1-Les nombres complexes

(1)

1.1 

^{7 3}

 

^{2 4}



^{7 3} ^{2 4}

9 7

i i i i

i

       

 

1.2   

²

 

2

2 4 2 4 2 4

4 8 8 16 4 8 8 16

12 16

i i i

i i

i

   

   

   

  

1.3. 

^{3 5}



^{3 5}



^{9 15 15} ²⁵ ²

9 15 15 25 34

i i i i i

i i

     

   



1.4. 

^{5 2}



⁵ ² ²

5 2 2 5

i i i i

i i

   

 

  

1.5.   

²

  

2

1 1 . 1

1

1 1

2

i i i

i i i i i i

   

   

   



(2)

  

⁴

 

²



²

2

1 1 1

2 2 4

4

i i i

i i i

    

 



 

1.6.

2 2

11 2 11 2 4 3

4 3 4 3 4 3

44 33 8 6 16 12 12 9

50 25 25 2

i i i

i i

  

 

  

  

   

  

   

 

1.7.

2 2

52,5 12,5 52,5 12,5 3

3 3 3

157,5 52,5 37,5 12,5 9 3 3

157,5 52,5 37,5 12,5 9 3 3 1

170 15 10 17 1,5

i i i

i i i

i i

    

  

  

   

  

   

 

1.8.

(3)

2

101 101 10

10 10 10

1010 101 100 10 10

1010 101 100 10 10 1 1010 101

101 10

i

i i i

i

i i i

i

i i

  

  

 

  

 

  

 

1.9

1 2



3 4

 

5 2



2 6

z z i i

i

    

  



1 2

 

²

 

2

2 6 2 6

4 12 12 36 4 24 36

32 24

z z i i

i i i

i i

     

   

  

1.10

1 2

2 2

7 26

29 29

3 4 5 2 3 4 5 2 5 2 5 2

15 6 20 8 25 10 10 4

15 20 6 8 25 10 10 4 7 26

29

z i

i i

i i i

i i

 



 

 

 

  

   

  

   

 

1.11.

(4)

  

2 1

2

3 4 3 4 9 12 12 16 9 12 12 16

7 24

z i i

i i i

i i

i

  

   

   

  

2 1

2

7 24

625 625

1 1

7 24

1 7 24

7 24 7 24 7 24 49 96 96 576

7 24 49 96 96 576

7 24 1635

z i

i

i i

i

i i i

i

i i

i

 i

 

  

   

  

  

  

  

 

 

1.12.

2 1

2 2

7 13

50 25

5 2

2 6 8

5 2 6 8 6 8 6 8 30 40 12 16 36 48 48 64 30 40 12 16 36 48 48 64 14 52

100

z i

i i

i i i

i i

 



 

 

 

  

   

  

   

 

1.13.

(5)

2

2 1

5 5

1 1 2

2 2 2

2 4 2 2

2

4 2 2 1 2

5

i

i i i

i

i i i

i

i i

  

  

 

  

 

  

 

  La partie réelle est donc 2/5.

1.14.

2 2

2 1

5 5

2 2 3 4

3 4 3 4 3 4 6 8 3 4 9 12 12 16

6 8 3 4 9 12 12 16 10 5

25

i i i

i i

    

  

  

   

  

   

 

  La partie imaginaire est donc -1/5.

1.15.   

²

 

2

1 1 1

1

1 1

2

i i i

i i i i i i

   

   

   



(6)

 

²

2 2

6 4 13 13

1 2

3 2 3 2

2 3 2

3 2 3 2 6 4 9 6 6 4

6 4 9 12 12 4 4 6

13

i i

i i i

i

i i

 

 

  

 

 

  

 

  

 

  La partie réelle est donc 4/13.

1.16.

2 2

11 2

25 25

2 2 4 3

4 3 4 3 4 3 8 6 4 3 16 12 12 9

8 6 4 3 16 12 12 9 11 2

25

i i i

i i

    

  

  

   

  

   

 

  La partie imaginaire est donc 2/25.

2.1.

Le complexe conjugué est



¹^{  }ⁱ



¹ ⁱ

2.2.  

²ⁱ ^{ }²ⁱ

2.3.

(7)



^{ }^{5 7}ⁱ



^{  }^{5 7}ⁱ

2.4.  

⁶ ^⁶

2.5.

