Note sur 20BarèmeNote

(1)

Éléments d'évaluation du dst n° 1

Thèmes abordés

• Numération

• Ordre

• Vocabulaire des opérations

• "Problème"

Contenu des exercices Exercice 1 :

• Construire des nombres

• Classer dans l'ordre croissant Exercice 2 :

• Classer dans l'ordre croissant Exercice 3 :

• Utiliser une lettre pour désigner un nombre

• Utiliser les inégalités larges

• Conditions simultanées Exercice 4 :

• Passage de l'écriture mathématique au texte

• Et inversement

• Utiliser le vocabulaire : somme, produit, quotient.

Exercice 5 :

• Problème utilisant multiplication et division avec les entiers.

Grille de notation

Note sur 20

Barème Note

Exercice 1

Liste partielle 1

Liste complète 3

Ordre correct 1

Exercice 2

1.Liste complète 1

1.Liste ordonnée 1

2.Liste complète 1

2.Liste ordonnée 1

Exercice 3

1. Écriture mathématique correcte 2

1. Calcul correct 1

2. Description correcte 2

2. Calcul correct 1

Exercice 4

Présentation 2

Chaque calcul correct 4 ×× 1

(2)

Classe de 6 ème - DST n°_1_

Exercice 1 (4 points)

Trouver tous les entiers de quatre chiffres que l'on peut écrire en utilisant une fois et une fois seulement chacun des quatre chiffres : 2; 6; 1; 8.

Donner la liste de tous ces nombres dans l'ordre croissant.

1. Écrire dans l'ordre croissant tous les nombres entiers compris entre 10,07 et 19,75.

2. Trouver toutes les valeurs possibles pour un nombre désigné par la lettre n (n comme nombre) vérifiant simultanément (en même temps) les deux conditions suivantes :

• n ≥ 12

• n ≤ 24

1. Écrire en écriture mathématique le calcul suivant, avant d'effectuer A est la somme du produit de 12 par 5 et du quotient de 400 par 25.

2. Décrire le calcul suivant avant d'effectuer : A = 5 × 7 + 18

Pour la fête du collège, on a décoré vingt tables a l'aide de rubans que l'on a noués. Il faut douze nœuds par table. Pour chaque nœud, il faut 25 centimètres de ruban. Le ruban s'achète en rouleaux de 5 mètres. Chaque rouleau coûte 67 Fr.

1. Combien de nœuds a-t-on fabriqués?

2. Combien a-t-on fait de nœuds avec un rouleau de ruban?

3. Combien doit-on acheter de rouleaux?

4. Quelle somme a-t-on dépensé?

¯¯¯¯¯

(3)

Classe de 6 ème

- Corrigé du DST n°_1_

Exercice 1

Les entiers possibles sont :

1 268 ; 1 286 ; 1 628 ; 1 682 ; 1 826 ; 1 862 ; 2 168 ; 2 186 ; 2 618 ; 2 681 ; 2 816 ; 2 861 ; 6 128 ; 6 182 ; 6 218 ; 6 281 ; 6 812 ; 6 821 ; 8 126 ; 8 162 ; 8 216 ; 8 261 ; 8 612 ; 8 621.

Exercice 2

1. Les entiers compris entre 10,07 et 19,75 sont : 11 ; 12 ; 13; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18

; 19.

2. Les nombres cherchés sont les entiers compris entre 12 et 24 (ces deux nombres inclus) : 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19 ; 20 ; 21 ; 22 ; 23 ; 24.

Exercice 3

1. A = (12 × 5) + (400 ÷ 25) = 60 + 16 = 76

2. A est la somme du produit de 5 par 7 et du nombre 18 . A = 35 + 18 = 53.

Exercice 4

Ce que l'on sait :

20 tables ; 12 nœuds par table ; 1 nœud : 25 cm ; 1 rouleau de 5 m : 67 Fr.

Ce que l'on cherche :

1. Nombre de nœuds : 12 × 20 = 240 nœuds.

2. Nombre de nœuds par rouleau : 500 ÷ 25 = 20 nœuds.

3. Nombre de rouleaux : 240 ÷ 20 = 12 rouleaux.

4. Dépense : 67 × 12 = 804 Fr.

(4)

Thèmes abordés

v Les quatre opérations élémentaires

v Quelques règles de simplification des calculs v Présenter un problème

• Décomposition d'entiers en produits de facteurs.

Exercice 2

• Utiliser les règles de distributivité, et de commutativité pour le calcul de produits.

Exercice 3 :

• Multiplications à trous.

Exercice 4

• Additions et soustractions à poser Exercice 5

• Petit problème simple avec multiplication et soustraction.

Grille de notation

Note sur 20

Barème Note obtenue

Exercice 1

Une décomposition pour chaque nombre 4 × 0,5 Toutes les décompositions demandées : 4 × 1 4 Exercice 2

Chaque "astuce" clairement montrée 4 × 1 4 Exercice 3

Chaque calcul complet 2 × 2 4

Exercice 4

Chaque opération correcte 5 × 1 5

Exercice 5

Présentation correcte 1

Les deux quantités : calcul et résultat 2

(5)

Classe de 6 ème - DST n°_2_

99D02.doc

Écrire chacun des nombres proposés sous la forme d'un produit avec le nombre de facteurs demandés. S'il y a plusieurs possibilités, on les donnera toutes.

nombre 63 30 45 66

nombre de facteurs 2 3 3 2

En montrant comment on utilise les astuces de calcul étudiées dans cette leçon pour calculer le plus simplement possible(c'est à dire que ces calculs pourraient être faits mentalement) 21 × 384 ; 19 × 46 25 × 573 × 4 ; 8 × 39 × 125

a) Compléter avec les chiffres qui conviennent les opérations suivantes :

3 8 2 5 3 7

× 2 ×

7 5

. 1 . 4 7 5 Exercice 4 (5 points)

Poser et effectuer les opérations suivantes:

6 247 + 9 007 + 75 039 78 025 + 654 014 + 9 658 9 028 - 756

6 008 - 4 879 987 - 95 -65 - 329 Exercice 5 (3 points)

Un silo à blé peut contenir 200 tonnes de blé. (1 tonne = 1 000 kg). On a déjà livré 1 800 sacs de 85 kg chacun.

