde particulière : vous devez donc faire une conversion pour comparer avec les longueurs d'onde que vous avez utilisées.

Annexe A COMPLÉMENT MATHÉMATIQUE

Remarque : La lecture de ce complément est essentielle.

A.1 Rotation de la polarisation : substances optiquement actives

Fresnel fut le premier à supposer que, dans une substance active, la vitesse de propagation d'une onde polarisée circulairement à droite était diérente de celle d'une onde polarisée à gauche, i.e. :

µ_dr 6=µg où µ= c n

substances dextrogyres : µdr > µg ou ndr < ng

substances lévogyres : µ_dr < µ_g ou n_dr > n_g

Une substance est dite optiquement active si en l'absence de champ magnétique elle fait tourner le plan de polarisation d'une lumière qui la traverse. Sans entrer dans les détails microscopiques nous amenant àn_dr6=n_g, voyons comment on peut relier l'angleφ(angle de rotation du plan de polarisation) à ndr etng dans le cadre de la théorie électromagnétique phénoménologique.

Supposons une onde qui se propage selonˆz, le plan de polarisation est donc⊥`aˆz(plan xy).

Le champ électrique Ede l'onde s'écrit :

E=E_xe_x+E_ye_y

Polarisation circulaire droite Polarisation circulaire gauche Ex =E0cosω(t−z/µdr) E_x⁰ =E₀⁰ cosω(t−z/µg) E_y =−E₀sinω(t−z/µ_dr) E_y⁰ =E₀⁰ sinω(t−z/µ_g) En z= 0 on a :

Polarisation circulaire droite Polarisation circulaire gauche E_x =E₀cosωt E_x⁰ =E₀⁰ cosωt

E_y =−E₀sinωt E_y⁰ =E₀⁰ sinωt

circulaire droite circulaire gauche

Figure A-1: Polarisations circulaires droite et gauche (la lumière sort du plan de la feuille).

La polarisation linéaire s'obtient d'une combinaison linéaire avec des poids unitaires pourE etE⁰ (E0=E₀⁰) :

E_tot=E+E⁰ Extot =E0cosω

t− z

µdr

+E0cosω

t− z µg

E_ytot =−E₀sinω

t− z µdr

+E₀sinω

t− z µg

Dans le vide ou dans les substances optiquement inactives, on a µ_dr = µg de sorte que E_ytot = 0et il n'y a pas de rotation du plan de polarisation,E_totdemeure dans la direction ex en tout point de l'espace (pour tout z). Par contre, pourng 6=ndr , on obtient, avec

cosA+ cosB= 2 cos1

2(A+B) cos1

2(A−B) µ_dr = c n_dr

E_xtot =h

2E₀cos ω

2c(n_g−n_dr)zi

·cosω

t−n_g+n_dr 2c z

(A-1) Eytot =

h

−2E₀sin ω

2c(ng−n_dr)z i

·cosω

t−ng+n_dr 2c z

(A-2)

Les facteurs réunis par l'accolade représentent les projections sur les axes x et y de l'ampli- tude de la vibration résultante.

Les équations (A-1) et (A-2) montrent queExtot etEytot sont en phase : il n'y a donc pas de déphasage entre les composantes x et y deE_totde sorte queE_tot=E_xtot+E_ytot représente une onde polarisée linéairement. On voit aussi que la direction de E_tot varie suivant e_z. Après un parcours d'une distance ∆z =L dans le milieu actif, le plan de polarisation aura tourné d'un angleφ:

φ= ω

2c(ng−n_dr)L (A-3)

A.2 Eet Faraday

L'application d'un champ magnétique B externe dans la direction de propagation de la lumière rend possible l'observation d'une rotation du plan de polarisation (RPP) par des substances optiquement inactives. L'application de ce champ introduit articiellement une diérence entre ng etndr.

L'angleφest proportionnel à l'intensité du champ magnétique|B|et à la longueur L du trajet dans la substance soumise au champ magnétique :

φ=V BL (A-4)

où V est la constante de Verdet, en général très faible, qui dépend de la substance. Un calcul de(n_g−n_dr)nous permettra d'obtenir une équation pour la constante de Verdet par comparaison des équations (A-3) et (A-4).

Description microscopique de l'interaction entre le champ magnétique ap- pliqué et la substance optiquement inactive

On considère les électrons de la substance étudiée comme étant liés par des forces élastiques sur l'atome ou la molécule : la constante élastique correspondante a une grandeur k . ω0 =

qk

m est la fréquence propre de l'électron de la molécule. Autrement dit, pour exciter l'électron d'un niveau à un autre (absorption de la lumière), il faut utiliser de la lumière d'énergie ~ω₀.