2 2

1 1 1

2

 i 



 

²

1 2 2

2

i 



2.6.

2

3 2 3

2 0 2

3 2

i  

    



2.7.   

²



²

cos sin cos sin

1

i     



2.8.  

²

6 8 62 8

100 10

 i   



(8)

2 2

1 4 1 4

4 4

1 4 4 1 1 i i

i i

   

 

 





2.10.  

2 2

1 z z

z z

x iy x iy

x y



 



 

 



2.11.    

   

 

2 2

2 2 2 2

2 2

3 4 3 4

3 4 3 4 3 4

3 4 3 4

3 4

3 4 3 4

3 4

5 5 5 5 i i

i i

i

i i

i

 

  

  

 

  

 

  

  

 



2.12.

(9)

 

2 2 2

2

1 1

7 7

1 7

1 49

i i

 



  

  

 

2.13.

La distance est

   

² ²

1 2 4 5

3 7

58

d i i

i

   

  

   



2.14.

La distance est

   

² ²

5 2 5

5 3

34

d i i

i

   

  

   



2.15.

La distance est

   

2 2

10 8 5

18 4 18 4

340

d i i

i

    

 

 



(10)

   

 

²

2

1 3 2

4 2

20

d i

i

   

 

  



3.1.

tan tan 2

2 3

4 y

 x



 







3.2.

tan tan 0

4 y

 x



 







3.3.

23

tan tan 0

2 y

 x



 





 

3.4.

(11)

tan tan 3

1 3

y

 x



 



 

3.5.

Le module est

2 2

1 1 1

2

r z

i



 

 L’argument est

tan tan 1

1 4

y

 x



 



 La forme polaire est donc



4 4



2 cos^ isin^

3.6.

Le module est

 

² ²

4 4

4 2 r z

i



  



(12)

tan tan 4

4 3

4 y

 x



 







³4 ³4



4 2 cos ^ isin ^

3.7.

Le module est

2 2

4 0 4 4

r z

i



 

tan tan 4

0 2

y

 x



 





2 2



3.8.

Le module est

 

² ²

7

7 0

7 r z

 

  



(13)

L’argument est

tan tan 0

7 y

 x



 





 

7 cos isin

3.9.

Le module du numérateur est

2 2

r z

i



 

 Le module du dénominateur est

2 2

1 1 1

2

r z

i



 

 

 Le module de la division est donc

1 2

2 2 2 2 r

r  

L’argument du numérateur est

(14)

tan tan 2

2 4

y

 x



 



 L’argument du dénominateur est

tan tan 1

1 4

y

 x



 



 

  L’argument de la division est donc

2 1

4 4

2

  

 



 

  

 La forme polaire de la division est donc



2 2



3.10.

Le module du numérateur est

 

²

2

0 2

2 r z

i



 

 Le module du dénominateur est

(15)

2 2

3 3

3 2

r z

i



 

1 2

2 1

3 2 3 r

r  

L’argument du numérateur est

tan tan 2

0 2

y

 x



 



 L’argument du dénominateur est

tan tan 3

3 4

y

 x



 



 L’argument de la division est donc

2 1

2 4

4

  

 



 

 La forme polaire de la division est donc

(16)

3.11.

2

cos 4cos 0 x r







2

sin 4sin 4 y r



 



 La forme cartésienne est donc

4i

3.12.

4

cos 8 cos 2 x r







4

sin 8 sin 2 y r







2 2i

3.13.

cos cos

x r 

 





 

(17)

sin sin 0

y r 

 







3.14.

3 4

cos 50 cos 5 x r







 

34

sin 50 sin 5 y r







 5 5i

4.1.

Le module du nombre de départ est

 

²

4 4 3 42 4 3

8

 i  

 et son argument est

tan tan 4 3

4 3

y

 x



 



(18)

85 32768 r  L’argument du nombre exposant 5 est

5 3

  

Le nombre exposant 5 est donc



⁵3 ⁵3



32768 cos ^ isin ^ Sous forme polaire, ce nombre est

16384 16384 3i

4.2.  

² ²

2 3 2 2 3 2

4

 i  

tan tan 2

2 3 6

y

 x



 



 Le module du nombre exposant 6 est donc

46 4096 r   L’argument du nombre exposant 6 est

6 6

    

Le nombre exposant 6 est donc

 

4096 cosisin

(19)

Sous forme polaire, ce nombre est

4096

4.3.