1. Quelle quantité de blé a-t-on livré?

2. Combien de blé le silo peut-il encore recevoir?

¯¯¯¯¯

(6)

Classe de 6 ème

- Corrigé du DST n°_2_

Exercice 1

63 = 7 × 9 ou 3 × 21 30 = 2 × 3 × 5 45 = 3 × 3 × 5 66 = 2 × 33 ou 3 × 22 ou 6 × 11

Exercice 2

21 × 384 = (20 × 384) + (1 × 384) = 7 680 + 384 = 8 064 19 × 46 = (20 × 46) - (1 × 46) = 920 - 46 = 874

25 × 573 × 4 = (25 × 4) × 573 = 100 × 573 = 57 300 8 × 39 × 125 = (8 × 125) × 39 = 1 000 × 39 = 39 000 Exercice 3

3 8 2 5 3 7

× 2 7 × 35

2674 2685

764 . 1611 .

10314 18795

Exercice 4

987 - 95 -65 - 329 = 987 - (95 + 65 + 329) = 987 - 489 = 498 Exercice 5

Ce que l'on sait :

silo : 200 tonnes de blé. On a déjà livré 1 800 sacs de 85 kg chacun.

Ce que l'on cherche :

quantité de blé livré : 1 800 × 85 = 153 000 kg = 153 tonnes

Nombre de tonnes que le silo peut encore recevoir : 200 - 153 = 47 tonnes 6 247

+ 9 007

+ 75 039

= 90 293

78 025 + 654 014

+ 9 658

= 741 697

9 028

- 756

= 8 272

6 008

- 4 879

= 1 129

(7)

Thèmes abordés

• Division euclidienne

• Mesures de durées

• Équations "additive"

• Présenter et rédiger un problème.

• Compléter par des calculs de différences un tableau à deux entrées.

Exercice 2

• Associer l'idée de la division euclidienne à une suite infinie de période 7, pour déterminer la position de certains éléments de la suite.

Exercice 3 :

• Dans une situation imagée, multiplication et addition de durées.

Exercice 4

• Problème de type carré magique à compléter, mais sur une étoile; avec indication pour la recherche de la somme partielle.

Grille de notation

Note sur 20

Barème Note

Exercice 1

Présentation correcte de ce que l'on cherche 2,5

Chacun des résultats 5 × 0,5 2,5

Exercice 2

Chacune des réponses 5 × 0,5 2,5

Les deux explications 2 × 1 2

Présentation 0,5

Exercice 3

Chacune des réponses 4 × 1 4

Exercice 4

Expliquer la relation 1,5

Retrouver la valeur de S 1,5

Retrouver la valeur de chaque lettre 6 × 0,5 3

(8)

Classe de 6 ème - DST n°_3_

99D03.doc

Dans un collège, il y a trois classes de sixième. Dans le tableau ci-dessous sont reportées certaines données concernant le nombre d'élèves. Les autres données manquent, il faut les retrouver.

Montrer dans quel ordre on peut les retrouver, et dans chaque cas, quels sont les calculs nécessaires pour obtenir ces données manquantes.

Il n'est pas nécessaire de recopier le tableau.

Filles Garçons Total

Sixième A 17 15

Sixième B 12 30

Sixième C

Total 47 93

Par exemple, on peut commencer par :

Nombre total d'élèves en sixième A : 17 + 15 = 32.

La suite de symboles est constituée de 7 symboles différents; cette suite se prolonge aussi loin que l'on veut. :

J 9 l n s w ¤ J 9 l n s w ¤ J 9 l n s w ¤ J 9 l n

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1. A quelle position se trouve le troisième n ?

2. A quelle position se trouve le cinquième ¤ ? (Expliquer) 3. Quel symbole occupe la 28 ème position? (Expliquer) 4. Quel symbole occupe la 40 ème position?

5. Quel symbole occupe la 3 000 ème position?

Magali, en visite chez son oncle René. Le 17 Juin à 14 heures 30, ils décident de se donner rendez-vous exactement un an plus tard, au même endroit. Ils mettent leur montres exactement à la même heure.

Mais si la montre de Magali est d'une totale précision, celle de l'oncle René retarde de 12 secondes chaque jour.

1. De combien retarde la montre de René au bout de 5 jours?

2. De combien retarde la montre de René au bout de 50 jours?

3. De combien retarde la montre de René au bout de 365 jours(un an)?

4. Quelle sera l'heure à la montre de René lorsque Magali reviendra un an plus tard?

Dans cette étoile, on veut placer une fois chacun des nombres de 1 à 12.

Il faut que la somme obtenue sur chaque alignement de quatre cercles soit toujours la même.

Les nombres manquants sont marqués par des lettres.

1. Si on appelle S cette somme, expliquer pourquoi on doit avoir : 6 × S = 2 × (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11+ 12) 2. Calculer la valeur de S.

