H 119 : Les colliers de perles
Il faut placer les nombres de 1 à n en ligne ou sur une circonférence de telle sorte que la somme de 2 nombres consécutifs soit égale à un carré.
Il en résulte que tout nombre, sauf les deux extrémités dans la cas de la ligne, participe à 2 additions donnant un carré, avec son prédécesseur et son successeur.
Dans la table d’addition des nombres de 1 à n (en neutralisant la diagonale, puisque l’on ne prend en compte que des sommes de nombres distincts) il faut donc que l’on trouve au moins deux carrés dans chaque colonne (sauf deux pour la ligne).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
1 4 9 16 25
2 9 16 25
3 9 16 25
4 9 16 25
5 9 16 25 36
6 9 16 25 36
7 9 16 25 36
8 9 25 36
9 16 25 36
10 16 25 36
11 16 25 36
12 16 25 36
13 16 25 36
14 16 25 36
15 16 25 36
16 25 36
17 25 36
18 25 49
19 25 36 49
20 25 36 49
21 25 36 49
22 25 36 49
23 25 36 49
24 25 36 49
25 36 49
26 36 49
27 36 49
28 36 49
29 36 49
30 36 49
31 36 49
Il est facile de voir qu’il faut aller jusqu’à 15 dans le cas de la ligne (avec 8 et 9 comme extrémités), et jusqu’à 31 pour la circonférence.
Pour la ligne, en partant de l’extrémité 9, on peut trouver sans ambiguïté la séquence : 9,7,2,14,11,5,4,12,13,3,6,10,15,1,8 qui répond à la question pour le collier ouvert.
Peut-on trouver un collier répondant à la question pour le collier fermé avec n=31 ?
Remarquons déjà que dans ce cas, il y a un certain nombre de colonnes où il y a exactement 2 carrés : ce sont les colonnes 16, 17, 18, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31 : pour ces nombres on peut donc déterminer les deux nombres qui les encadrent : on aura donc les séquences (9,16,20) (8,17,19) (7,18,31) (11,25,24) (10,26,23) (9,27,22) (8,28,21) (7,29,20) (6,30,19) (5,31,18) ; les nombres en gras apparaissent dans deux séquences, et se concatènent pour donner les chaînettes suivantes : (5,31,18,7,29,20,16,9,27,22) (6,30,19,17,8,28,21) (11,25,24) (10,26,23).
Seuls 8 nombres ne figurent pas dans ces séquences : 1, 2, 3, 4, 12, 13, 14, 15. Les sommes restantes ne peuvent impliquer que ces nombres et ceux formant les bouts de chaînettes : (5, 6, 10,11, 21, 22, 23, 24)
En y regardant de plus près, il n’y a que deux possibilités pour 2, donc une nouvelle séquence (14, 2, 23) qui se concatène pour donner (10,26,23,2,14).
De même, 13 n’a alors plus que deux possibilités, d’où la nouvelle séquence (3,13,12).
Nous avons alors 5 chaînettes : (5,31,18,7,29,20,16,9,27,22) (6,30,19,17,8,28,21) (10,26,23,2,14) (11,25,24) (3,13,12) et trois maillons libres 1,4,15. La matrice ci-après montre les possibilités de liaisons, sachant que chacune des 10 premières lignes (ou colonnes) ne doit comporter qu’un lien, et les 3 dernières deux.
5 22 6 21 10 14 11 24 3 12 1 4 15
5 x x
22 x x
6 x x
21 x x
10 x x
14 x x
11 x x
24 x x
3 x x x
12 x x
1 x x x
4 x x x
15 x x x
On peut alors tester des hypothèses, en remplaçant dans cette matrice x par 1 si le lien existe et 0 sinon.
Par exemple si 4 est entre 5 et 21 (4,5)=1 (4,21)=1 (4,12)=0 mais alors (12,24)=1 (5,11)=0 (21,15)=0 puis (15,10)=1 (15,1)=1 (24,1)=0 (1,3)=1 (3,6)=0 et (6,10)=1 : on arrive à une impossibilité puisque (15,10)=(6,10)=1. On arrive au même résultat pour les deux autres possibilités pour 4…
Donc pas de collier pour n=31 !
Pour n=32, figurent exactement 2 carrés dans les colonnes 16, 18, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31 et 32.
D’où les séquences (9,16,20) (7,18,31) (11,25,24) (10,26,23) (9,27,22) (8,28,21) (7,29,20) (6,30,19) (5,31,18) (4,32,17) et après concaténation (5,31,18,7,29,20,16,9,27,22) (11,25,24) (10,26,23) (8,28,21) (6,30,19) (4,32,17) et les maillons libres 1, 2, 3, 12, 13, 14, 15. Mais il n’y a que deux possibilités pour 2 donc la séquence (23,2,14) qui se concatène (10,26,23,2,14) ; puis pour 13, (3,13,12)
On dispose donc des chaînettes (5,31,18,7,29,20,16,9,27,22) (10,26,23,2,14) (11,25,24) (8,28,21) (6,30,19) (4,32,17) (3,13,12) et des maillons 1, 15.
Partant de l’hypothèse que 15 est entre 10 et 21, on peut transformer la matrice du graphe comme suit :
5 22 6 19 10 14 11 24 3 12 4 17 8 21 1 15
5 1 0
22 1 0
6 0 0 1
19 0 1
10 0 1
14 1 0
11 1 0
24 0 1
3 0 1 0
12 0 1
4 0 1 0
17 1 0
8 0 1
21 0 1
1 1 0 1 0
15 1 1 0
Pour construire le collier, on part d’une chaînette (ici 5-22) ; au 1 de l’extrémité (22/14)
correspond son symétrique par rapport à la diagonale (14/22) ; on passe au 1 de la même bande (10/15) et on recommence…
On obtient le circuit suivant, qui malheureusement se referme trop tôt : 5,31,18,7,29,20,16,9,27,22,14,2,23,26,10,15,21,28,8,1,24,25,11
On essaie ensuite 15 entre 10 et 1, et l’on obtient
5 22 6 19 10 14 11 24 3 12 4 17 8 21 1 15
5 1 0
22 1 0
6 0 0 1
19 0 1
10 0 1
14 1 0
11 1 0
24 1 0
3 0 1 0
12 1 0
4 0 0 1
17 1 0
8 0 1
21 1 0
1 0 0 1 1
15 1 0 1
qui donne le collier cherché :
5,31,18,7,29,20,16,9,27,22,14,2,23,26,10,15,1,8,28,21,4,32,17,19,30,6,3,13,12,24,25,11 Enfin, si l’on place 15 entre 21 et 1, on obtient
5 22 6 19 10 14 11 24 3 12 4 17 8 21 1 15
5 0 1
22 0 1
6 0 1 0
19 0 1
10 1 0
14 0 1
11 0 1
24 1 0
3 1 0 0
12 1 0
4 1 0 0
17 1 0
8 0 1
21 0 1
1 0 0 1 1
15 0 1 1
Ce qui donne : 5,31,18,7,29,20,16,9,27,22,3,13,12,24,25,11,14,2,23,26,10,6,30,19,17,32,4 : là encore le circuit se referme trop tôt : il n’y a donc qu’une solution.
