Solution de Paul Voyer

I133. L'arbre qui cache l'horizon

Dans une grande forêt de résineux sur terrain plat, Zig est assis sur la souche d’un arbre prise pour origine. Toute la forêt est plantée d’arbres assimilés à des colonnes cylindriques dont les axes

passent par les points de coordonnées entières exprimées en mètres : (5i,5j) avec i et j entiers relatifs quelconques, i ou j non nul. Dans le quadrant Nord-Est y compris les demi-axes Ox et Oy, les arbres sont des douglas de diamètre 40 centimètres. Dans le reste de la forêt les arbres sont des mélèzes plus jeunes.

Q1 Démontrer que quel que soit le quadrant où Zig porte son regard, l’horizon est bouché.

Q2 Déterminer les limites de cet horizon dans le quadrant Nord-Est.

Q3 Un capteur de distances indique à Zig que le mélèze le plus éloigné lui bouchant l’horizon est à 475 mètres. Calculer le diamètre des mélèzes.

Solution de Paul Voyer

Q1

Les seules droites ne touchant aucun mélèze sont comprises entre deux rangées régulières infinies de mélèzes parallèles.

Toute droite passant par l'origine échappe à cette description.

Q2

L'arbre le plus éloigné visible a pour coordonnées (90, 85).

La droite de visée évite de très peu les arbres (5, 5) et V(85, 80).

Q3

L'arbre le plus éloigné visible a pour coordonnées 340, 335 (distance = 477m-rayon).

La droite de visée passe peu au-dessus de l'arbre (335, 330) et peu au-dessous de l'arbre (5,5)

La droite de visée est très proche de celles joignant les points O à (5+x, 5-x) et O à (335-x, 330+x), avec x =

2 r .

On doit donc avoir :

x x x

x



 





335 330 5

5

(5-x)(335-x) = (5+x)(330+x)

1675-340x+x² = 1650+335x+x²

25 = 675x

x = 25/675

r = 0 . 0524 m 675

2

25  =5.24 cm.

d = 10.5 cm