3. Déterminer la valeur de chacune des lettres a, b, c, d , e, et f.

¯¯¯¯¯

8

b 7

1

a

c 6

5 d

3

e f

(9)

Classe de 6 ème

- Corrigé du DST n°_3_

les calculs nécessaires pour obtenir ces données manquantes.

(Donné en exemple : Nombre total d'élèves en sixième A : 17 + 15 = 32.) Nombre de filles en sixième C : 47 - (17 + 12) = 47 - 29 = 18

Nombre d'élèves en sixième C : 93 - (32 + 30) = 93 - 62 = 31 Nombre de garçons en tout : 93 - 47 = 46

Nombre de garçons en sixième C: 31 - 18 = 13 Nombre de garçons en sixième B: 30 - 12 = 18

Vérification : on recalcule le nombre total de garçons : 15 + 18 + 13 = 46.

1. Position du troisième n : On peut par simple lecture le trouver en position 18. Mais aussi se rendre compte que le premier est en position 4; que les autres se suivent de 7 en 7. Le deuxième est donc en position 11, et le troisième en position 18.

2. Position du cinquième ¤ Ils se trouvent en position 7, puis 14, et ainsi de suite de 7 en 7.

Le cinquième se trouve donc en position 5 × 7 = 35.

3. Symbole occupant la 28 ème position : On vient de voir que tous les multiples de 7 correspondent à des ¤ , on en trouvera donc un en position 28, qui est un multiple de 7.

4. Symbole occupant la 40 ème position : Pour retrouver le symbole correspondant à une position, on divise le numéro par 7; le quotient indique le nombre de séries de 7 symboles que l'on trouve jusqu'à la position recherchée; le reste correspond à la position dans la première série. Pour 40 = 7 × 5 + 5 , on retrouvera le même symbole qu'en position 5 (le reste) mais cinq séries (le quotient) plus loin. C'est donc un s

5. Symbole occupant la 3 000 ème position : 3 000 = 428 × 7 + 4 , on trouvera donc un n comme en position 4 (le reste), mais 428 (le quotient) séries plus loin.

1. Au bout de 5 jours, la montre de René retarde de 5 fois 12s , soit 60s, c'est à dire 1 min.

2. Au bout de 50 jours, la montre de René retarde de 10 fois 1 min, soit 10 min.

3. Au bout de 365 jours(un an), la montre retardera de (365 ÷ 5) = 73 min, soit 1heure et 13 min.

4. Lorsque Magali reviendra un an plus tard, la montre de René indiquera 14h 30 + 1h 13 , c'est à dire 15h 43 min.

1. L'étoile est composée de six branches. Si S est la somme sur chaque branche, on aura en tout sur les six branches, 6 × S. Par ailleurs, si on fait le total de l'ensemble des branches, on comptera deux fois chacun des nombres, car chaque nombre est situé sur deux branches. La somme est donc le double de ce que l'on obtient en ajoutant tous les nombres utilisés (de 1 à 12). D'où: 6 × S = 2 × (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11+ 12) 2. Valeur de S : on a 6 × S = 2 × 78, soit 6 × S = 156 et S = 156 ÷ 6 = 26

3. Valeur de chacune des lettres

• a = 26 - (1 + 8 + 7) = 26 -16 =10 e = 26 - (6 +5 + 3) = 26 - 14 = 12

• 10 + c + 5 + f = 26, donc c et f valent ensemble 11. La seule possibilité est que l'un soit égal à 2, et l'autre à 9. On vérifie qu'il y a alors deux choix possibles :

q c = 2 , f = 9 , d = 4 et b = 11

q c = 9 , f = 2 , d = 11 et b = 4.

(10)

Thèmes abordés

• Les premiers éléments de base de la géométrie

• Les points, les droites, les parties d'une droites

• Les cercles et arcs

• Compléter un texte d'après une figure Exercice 2 :

• Utiliser les écritures mathématiques pour les droites et leurs parties.

Exercice 3 :

• Utiliser les signes ∈ et ∉ Exercice 4 :

• Construction (au compas) récurrente. Rédiger la suite de cette construction.

Grille de notation

Note sur 20

Barème Note

Exercice 1

Chaque zone complétée 6 × 1 6

Exercice 2

Chaque écriture correcte 5 × 1 5

Exercice 3

Chaque utilisation correcte 6 × 0,5 3 Exercice 4

Dessin introductif 2

Chaque arc de cercle correct 3 × 1 3

Suite de la construction 1

(11)

Classe de 6 ème - DST n°_4_

99D04.doc

Exercice 1

En observant la figure ci-contre, compléter les phrases suivantes:

• A, D , E et ... sont alignés.

• D est un point du segment [E ..].

• La demi-droite [CG) et la demi-droite ...

sont sécantes en G.

• D est le point d'intersection de droites ... et ...

• Les points communs aux segments [CD] et [AE]

sont les points de ...

Exercice 2

Donner l'écriture mathématique correspondant à la situation décrite :

Description Écriture mathématique

Droite passant par les points M et P Demi droite d'origine A passant par B Segment d'extrémités D et G

En utilisant cette figure pour les deux derniers cas :

Demi droite d'origine A ne contenant pas B Points communs aux demi droites [Ay) et [Bx) Exercice 3

En utilisant la figure de l'exercice 1, compléter les phrases en utilisant dans chaque cas, le signe ∈ ou le signe ∉.

B ……… (DF) D ……… [AE] G ……… [FE]

F ………[CE) H ………[GC) E ……… [AC]

Exercice 4

Tracer une droite (d) et placer sur (d) trois points A, O et C dans cet ordre.