Le module du numérateur de départ est

2 2

5 5 5 5

5 2

 i  

tan tan 5

5 4

y

 x



 



 Le module du numérateur de départ est

 

² ²

10 3 10 10 3 10

20

 i  

tan tan 10

10 3 6

y

 x



 



Le module de la division est donc

5 2 2

20 4

r 

L’argument de la division est

(20)

Le module de la division exposant 6 est donc 2 6 1

4 512

r  

  

L’argument de la division exposant 6 est 6 12 2

 

    La division exposant 6 est donc

1 cos sin 512_ 2 i 2_

  

 

Sous forme polaire, ce nombre est

512 i

4.4.  

² ²

6 3 6 6 3 6

12

 i  

tan tan 6

6 3 6

y

 x



 



2 2

6 6 6 6

6 2

 i  

(21)

tan tan 6

6 4

y

 x



 



12 2

r 6 2  L’argument de la division est

6 4 12

  

     Le module de la division exposant -3 est donc

 

² ³ ₄²

r  ^ 

L’argument de la division exposant -3 est

3 12 4

 

      La division exposant -3 est donc

2 cos sin

4  4 i 4 Sous forme polaire, ce nombre est

1 1 4 4 i

4.5.

(22)

et son argument est

tan tan 1

0 2

y

 x



 



 Le module de la racine est donc

1 1

r 

Les arguments de la racine sont 1

2 2 4

1 5

2 2 2 4

  

 

 

  

 

    Les valeurs de la racine sont donc

 

4 4

5 5

4 4

1 cos sin 1 cos sin

i i

 



 Sous forme polaire, ces nombres sont

2 2

i i



 

4.6.  

²

02 1 1

 i  

(23)

tan tan 1

0 2

y

 x



 



 

  Le module de la racine est donc

1 1

r 

Les arguments de la racine sont 1

2 2 4

1 3

2 2 2 4

 



 

 

   

 

    

 

Les valeurs de la racine sont donc

 

4 4

3 3

4 4

1 cos sin 1 cos sin

i i

 

  

2 2

i i



 

4.7.  

² ²

4 4 0

4

   

tan y

  x

(24)

Le module de la racine est donc

4 2

r 

Les arguments de la racine sont

 

1

2 2

1 3

2 2 2

  

   

  

    Les valeurs de la racine sont donc

 

2 2

3 3

2 2

2 cos sin 2 cos sin

i i

 



2 2

i

 i

4.8.  

²

1 3 12 3

2

 i  

tan tan 3

1 3

y

 x



 





 

2 r Les arguments de la racine sont

(25)

1

2 3 6

1 5

2 3 2 6

 



 

 

   

 

     Les valeurs de la racine sont donc

 

6 6

5 5

6 6

2 cos sin 2 cos sin

i i

 

  

6 2

2 2

6 2

2 2

i i



 

4.9.  

² ²

1 1 0

1

   

tan tan 0

1 y

 x



 



 

1 1

r 

(26)

 

1

4 4

1 3

4 2 4

1 5

4 4 4

1 7

4 6 4

  

   

  

   

 

4 4

3 3

4 4

5 5

4 4

7 7

4 4

1 cos sin 1 cos sin 1 cos sin 1 cos sin

i i i i

 



2 2

i i i i



 

 



4.10.

2 2

3 4 3 4

5

 i  

tan tan 4

3 0,9273

y

 x





(27)

 

1 0,9273 0, 4636 2

1 0,9273 2 3,6052 2



 

  

   

   

 

   

 

5 cos 0, 4636 sin 0, 4636 5 cos 3,6052 sin 3,6052

i i



2 2

i i

 



4.11.

2 2

5 12 5 12

13

  i  

tan tan 12

5 1,9659 y

 x







(28)

 

1 1,9659 0,9828 2

1 1,9659 2 4,1244 2



 

  

   

   

 

   

 

5 cos 0,9828 sin 0,9828 5 cos 4,1244 sin 4,1244

i i



2 3 2 3

i i



 

4.12.    

² ²

8 6 8 6

10

  i    

tan tan 6

8 3,7851

y

 x









 

1 3,7851 1,8925 2

1 3,7851 2 5,0341 2



 

  

   

(29)

   

 

   

 

10 cos 1,8925 sin 1,8925 10 cos 5,0341 sin 5,0341

i i



1 3 1 3

i i

 



4.13.

