Université Paris 13, Institut Galilée MACS 2 Probabilités Année universitaire 2012-2013
Fiche 5 Martingales, applications en finance
Martingales
Exercice 1. Soit(Mn)n≥0une martingale de carré intégrable.
1. Montrer queE[MmMn] =E[Mm2]pour tousm < n.
2. On poseXn= ∆Mn(=Mn−Mn−1). Montrer queE[XmXn] = 0sim < n. Exercice 2 Une martingale .
On joue à un jeu de hasard (par exemple à la roulette) où, avec probabilitép, on double sa mise, et avec probabilité1−p, on la perd. On noteξn= 1si on gagne lanièmepartie, etξn=−1sinon.
1. Si on mise1e, quelle est l'espérance du gain ? Qu'en déduire pourp?
2. On joue à ce jeu de façon répétée (et indépendante), en misant à chaque fois 1e. On noteMn le gain total (positif ou négatif) aprèsnparties, avecM0= 0. ExpliciterMn (en fonction desξk) et justier que (Mn)n est une sur-/sous-martingale (préciser).
3. On joue à ce jeu en tentant de mettre en place une stratégie : la miseφn choisie pour lanièmepartie peut maintenant dépendre des résultats précédents, c'est-à-dire de ξ1,. . . , ξn−1. Exprimer le montant totalMn des gains aprèsnparties. Justier que c'est une sur-/sous-martingale (préciser). En déduire que si l'on s'arrête de jouer au tempsT (qui peut dépendre des résultats observés jusque-là), oùT est borné (par exemple, on s'impose de s'arrêter avant la milliardième partie), alors on ne peut pas être assuré de gagner, même en moyenne.
4. On utilise la stratégie suivante (appelée couramment martingale ) :φ1= 1puisφn= 1−Mn−1, et l'on s'arrête au tempsT = inf{n≥0|Mn>0}. ExprimerMn en fonction de Mn−1 et deξn, et justier alors queT <∞presque sûrement. En s'arrêtant au tempsT, on est assuré de gagner. Peut-on appliquer cette stratégie en pratique ? On rééchira au fait que si on s'arrête au tempsmin(T,109), alors on peut appliquer la question précédente. On pourra aussi évaluer l'ordre de grandeur de−Mn(les pertes) quand n < T.
Modèles nanciers à temps discret
Exercice 3. Dans un marché viable, on notecn etpn, respectivement, les valeurs à l'instantnd'un call et d'un put européens sur une unité d'actif risqué au prix d'exercice K et d'échéanceN. On souhaite montrer la formule de parité call-put suivante :
cn−pn=Sn−K(1 +r)−(N−n).
1. On supposeK+ (cn−pn−sn)(1 +r)N−n>0. Montrer que vendre un call et acheter une action et un put au tempsnconstitue un arbitrage.
2. On supposeK+ (cn−pn−sn)(1 +r)N−n<0. Montrer qu'acheter un call et vendre une action et un put au tempsnconstitue un arbitrage.
3. Conclure.
4. Retrouver la formule à l'aide des expressions de cn et pn comme espérances conditionnelles sous une probabilité risque-neutreP∗.
Exercice 4. Montrer que, dans un marche viable, pour tout actif conditionnel hd'échéance N, toute stratégie autonancée qui atteinthest admissible.
Exercice 5. On suppose le marché viable et complet. On considère un actifh=ϕ(S0, S1, . . . , SN)≥0, exerçable au tempsN (une option asiatique, par exemple).
1. Donner l'expression générale du prixan dehau tempsnen fonction de la probabilité à risque neutre.
2. Tenter d'écrire la formule explicite de an dans le cas du modèle de CoxRossRubinstein (ne pas chercher à la simplier).