Tracer une droite (d') qui passe par O et placer sur cette droite deux points D et B de part et d'autre du point O.

1. Première étape : le cercle C1 de centre O et de rayon 10 mm coupe les demi-droites [OD) et [OA) respectivement en E et F. Tracer le petit arc de cercle EF.

2. Deuxième étape : le cercle C2 de centre O et de rayon 15 mm coupe les demi-droite [FA) et [OB) respectivement en G et H. Tracer le petit arc de cercle GH.

3. Troisième étape : le cercle C3 de centre O et de rayon 20 mm coupe les demi-droite [HB) et [OC) respectivement en I et J. Tracer le petit arc de cercle IJ .

4. Décrire une étape suivante logique à cette construction.

¯¯¯¯¯

B H A

D

E G F C

x A B y

(12)

Classe de 6 ème

- Corrigé du DST n°_4_

Exercice 1

• A, D , E et C sont alignés.

• D est un point du segment [EA].

• La demi-droite [CG) et la demi-droite [FG) ou [EG) sont sécantes en G.

• D est le point d'intersection des droites (BF) et (AE).

• Les points communs aux segments [CD] et [AE] sont les points de [DE]

Exercice 2

Description Écriture mathématique

Droite passant par les points M et P (MP)

Demi droite d'origine A passant par B [AB)

Segment d'extrémités D et G [DG]

En utilisant cette figure pour les deux derniers cas :

Demi droite d'origine A ne contenant pas B [Ax)

Points communs aux demi droites [Ay) et [Bx) [AB]

Exercice 3

B ∈ (DF) D ∈ [AE] G ∉[FE]

F ∉ [CE) H ∉ [GC) E ∈ [AC]

Exercice 4

(d) (d')

A

O D C

E

F

B

G H

I J

4. Le cercle C4 de centre O et de rayon 25 mm coupe les demi-droites [JC) et [OD) respectivement en K et L. Tracer le petit arc KL.

x A B y

(13)

Thèmes abordés

• Angles : construction et mesure

• Codage des figures

• Construction de triangles

• Donner le nom des angles; mesurer les angles. Reproduire un angle au compas.

Exercice 2 :

• Construction au compas sur un cercle. Codage de la figure.

Exercice 3 :

• Décodage d'égalités d'angles.

Exercice 4 :

• Construction de deux triangles Grille de notation

Note sur 20

Barème Note

Exercice 1

Noms corrects 3 × 0,5 1,5

Mesure correcte (à 2 degrés près) 3 × 0,5 1,5

Reproduction de l'angle 1

Méthode précise 1

Exercice 2

Construction approximative ou incomplète 1 Construction complète mais approximative 2

Construction complète au compas 4

Tracé des triangles 1

Codage des longueurs égales 1

Exercice 3

Chaque égalité 3 × 1 3

Exercice 4

Figures à main levée 2 × 1 2

Traits de construction apparents 1

Constructions correctes 2

Précision des mesures 1

(14)

Classe de 6 ème - DST n°_5_

99D05.doc

Exercice 1 (5 points) Compléter le tableau

Nom de l'angle : Nom de l'angle : Nom de l'angle :

Mesure de l'angle : Mesure de l'angle : Mesure de l'angle :

Reproduire ensuite le deuxième angle (de sommet M) avec le compas, en indiquant la méthode utilisée.

Exercice 2 ( 6 points)

Toutes les longueurs sont exprimées en cm.

• Tracer un segment [RS] de 6 cm.

• Construire les points A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, et L sachant que :

q Tous les points sont situés à 6 cm de S

q A et B sont tels que RA = RB = 1

q C et D sont tels que RC = RD = 3

q E et F sont tels que RE = RF = 5

q G et H sont tels que RG = RH = 7

q I et J sont tels que RI = RJ = 9

q K et L sont tels que RK = RL = 11

• Tracer tous les triangles ayant pour sommets R, S et l'un des points construits précédemment.

• Coder les longueurs égales sur cette figure.

Exercice 3 ( 3 points)

Dresser la liste des égalités d'angles en ne servant que des codages portés sur cette figure :

Tracer les deux triangles décrits ci-dessous. Commencer par une figure à main levée. Les traits de construction devront apparaître sur le dessin.

• ABC est un triangle vérifiant AB = 7 cm, AC = 8 cm et BC = 4 cm.

• MNP est un triangle vérifiant : MN = 5 cm ; MNP =50° et PMN = 70° .

¯¯¯¯¯

x

y A

N M

C

A

C B

A B C

E D F

(15)

Classe de 6 ème

- Corrigé du DST n°_5_

Exercice 1

Nom de l'angle : xAy Nom de l'angle : NMC Nom de l'angle : ACB Mesure de l'angle : 48° Mesure de l'angle : 70° Mesure de l'angle : 120°

Exercice 2

Exercice 3

• ABF = BFE = CED = BCE

• AFB = ECD

• FBC = FEC Exercice 4

B

C 8 A

4 7

N M

P

50° 70°

Figures à main levée

(16)

Thèmes abordés

• Écriture des objets géométriques

• La droite et ses parties

• Programmes de constructions

• Construction de triangles

• Utilisation des signes ∈,∉.

• Différencier segment, demi-droite et droite.

• Passer de l'écriture symbolique à l'écriture normale.

Exercice 2

• Critiquer des ordres dans un programme de construction.

• Précision et exactitude de la rédaction.

Exercice 3 :

• Construction de trois triangles :

q Avec trois côtés

q Deux côtés et l'angle formé

q Un côté et les deux angles dont il est un côté.

• Figure à main levée

• Programmes de construction.