La force excitatrice est la force de Lorentz (en C.G.S.) : F=q

E+v c ×B

oùEest le champ électrique de l'onde lumineuse.

On a négligé le champ magnétique de la lumière qui est beaucoup plus petit que le champ appliqué B.

Lorsque nous travaillons dans une gamme d'énergie où la substance étudiée est transparente, l'absorption de lumière est presque nulle : dans ce modèle classique, nous pouvons négliger l'amortissement des oscillations. L'équation diérentielle décrivant le mouvement oscillatoire de l'électron s'écrit alors :

m¨r+kr=q

E+ r˙ c ×B

(A-5) avec : Bez etE,r,˙ ¨retrsont dans le plan xy.

Si on décompose l'équation (A-5) suivant les composantes x et y, on obtient avec : B=Bˆz r=xxˆ+yˆy r˙ = ˙xˆx+ ˙yˆy ¨r= ¨xˆx+ ¨yyˆ

˙

r×B=

ˆx ˆy ˆz

˙ x y˙ ˙0 0 0 B

= ˙yBˆx−xBˆ˙ y

¨ x− q

mcyB˙ +ω²₀x= q

mEx (A-6)

¨ y− q

mcxB˙ +ω₀²y= q

mEy (A-7)

Ces équations étant plus faciles à solutionner dans le plan complexe, on fait (A-6) + i (A-7) d²

dt² [x+iy] +iqB mc

d

dt[x+iy] +ω₀²[x+iy] = q

m[Ex+iEy] (A-8) Dans un plan délimité par une valeur de z donnée, par commodité z = 0, le champ E a la forme suivante :

±iωt

d'où :

Ex+iEy =Eoe^±iωt + :rotation à gauche - : rotation à droite (A-9) Le champ électrique appliqué cause une polarisation de la molécule à la même fréquence que celle de l'onde. On cherche donc une solution de la forme :

x+iy = r0e^±iωt d

dt(x+iy) = ±iωr₀e^±iωt (A-10)

d²

dt² (x+iy) = −ω²r²₀e^±iωt Portons (A-9) et (A-10) dans (A-8) et isolons r₀ :

r₀ = qE₀/m

ω₀²−ω²∓^qωB_mc (A-11)

A.3 Polarisation du milieu

Soit N la densité d'atomes ou de molécules (en m^-3), la polarisation par unité de volume s'écrit donc :

|P|=N q|r|=N qr0 = N q²E₀/m

ω²₀−ω²∓^qωB_mc (A-12) Par dénition on a :n² =εr= 1 + 4π^|P|_|E|

d'où :

n²_∓= 1 + 4πN q²/m

ω₀²−ω²∓^qωB_mc avec - : gauche + : droite (A-13) On obtient :

n²_g−n²_dr = 4πN q² m

(2qωB/(mc)) ω²₀−ω²2

−

qωB mc

2

= 2 (n_g−n_dr)(n_g+n_dr)

2 (A-14)

où n= ^(ng+n₂ ^dr) est un indice de réfraction moyen. Finalement, on trouve : n_g−n_dr = 4πN q³

nm²c

ωB ω₀²−ω²2

−

qωB mc

2 (A-15)

Par des considérations d'ordre de grandeur (discutez-en avec le moniteur), ω²₀−ω²2

≈10²⁰h

qωB mc

i2

, on néglige donc le terme

qωB mc

2

. On a donc : ng−n_dr ≈ 4πN q³

nm²c × ωB

ω²₀−ω²2 (A-16)

Comme on a (A-3) que :

φ= ω

2c(n_g−n_dr)L=V BL (A-17)

De ces équations on tire :

V = 2πN q³

nm²c × ω²

ω₀²−ω²2 (A-18)

Les résonances électroniques étant en général situées dans l'ultraviolet (bandes d'absorption) pour les isolants, et les valeurs de ω étant dans le visible, on peut considérerω₀ω d'où :

ω²

ω₀²−ω²2 ≈ ω²

ω₀⁴ ∝ω² ∝ 1

λ² (A-19)

On a donc dans ce casV ∝ _λ¹₂, de sorte queφ (rouge) <φ(bleu). De plus, commeV ∝N, les eets ne sont mesurés que dans les liquides et les solides, les densités étant beaucoup trop faibles dans les gaz.

Note : Pour convertir les équations en M.K.S., on doit remplacer : 4π par 1

ε0 et B par Bc 1tesla= 10⁴gauss