Le jeu de Sim imaginé en 1969 par Gustavus J. Simmons a pour terrain initial les six sommets d’un hexagone régulier numérotés de 1 à 6 dans le sens anti-horaire. Deux joueurs munis de deux crayons de couleurs différentes (Rouge et Bleu par exemple) s’affrontent en traçant à tour de rôle un des 15 segments (arêtes ou diagonales) qui relient ces sommets.Le premier joueur qui trace un triangle monocolore dont les sommets sont des sommets de l’hexagone a perdu.L’autre joueur est déclaré vainqueur.
Q₁ Démontrer que quel que soit le déroulement d’une partie, il y a toujours un perdant (et donc un vainqueur)
Q₂ Dans la figure n°1 ci- dessous, sept segments ont été tracés par les deux joueurs dont quatre par Bleu et trois par Rouge.
C’est à Rouge de jouer.
Prouver qu’il gagne la partie.
Q₃ Dans la figure n°2, sept segments ont été tracés par les deux joueurs dont quatre par Rouge et trois par Bleu.
C’est à Bleu de jouer.
Prouver qu’il gagne la partie.
Q1 : On peut tracer 15 segments et 20 triangles ; si Rouge commence, affectons la valeur 0 à chaque segment rouge et 1 sinon : si x, y et z sont les valeurs des trois cotés d’un triangle, la fonction f(x, y, z)= xyz+(1-x)(1-y)(1-z)=1-x-y-z+yz+zx+xy vaut 1 si les trois cotés sont de la même couleur, et 0 sinon.
S’il était possible de colorier l’ensemble de la figure sans avoir de triangle monocolore, la somme des fonctions pour les 20 triangles serait nulle, donc 20-4∑x+∑xy=0, où ∑x est le nombre de cotés bleus (donc 7), et ∑xy le nombre d’angles bleus (ayant deux cotés bleus). On doit donc avoir ∑xy=8. Le nombre d’angles ayant un même point pour sommet est 1, 3, 6 ou 10, selon que ce sommet est commun à 2, 3, 4 ou 5 segments. Pour obtenir 8 angles il faudrait un sommet à 6 angles et deux sommets à un, ou 2 sommets à trois et deux à un : cela est impossible avec 7 segments. Il y a donc toujours un triangle monocolore, donc un perdant (et un vainqueur).
Q2 : 8 segments restent à colorier, dont 4 sont à éviter par Bleu (13, 25, 26 et 56) et deux (13 et 46) par Rouge qui joue 24 : Bleu peut jouer 15, 45 ou 46 ; au coup suivant il reste 15 ou 45 que joue Rouge, puis Bleu colorie son dernier segment possible : Rouge joue 26 et Bleu a perdu.
Q2 : L’idée pour une stratégie gagnante est d’avoir en permanence moins de segments interdits que l’adversaire : ici, initialement, chacun a un segment interdit (46 pour Rouge et 15 pour Bleu ; mais si Bleu joue 45, Rouge doit jouer 15 ou accepter un segment interdit supplémentaire...
H131 - Le jeu de Sim
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