Grille de notation

Note sur 20

Barème Note

Exercice 1

Construction initiale 2

Tableau par ligne 6 × 0,5 3

Exercice 2

Chacun des ordres critiqués 6 × 1 6 Exercice 3

Pour chaque construction

Figure à main levée 0,5 1,5

Programme de construction 1 3

Construction exacte et précise 1,5 4,5

(17)

Classe de 6 ème - DST n°_6_

99D06.doc

1. Exécuter la construction suivante:

• Tracer en rouge un segment [BC]

• Tracer en bleu une droite (AC)

• Tracer en noir la demi-droite [BA).

• Placer un point E sur le segment [AC]

• Placer un point M sur le segment [EC].

2. Recopier et compléter par Vrai ou par Faux la colonne réponse , puis traduire les six phrases du tableau par une écriture utilisant les signes ∈,∉.

Réponse Traduction

M est un point de (EA) M est un point de [EA]

M est un point de [EA) M est un point de [AE) E est un point de [CM]

E est un point de (CM) Exercice 2 (6 points)

Ce programme de construction de la bissectrice d'un angle (la droite ou la demi droite qui partage un angle en deux parties égales) comporte de nombreuses incorrections. Vous les relèverez toutes en indiquant ce qui ne convient pas. On dispose au moment de rédiger ce programme de deux demi-droites [Ox) et [Oy) déjà tracées.

1. Je place la pointe de mon compas sur O.

2. Je prends n'importe quel écartement

3. Je trace un arc sur [Ox) et un autre sur [Oy)

4. Je place la pointe sèche de mon compas sur A, puis je trace un arc de cercle de même écartement que le premier.

5. Je fais la même chose pour B.

6. Puis je trace la bissectrice passant par I.

Pour chacun de ces triangles, tracer une figure à main levée et rédiger le programme de construction avant de faire la construction.

1. Triangle ABC avec AB = 6 cm , AC = 8 cm et BC = 10 cm.

2. Triangle MNP avec MN = 3,5 cm ,NMP = 45° et MNP = 80°

3. Triangle RST avec RS = 9,3 cm ,RT = 6,2 cm et SRT = 50°

¯¯¯¯¯

(18)

Classe de 6 ème

- Corrigé du DST n°_6_

Exercice 1

Réponse Traduction M est un point de (EA) Vrai M ∈ (EA) M est un point de [EA] Faux M ∉ [EA]

M est un point de [EA) Faux M ∉ [EA) M est un point de [AE) Vrai M ∈ [AE) E est un point de [CM] Faux E ∉ [CM]

E est un point de (CM) Vrai E ∈ (CM) Exercice 2

• Je place la pointe de mon compas sur O.

• On ne parle pas de l'instrument lui- même, mais de ce que l'on en fait.

• Je prends n'importe quel écartement .

• On dira donc : Je trace un arc de cercle de centre O , de rayon quelconque

• Je trace un arc sur [Ox) et un autre sur [Oy)

• qui coupe [Ox) en A et [Oy) en B. (les points A et B n'avaient pas été précisés).

• Je place la pointe sèche de mon compas sur A, puis je trace un arc de cercle de même écartement que le premier.

• Je trace un arc de cercle de centre A , de même rayon.

• Je fais la même chose pour B • Je trace un arc de cercle de centre B, de même rayon

• Puis je trace la bissectrice passant par I.

• La bissectrice doit passer par deux points, il faut auparavant avoir précisé la position du point I.

• Les deux arcs se coupent en I.

• Je trace [OI).

Exercice 3

Programmes de construction

Triangle ABC Triangle MNP Triangle RST

Tracer [AB] de 6 cm Tracer [MN] de 3,5 cm Tracer [RS] de 9,3 cm Tracer un arc de centre

A et de rayon 8 cm. Tracer [Mx) telle que NMx = 45° Tracer [RT] tel que SRT = 50°

Tracer un arc de centre

B et de rayon 10 cm. Tracer [Ny) telle que MNy = 80°

Les deux arcs se coupent en C

Placer P à l'intersection des deux demi droites.

(19)

Thèmes abordés

• Division euclidienne

• Critères de divisibilité

• Décompositions de produits

• Facteurs premiers

• Deux divisions euclidiennes à poser et écriture en ligne Exercice 2 :

• Réciter et utiliser les critères de divisibilité par 2, 3 et 9.(sur trois exemples) Exercice 3 :

• Décomposer 4 nombres en produits de deux facteurs.

Exercice 4 :

• Compléter des décompositions avec des facteurs premiers.

Exercice 5 :

• Problèmes des multiples et diviseurs de 1 et 0.

Grille de notation

Note sur 20

Barème Note

Exercice 1

Les deux divisions posées 2× 1 2

Les deux écritures en ligne 2× 1 2 Exercice 2

Chaque règle correcte 1 2

Chaque ligne du tableau 1 3

Exercice 3 Au moins un décomposition par nombre 0,5

Chaque nombre complet 4 × 1 4

Exercice 4

Pour chaque décomposition 3 × 1 3

Exercice 5

Chaque Vrai ou faux correct 4 × 0,5 2

Explications correctes 4 × 0,5 2

(20)

Classe de 6 ème - DST n°_7_

99D07.doc

Poser les divisions euclidiennes qui permettent de compléter les égalités suivantes (et donner l'écriture en ligne complète) :

36 = … × 7 + … 482 = 47 × … + … Exercice 2 (5 points)

♦ Comment reconnaît-on un multiple de 3?

♦ Comment reconnaît-on un multiple de 9?