2 2

1 1 1

2

 i 

tan tan 1

1 4

y

 x



 



6 2 r Les arguments de la racine sont

1

3 4 12

1 3

3 4 2 4

1 17

3 4 4 12

 



 

 

 

 

  

 

   

 

   

 

(30)

 

6

12 12

6 3 3

4 4

6 17 17

12 12

2 cos sin 2 cos sin 2 cos sin

i i i

 



4.14.  

² ²

1 1 0

1

   

tan tan 0

1 y

 x



 



 

51 1

r 

 

1

5 5

1 3

5 2 5

1 4

5

1 7

5 6 5

1 9

5 8 5

  

   

  

   

(31)

 

5 5

3 3

5 5

7 7

5 5

9 9

5 5

1 cos sin 1 cos sin 1 cos sin 1 cos sin 1 cos sin

i i i i i

 



4.15.  

² ²

1 1 0

1

   

tan tan 0

1 y

 x



 



 

61 1

r 

 

1

6 6

1 2

6 2

1 5

6 4 6

1 7

6 6 6

1 3

6 8 2

1 11

10

  

   

  

   

(32)

 

6 6

2 2

5 5

6 6

7 7

6 6

3 3

2 2

11 11

6 6

1 cos sin 1 cos sin 1 cos sin 1 cos sin 1 cos sin 1 cos sin

i i i i i i

 



4.16.

2 2

1 1 0

1

 

tan tan 0

1 0

y

 x





81 1

r 

(33)

 

1 0 0 8

1 0 2

8 4

1 0 4

8 2

1 3

8 0 6 4

1 0 8 8

1 5

8 0 10 4

1 3

8 0 12 2

1 7

8 0 14 4



  

  

   

 

4 4

2 2

3 3

4 4

5 5

4 4

3 3

2 2

7 7

4 4

1 cos 0 sin 0 1 cos sin 1 cos sin 1 cos sin 1 cos sin 1 cos sin 1 cos sin 1 cos sin

i i i i i i i i

 



4.17.

Selon la formule de l’équation quadratique, la solution est

(34)

 

2

4 2

1 1 4 1 1

2

1 1 4 4

2

1 3 4

2

b b ac

z a

z i z i z i

  



     



   



   



On a alors une racine à faire. Le module du nombre dans la racine est

 

² ²

3 4 3 4

5

  i   

tan tan 4

3 2, 2143

y

 x





 

 

1 2, 2143 1,1071 2

1 2, 2143 2 4, 2487 2



 

  

   

 

5 cos1,1071 sin1,1071 5 cos 4, 2487 sin 4, 2487

i i



 En cartésien, ces racines sont

(35)

1 2 1 2

i i



 

La première solution de l’équation quadratique est donc

1 3 4

2 1 1 2

2 z i

i i

   



  



La deuxième solution de l’équation quadratique est donc

1 3 4

2

1 1 2

2 1 z i

i i

   



   



   Les solutions sont donc i et –1 – i.

4.18.    

 

2

4 2

3 3 4 1 3

2

3 9 12 4

2

3 3 4

2

b b ac

z a

z i z i z i

  



     



  



  



 

² ²

3 4i 3 4

    

(36)

tan tan 4

3 2, 2143

y

 x





 

 

1 2, 2143 1,1071 2

1 2, 2143 2 4, 2487 2



 

  

   

 

5 cos1,1071 sin1,1071 5 cos 4, 2487 sin 4, 2487

i i



1 2 1 2

i i



 

3 3 4

2 3 1 2

2 2 z i

i i

  



  

 

(37)

3 3 4 2

3 1 2

2 1 z i

i i

  



  



  Les solutions sont donc 2 + i et 1 – i.

4.19.    

 

2

4 2

5 5 4 1 8

2

5 25 5 5 32 4

2

5 25 5 5 1 32 4

2

5 24 10 32 4

2

5 8 6

2

b b ac

z a

i i i

z

i i i i i

z

i i i i

z

i i i

z

i i

z

  



       



      



      



    



   



 

² ²

8 6 8 6

10

  i   

tan tan 6

8 2, 4981

y

 x









(38)

 

1 2, 4981 1, 2490 2

1 2, 4981 2 4,3906 2



 

  

   

 

10 cos1, 2490 sin1, 2490 10 cos 4,3906 sin 4,3906

i i



1 3 1 3

i i



 

5 8 6

2

5 1 3

2 3 2

i i

z

i i

i

   



  



 

5 8 6

2

5 1 3

2 2

i i

z

i i

i

   



   



  Les solutions sont donc 3 + 2i et 2 – i.