Recopier et compléter le tableau suivant :

Le nombre … 414 6 075 366

est divisible par 2 est divisible par 3 est divisible par 9 Exercice 3 (4 points)

Écrire chaque nombre proposé sous forme d'un produit de deux nombres entiers autres que 1.

Donner les différentes possibilités

Nombre proposé 45 100 54 68

Nombre de possibilités 2 4 3 2

Compléter les décompositions en produits de facteurs premiers:

a) 143 = 11 × ...

b) 280 = 2 × 2 × ...

c) 735 = 3 × 5 × ...

Expliquer les raisons qui permettent de dire si les phrases suivantes sont vraies ou fausses : a) Tout nombre est divisible par 1

b) 0 est un diviseur de tous les nombres.

c) 0 est un multiple de tous les nombres.

d) Tout nombre est multiple de 0.

¯¯¯¯¯

(21)

Classe de 6 ème

- Corrigé du DST n°_7_

36 = 5 × 7 + 1 482 = 47 × 10 + 12 Exercice 2 (5 points)

♦ multiple de 3 : la somme des nombres formés par ses chiffres est un multiple de 3.

♦ multiple de 9 : la somme des nombres formés par ses chiffres est un multiple de 9

Le nombre … 414 6 075 366

est divisible par 2 oui non Oui

est divisible par 3 Oui Oui Oui

est divisible par 9 oui oui non

Nombre proposé 45 100 54 68

Nombre de possibilités 2 4 3 2

9 × 5 2 × 50 2 × 27 2 × 34

3 × 15 4 × 25 3 × 18 4 × 17 10× 10 9 × 6

Les possibilités

20 × 5 Exercice 4 (3 points)

143 = 11 × 13 280 = 2 × 2 × 2 ×× 5 ×× 7 735 = 3 × 5 × 7 ×× 7 Exercice 5 (4 points)

a) Tout nombre est divisible par 1

C'est vrai, car si on appelle n ce nombre quelconque, n = n × 1 b) 0 est un diviseur de tous les nombres.

C'est faux, on ne peut jamais diviser par 0, car il faudrait trouver un quotient dont le produit par 0 serait égal au nombre initial. Or lorsque l'on multiplie par 0, le produit est toujours égal à 0.

c) 0 est un multiple de tous les nombres.

C'est vrai car si on appelle n ce nombre quelconque, n × 0 = 0. 0 est le premier multiple de tous les nombres.

d) Tout nombre est multiple de 0.

C'est faux, car lorsque l'on multiplie par 0, le produit est toujours égal à 0; il ne peut donc être égal à un autre nombre.

(22)

Thèmes abordés

• Diviseurs d'un nombre

• Écriture en puissances

• Multiples et diviseurs communs (dont PGDC et PPMC)

• Transformer une écriture de produit en écriture en puissances Exercice 2 :

• Questions à compléter relatives aux diviseurs et au PGDC, PPMC Exercice 3 :

• Recherche de diviseurs, de PGDC, PPMC, et de diviseurs communs.

Exercice 4 :

• Problème lié à la division euclidienne.

Grille de notation

Note sur 20

Barème Note

Exercice 1

Chacune des écritures correcte 1 2 Exercice 2

a) Toutes les possibilités 1

Résultat partiel : 0,5

b) les deux réponses correctes 1

Une des deux seulement : 0,5

c) les deux réponses correctes 1

Une des deux seulement : 0,5

Exercice 3

1. Liste complète des diviseurs 4

2. PGDC PPMC

Méthode explicitée

1 1 1 3.Le diviseur commun

La mise en évidence

1 1 Exercice 4

Faire apparaître une suite de possibilités 1 Nombre maximum de colliers à 11 perles 1

Nombre de perles dans le sac 2

Nombre de colliers à 15 perles et reste 2

(23)

Classe de 6 ème - DST n°_8_

99D08.doc

Écrire avec les notations en puissance les produits suivants:

2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 ; 2 × 5 × 5 × 5 × 5 × 7 × 7 Exercice 2 (3 points)

Recopier et compléter les phrases suivantes;

a) Si un nombre est multiple de 12, alors il est aussi multiple des nombres ...

(donner toutes les possibilités)

b) Si a et b désignent deux nombres et si a est divisible par b, alors leur PPCM est ..., leur PGDC est ...

c) Si a et b sont deux nombres qui n'ont pas de diviseur commun autre que 1, alors leur PGDC est ..., leur PPMC est ...

1. Par la méthode de votre choix, retrouver tous les diviseurs des nombres : 110; 52; et 343

2. Par la méthode de votre choix, calculer le PGDC et le PPMC des nombres 63 et 56

3. Déterminer un diviseur commun aux trois nombres : 40; 84 et 136. Montrer pourquoi le nombre proposé convient.

Un artisan bijoutier fabrique des colliers avec des perles qu'il a dans un sac. Il a moins de 100 perles.

1. S'il place 11 perles par collier, il lui reste 10 perles; il ne peut donc pas faire de collier supplémentaire. Quel est le nombre maximum de colliers qu'il peut confectionner?

2. Avec le même nombre de perles, s'il place 12 perles par collier, il lui reste exactement 3 perles. Combien a-t-il de perles dans son sac?

3. Avec le même nombre de perles s'il place 15 perles par collier, combien pourra-t-il faire de colliers et combien lui restera-t-il de perles?

¯¯¯¯¯

(24)

Classe de 6 ème

- Corrigé du DST n°_8_

Exercice 1

2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2⁴ × 3² 2 × 5 × 5 × 5 × 5 × 7 × 7 = 2 × 5⁴ × 7² Exercice 2

a) Si un nombre est multiple de 12, alors il est aussi multiple des nombres 1, 2, 3, 4 et 6.

b) Si a et b désignent deux nombres et si a est divisible par b, alors leur PPCM est a, et leur PGDC est b.

c) Si a et b sont deux nombres qui n'ont pas de diviseur commun autre que 1, alors leur PGDC est 1, et leur PPMC est a ×× b.

Exercice 3

1. Les diviseurs des nombres :

110 : 1, 2, 5; 11; 22; 55 et 110 52 : 1, 2, 4, 13, 26 et 52 et 343 : 1, 7, 49 et 343 2. le PGDC des nombres 63 et 56 est 7 et leur PPMC est 504.

3. Un diviseur commun aux trois nombres : 40; 84 et 136, est 2 ou 4 . En effet 40 = 2 × 20, 84 = 2 × 42, 136 = 2 × 68

Et 40 = 4 × 10, 84 = 4 × 21, 136 = 4 × 34 Exercice 4

Un artisan bijoutier fabrique des colliers avec des perles qu'il a dans un sac. Il a moins de 100 perles.

1. S'il place 11 perles par collier, il lui reste 10 perles; il ne peut donc pas faire de collier supplémentaire.

Il a donc utilisé 11 + 10 = 21 perles s'il a fabriqué 1 collier.

22 + 10 = 32 perles s'il a fabriqué 2 colliers.

Ou encore 65, ou 76 ou 87 ou 98 perles Avec 98 perles, il pourra réaliser 8 colliers, car 98 = 11 ×× 8 + 10; c'est donc le nombre maximum.

2. Avec le même nombre de perles, s'il place 12 perles par collier, il lui reste exactement 3 perles.

En effectuant les divisions euclidiennes par 12 des nombres précédents,

21 = 12 × 1 + 9 32 = 12 × 2 + 8 43 = 12 × 3 + 7, etc. On s'aperçoit que le reste diminue de 1 à chaque fois. On aura donc 87 = 12 ×× 7 + 3. Il a donc 87 perles.

3. Avec ces 87 perles s'il place 15 perles par collier, il pourra fabriqué 5 colliers et il restera 12 perles. Car 87 = 15 ×× 5 + 12

(25)

Thèmes abordés

• Perpendiculaires et parallèles

• Codage d'une figure

• Programme de construction

• Tracés de parallèles et perpendiculaires Exercice 2 :

• Décoder une figure Exercice 3 :

• Compléter un tableau en utilisant les propriétés des // et des ⊥ Exercice 4 :

• Reproduire une figure codée complexe.

• Rédiger le programme de construction.

Grille de notation

Note sur 20

Barème Note

Exercice 1

Tracé de la parallèle à (D) passant par A 1,5 Tracé de la perpendiculaire à (D') passant par B 1,5 Tracé de la parallèle à (D') passant par A 1,5 Tracé de la perpendiculaire à (D) passant par A 1,5

Exercice 2

Les droites perpendiculaires 4 × 0,5 2

Les droites parallèles 2 × 1 2

Exercice 3

Symétrie du tableau 1

Tableau complété (- 0,5 par erreur) 3 Exercice 4

Programme de construction 2

Construction approximative : 2 Construction

q AB = BI

q H milieu de [BC]

q I, A et J alignés

q Les deux angles droits

1 1 1 1

(26)

Classe de 6 ème - DST n°_9_

99D09.doc

Exercice 1(6 points)

Reproduire et compléter la figure.

• Tracer la parallèle à (D) passant par A

• Tracer la perpendiculaire à (D') passant par B.

• Tracer la parallèle à (D') passant par A.

• Tracer la perpendiculaire à (D) passant par A.

Dans chaque cas choisir une couleur différente et porter une légende à côté de votre figure.

Le fait que deux droites sont perpendiculaires est marqué sur le dessin au moyen d'un petit carré à l'angle formé par ces deux droites .

Citer les droites qui sont deux à deux perpendiculaires.

Citer les droites qui sont deux à deux parallèles.

Recopier et compléter le tableau en marquant dans chacune des cases les signes ⊥ ou //. On peut s’aider d’une figure à main levée utilisant ce qui est donné

(d) (d') (D) (D')

(d) ⊥⊥

(d')

(D) //

(D') ⊥⊥

Rédiger le programme de construction de la figure ci-dessous.(commencer par tracer [IC])

Puis reproduire cette figure en prenant les dimensions suivantes : IB = 3 cm, BH = 2 cm.

¯¯¯¯¯

(D)

A

(D') B

B C

D A

F

E

A J

I C

B H

(27)

Classe de 6 ème

- Corrigé du DST n°_9_

Exercice 1

Exercice 2

Les droites qui sont deux à deux perpendiculaires.

(BF) ⊥ (EC) (AC) ⊥ (AE) (ED) ⊥ (AE) (EC) ⊥ (CD) Les droites qui sont deux à deux parallèles.

(AC) // (ED) et (BF) // (DC).

Exercice 3

(d) (d') (D) (D')

(d) ⊥⊥ // ⊥

(d') ⊥ ⊥ //

(D) // ⊥ ⊥

(D') ⊥ // ⊥⊥

Programme de construction :

• Tracer [IC] de 7 cm.

• Placer B sur [IC] tel que IB = 3 cm.

• Placer H le milieu de [BC]

• Tracer [Hx) ⊥ (IC)

• Tracer un arc de centre B, de rayon BI. Il coupe [Hx) en A.

• Tracer [Cy) ⊥ (IC). Elle coupe [IA) en J.