4.20.

On va poser u = z². L’équation devient alors u² - 3(1 + 2i)u = 8 - 6i

(39)

Selon la formule de l’équation quadratique, la solution de cette équation est

   

 

2

4 2

3 6 3 6 4 1 8 6

2

3 6 9 18 18 36 32 24

2

3 6 9 18 18 36 32 24

2

3 6 27 36 32 24

2

3 6 5 12

2

b b ac

u a

i i i

i i i i i

i i i i

i i i

i i

  



        



       



       



      



  



2 2

5 12 5 12

13

 i  

tan tan 12

5 1,1760

y

 x





 

1 1,1760 0,5880 2

1 1,1760 2 3,7296



 

  

   

(40)

 

13 cos 0,5880 sin 0,5880 13 cos 3,7296 sin 3,7296

i i



3 2 3 2

i i



 

3 6 5 12

2

3 6 3 2

2 3 4

i i

u

i i

i

  



  



 

3 6 5 12

2

3 6 3 2

2 2

i i

z

i i

i

  



   



On a maintenant les valeurs de u (qui est z²). Il reste à trouver les valeurs de z avec z u

On va premièrement faire la racine de 3 + 4i. Le module du nombre dans la racine est

2 2

3 4 3 4

5

 i  

tan tan 4

3 0,9273

y

 x





(41)

 

1 0,9273 0, 4636 2

1 0,9273 2 3,6052 2



 

  

   

 

5 cos 0, 4636 sin 0, 4636 5 cos 3,6052 sin 3,6052

i i



2 2

i i



  Ce sont nos deux premières réponses.

On va premièrement faire la racine de 2i. Le module du nombre dans la racine est

2 2

2 0 2

2

i  

tan tan 2

0 2

y

 x



 



(42)

1

2 2 4

1 5

2 2 2 4

  

 

 

  

 

    Les valeurs de la racine sont donc

 

4 4

5 5

4 4

2 cos sin 2 cos sin

i i

 



1 1

i i



 

Ce sont nos troisième et quatrième réponses. Les 4 réponses sont donc 2

2 1

1 i

i i

i



 



 

4.21.

On va premièrement trouver la position des points dans le plan complexe en trouvant les valeurs de la 5^e racine de 1. Le module du nombre de départ est

2 2

1 1 0

1

 

tan tan 0

1 0

y

 x





51 1

r 

(43)

 

1 0 0 5

1 2

5 0 2 5

1 4

5 0 4 5

1 6

5 0 6 5

1 8

5 0 8 5



  

  

   

 

2 2

5 5

4 4

5 5

6 6

5 5

8 8

5 5

1 cos 0 sin 0 1 cos sin 1 cos sin 1 cos sin 1 cos sin

i i i i i

 



Pour la droite 1, on cherche la distance entre la 1^re racine et la 2^e racine. La distance est

   

 

   

2 2

5 5

2 2

5 5

2 2

5 5

2 2

5 5

cos 0 sin 0 cos sin

1 cos sin

1,17557

d i i

i i

 

   

  

  

  



Pour la droite 2, on cherche la distance entre la 2^e racine et la 4^e racine. La distance est

(44)

   

2 2 6 6

5 5 5 5

2 6 2 6

5 5 5 5

2 2

2 6 2 6

5 5 5 5

cos sin cos sin

cos cos sin sin

1,90211

d i i

i

   

   

   



4.22.

On va former le polygone avec les n solutions de la racine n-ième de 1 (qui forment un polygone sur le cercle de rayon 1). On notera ces racines a0 (qui est 1), a1, a2, a3

et ainsi de suite jusqu’à an-1.