(D)

A

(D') B

(28)

Thèmes abordés

• Figures comportant des parallèles et des perpendiculaires. (quadrilatères essentiellement)

• Reproduire une figure avec le compas.

• Programme de construction

• Construction de losange au compas.

Exercice 2 :

• Construction de losange avec une règle graduée.

Exercice 3 :

• Construction d'un trapèze d'après figure à main levée.

Exercice 4

• Construction d'un rectangle et d'un carré avec le compas, un côté étant donné.

Grille de notation

Note sur 20

Barème Note

Exercice 1

Reproduction de la figure. 1

Construction 2

Exercice 2

Reproduction de la figure. 1

Construction 2

Exercice 3

Construction 2

Exercice 4

Reproduction de la figure 2

Construction du rectangle 1

Explication de la construction du rectangle 1

Construction du carré 2

Explication de la construction du carré 2

(29)

Classe de 6 ème - DST n°_10_

99D10.doc

Il faut reproduire et terminer la construction du losange ABCD en utilisant uniquement le compas et la règle non graduée.

Expliquer comment est reproduire la figure.

Rédiger le programme de construction, et terminer la construction du losange.

Reproduire la figure avec le compas.

Puis en se servant uniquement d'une règle graduée, il faut terminer la construction du losange MNPQ.

Expliquer comment est reproduire la figure.

Rédiger le programme de construction, et terminer la construction du losange.

Construire et rédiger le programme de construction de ce trapèze dessiné ici à main levée.

Les dimensions sont en cm.

ABC est un triangle rectangle en B. Le reproduire avec le compas.

Tracer en utilisant uniquement le compas, et de deux couleurs différentes :

• Le rectangle ABCD.

• Le carré ACEF (B étant à l'intérieur de ce carré).

Expliquer les constructions.

¯¯¯¯¯

A

B C

6,5 D 4

3,5 5,6

B A

C M

N

Q A

B

C

(30)

Classe de 6 ème

- Corrigé du DST n°_10_

Exercice 1

Construction du losange :

Tracer deux arcs de rayon AB, l'un de centre A, l'autre de centre C. Ils se coupent en D Exercice 2

Construction du losange : Tracer [NQ]

Placer le milieu I de [NQ]

Tracer la demi droite d'origine M, passant par I.

Placer P sur [MI) de telle sorte que MI = IP.

Exercice 3

Construction du trapèze : Tracer [AD] de 6,5 cm.

Tracer un arc de centre A, de rayon 3,5 cm.

Tracer un arc de centre D, de rayon 5,6 cm.

Les deux arcs se coupent en B.

Tracer le segment [BC] de 4 cm, parallèle à (AD).

Exercice 4

Pour obtenir le rectangle (donc le point D) :

Tracer un arc de centre A, de rayon BC; et un arc de centre B, de rayon AC. Ils se coupent en D.

Pour tracer le carré :

Prolonger le segment [AC] pour faire apparaître la droite (AC).

Tracer un arc de centre A qui coupe (AC) en M et e N .

Tracer deux arcs de même rayon, de centres M et N. Ils se coupent en P.

Tracer la demi droite [AP).

Tracer un arc de centre A, de rayon AC, qui coupe [AP) en F.

Tracer un arc de centre A, de rayon CF, et un arc de centre C, de rayon AF. Ils se coupent en E.

(31)

Thèmes abordés

• Utilisation d'un quadrillage pour construire des parallèles et de perpendiculaires; mais aussi des figures particulières

Contenu des exercices Exercice : Voir ci dessous Grille de notation

Note sur 20

Barème Note

1. Vérifier que (AB) ⊥ (BC). 2

2. Tracer (∆ ) la parallèle à (AB) passant par C. 2 3. Tracer (∆' ) la parallèle à (AC) passant par B.

(∆ ) et (∆' ) se coupent en M.

2

4. Placer le milieu O de [BM] 2

5. Placer N pour que EGND soit un trapèze sans être un parallélogramme.

2

6. Vérifier que (IJ) ⊥ (IF). 2

7. Placer P pour que IJPF soit un rectangle. 2 8. Placer S pour que LQRS soit un

parallélogramme.

2

9. Placer V pour que TUV soit un triangle rectangle en U avec UV > TU.

2

10. Placer Z pour que XYZ soit un triangle isocèle en X (c'est à dire que XY = XZ).

2

(32)

Classe de 6 ème - DST n°_11_

99D11.doc

Sur le quadrillage ci-dessous, en utilisant les points qui y sont placés, exécuter les constructions suivantes, et expliquer sur une feuille, pour chaque réponse, tous les éléments utilisés (codage, points utilisés ou rajoutés) qui permettent ces constructions :

1. Vérifier que (AB) ⊥ (BC).

2. Tracer (∆ ) la parallèle à (AB) passant par C.

3. Tracer (∆' ) la parallèle à (AC) passant par B. (∆ ) et (∆' ) se coupent en M.

4. Placer le milieu O de [BM]

5. Placer N pour que EGND soit un trapèze sans être un parallélogramme.

6. Vérifier que (IJ) ⊥ (IF).

7. Placer P pour que IJPF soit un rectangle.

8. Placer S pour que LQRS soit un parallélogramme.

9. Placer V pour que TUV soit un triangle rectangle en U avec UV > TU.

10. Placer Z pour que XYZ soit un triangle isocèle en X (c'est à dire que XY = XZ).

A

B

C

G

F

E

J L

I

R

D

T X

Y

U Q

(33)

Classe de 6 ème

- Corrigé du DST n°_11_

A

B

C

G

F

E

J L

I

R

D

T X

Y

U Q