Nos droites vont toutes partir de la première racine qui est à (1,0). La longueur de la droite allant de ce point à un autre point du polygone est

  

1z_n  1a_n 1a_n Le produit de toutes ces longueurs de droite est



1 1



1 1



1 2



1 2

 

... 1 _n 2



1 _n 2

 

... 1 _n 1



1 _n 1



P a a a a a _ a _ a _ a _ Mais, il y a symétrie dans ce polygone. La figure au-dessus de l’axe des x est identique à la figure sous l’axe des x. cela signifie que

1 1

2 2

3 3

...

n n n

a a





Le produit est donc

          

       

     

1 1 2 2 2 2 1 1

2 2 2 2

1 2 2

1 1 1 1 ... 1 1 ... 1 1

1 1 ... 1 1

n n n n

n n

P a a a a a a a a

a a a a

   



        

    

On sait que les valeurs de a sont les racines de 1. Or, l’équation suivante

n 1 0 z   peut être factorisé et être écrit sous la forme

(45)



0



1



2

 

2



1



1 ...

n

n n

z   z a z a z a z a _ z a _ Puisque a0 est 1, on a

 

1



2

 

2



1



1 1 ...

n

n n

z   z z a z a z a _ z a _ Cela veut dire que



1



2

 

2



1



1 ...

1

n

n n

z z a z a z a z a

z ^ ^

     

 Ainsi, notre produit est

     

1 2 2

1

1 1 ... 1 1

lim ...

lim 1 1

n n

z n z

P a a a a

z a z a z a z a

z z



 



    

 

 Cette limite est

1 1 1

lim 1 1 lim 1

n z

P z

z n z n







 



 



5.1.  

1 1 0

1 1

cos 0 sin 0 2,71828

e e i

e i

e

 



5.2.

^e³^ⁱ^ ^^e³



^cos^ ^ⁱ^sin^



(46)

5.3.    

 

0

0 cos 1 sin 1 1 0,5403 0,8415 0,5403 0,8415

i i

e e

e i

i i

  

   

 

5.4.    

 

1 3

1/2 3 3

2 2 cos 2 sin 2

0,6065 0,0707 0,9975 0,0429 0,6050

e i e i

i i

    

 

5.5.      

 

2 3 2 cos 3 sin 3 0,1353 1 0

0,1353

e i e i

i

  

      

  

 

5.6.      

 

9

0 2 0 9 9

2 2

cos sin

1 0

e i e i

i i

  

  

 



5.7.      

 

5 cos 5 sin 5

15,1543 1 0 15,1543

e i e

e e i

i

  

  

  

 

5.8.      

 

/2 1 1

2 2

cos sin

23,1406 0,87758 0, 47942 20,3079 11,0942

e i e i

i i

   

 

(47)

5.9.    

 

7

1 4 1 7 7

4 4

2 2

cos sin

0,36788

0, 26013 0, 26013

e i e i

i i

  

      

 

5.10.    

 

/2 /2 /2

/2

2 2

cos sin

z x iy

y y

x

e e

e i

  





   

La partie réelle est donc

 

/2

cos 2^y

e^x

et la partie imaginaire est

 

/2

sin 2^y

e^x



5.11.    

 

2 2 2

2 cos 2 sin 2

z x y

x

e e

e y i y

  

 

 

2 ^xcos 2

e ^ y

 

2 ^xsin 2

e ^ y

5.12.

  

2

2 2

x iy x iy z

x ixy ixy y

e e

e

 

  



(48)

 

2 2

cos 2

x y

e ^ xy

 

2 2

sin 2

x y

e ^ xy

5.13.

    

 

   

 

1 1

cos sin

i z i x iy

x iy ix y x y i x y x y

e e

e x y i x y

  

  

  





   

 

x ycos

e ^ x y et la partie imaginaire est

 

x ysin

e ^ x y

5.14.

Le module est

 

² ²

1

1 1

2

r z

i



  

(49)

tan tan 1

1 3

4 y

 x



 



 



Ainsi, 1 – i en forme polaire est

34

2e^ⁱ

5.15.

Le module est

 

²

2

6 8

10 r z

i



 

  

tan tan 8

6 0,9273

y

 x





 

Ainsi, 1 – i en forme polaire est

0,9273

10e^ ⁱ

5.16.

Transformons premièrement i en forme polaire. Le module est r z

i



(50)

L’argument est

tan tan 1

0 2

y

 x



 



 Si on fait la racine, le module est

1 1 et les arguments sont

1

2 2 4

1 5

2 2 2 4

  

 

 

  

 

   

Ainsi, i en forme polaire est

4ⁱ et 54ⁱ

e^ e^

6.1.

Le module est

 

² ²

7

7 0

7 r z

 

  

tan tan 0

7 y

 x



 





  La valeur principale du logarithme est donc