Les martingales

Dé…nition Exemple Processus arrêté Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Les martingales

80-646-08 Calcul stochastique I

Geneviève Gauthier

HEC Montréal

Dé…nition Lemme 1 Exemple Lemme 2

Exemple Processus arrêté Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Dé…nition

De…nition

Dé…nition. Sur l’espace probabilisé …ltré ( Ω , F ^, F , P ) , où F est la …ltration fF

^{: t} 2 f ^{0, 1, 2, ...} gg , le processus

stochastique

M = f ^M

^{: t} 2 f ^{0, 1, 2, ...} gg est une martingale à temps discret si

M1 8 ^t 2 f ^{0, 1, 2, ...} g ^{, E}

[ j ^M

j ] < _∞ ;

M2 8 ^t 2 f ^{0, 1, 2, ...} g ^{, M}

^est F

^mesurable;

M3 8 ^{s , t} 2 f ^{0, 1, 2, ...} g ^{tel que s} < t, E

[ M

jF

] = M

.

Dé…nition Lemme 1 Exemple Lemme 2

Exemple Processus arrêté Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Martingale

Processus à espérance constante

Theorem

Lemme. Soit M = f ^M

^{: t} 2 f ^{0, 1, 2, ...} gg , une martingale construite sur l’espace probabilisé …ltré ( Ω , F ^{, F , P} ) . Alors

8 ^t 2 f ^{1, 2, ...} g ^{, E}

[ M

] = E

[ M

] . Preuve du lemme. 8 ^t 2 f ^{1, 2, ...} g ^,

E

[ M

] = E

h

E

[ M

jF

] ⁱ par ( EC 3 )

= E

[ M

] par ( M 3 ) .

Interprétation. Une martingale est un processus

stochastique qui, en moyenne, est constant. Cela ne

signi…e pas pour autant que ce processus varie peu car la

variance Var

[ M

] , à tout instant, peut être in…nie.

Dé…nition Lemme 1 Exemple Lemme 2

Exemple Processus arrêté Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Exemple I

Exemple. Soit f ^ξ

: t 2 f ^{1, 2, ...} gg , une suite de

( _Ω , F ) variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées par rapport à la mesure P telles que

E

[ ξ

] = 0 et E

ξ

< ∞ . Posons

F

= f? ^, Ω g ^{; M}

= 0

8 ^t 2 f ^{1, 2, ...} g ^, F

= σ f ^ξ

: s 2 f ^{1, ..., t} gg ^; M

= _∑

ξ

.

Le processus stochastique M est une martingale sur l’espace

( _Ω , F ^, F , P ) .

Dé…nition Lemme 1 Exemple Lemme 2

Exemple Processus arrêté Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Exemple II

En e¤et,

E

[ j ^M

j ] = E

"

s

∑

ξ

#

s

∑

E

[ j ^ξ

j ]

∑

q

E

ξ

< _∞

où la deuxième inégalité provient du fait que pour toute variable aléatoire,

0 Var [ j ^X j ] = E h

j ^X j

ⁱ ( E [ j ^X j ])

) ^E [ j ^X j ] r

E h

j ^X j

^{i .}

Le choix de la …ltration fait en sorte que M est adapté

(c’est-à-dire que 8 ^t 2 f ^{0, 1, 2, ...} g ^{, M}

^est F

mesurable).

Dé…nition Lemme 1 Exemple Lemme 2

Exemple Processus arrêté Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Exemple III

En…n, 8 ^{s, t} 2 f ^{0, 1, 2, ...} g ^{tel que s} < t, E

[ M

jF

]

= E

"

M

+

∑

ξ

jF

#

= E

[ M

jF

] +

∑

E

[ ξ

jF

]

= M

+

∑

E

[ ξ

jF

]

| {z }

=_E^P[ξ_u]

par ( EC 1 ) car M

est F

mesurable.et

par ( EC 7 ) car ξ

est indépendante de ξ

, ..., ξ

.

= M

.

Dé…nition Lemme 1 Exemple Lemme 2

Exemple Processus arrêté Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Martingale I

Theorem

Lemme. Dans la dé…nition d’une martingale, la condition ( M3 ) est équivalente à

M3* 8 ^t 2 f ^{1, 2, ...} g ^{, E}

[ M

jF

] = M

.

Démonstration du lemme. Clairement, ( M 3 ) ) ( M 3 ) car ( M3 ) n’est qu’un cas particulier de ( M3 ) . En e¤et, il su¢ t de poser s = t 1.

Nous devons donc montrer que ( M 3 ) ) ( M3 ) . Cela se démontre par induction. Intuitivement, si s < t alors

E

[ M

jF

] = E

h

E

[ M

jF

] jF

^{i par} ( EC 3 ) ,

= E

[ M

jF

] par ( M3 ) .

Dé…nition Lemme 1 Exemple Lemme 2

Exemple Processus arrêté Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Martingale II

Mais si s < t 1 alors nous pouvons reproduire ce raisonnement a…n d’obtenir

E

[ M

jF

] = E

h

E

[ M

jF

] jF

^{i par} ( EC 3 ) ,

= E

[ M

jF

] par ( M3 ) .

Il su¢ t alors de remplacer ce résultat dans la première équation:

E

[ M

jF

] = E

[ M

jF

] .

En itérant cet algorithme, nous obtiendrons éventuellement E

[ M

jF

] = E

[ M

jF

]

= M

par ( M 3 ) .

Dé…nition Exemple Processus arrêté Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Exemple I

ω ξ₁ ξ₂ ξ₃ P Q

ω1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

ω ξ₁ ξ₂ ξ₃ P Q

ω5

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

Sur l’ensemble fondamental Ω = f ^ω

^{, ..., ω}

g ^{, nous} utiliserons la tribu F = l’ensemble de tous les événements de Ω . La …ltration F est composée des sous-tribus

F

= f?

g

F

=

f

g =

ff

g

f

gg

F

=

f

g =

ff

g

f

g

f

g

f

gg

F

=

f

g = F ^.

Dé…nition Exemple Processus arrêté Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Exemple II

Le processus stochastique M , construit sur l’espace probabilisable …ltré ( _Ω , F ^, F ) est dé…ni comme suit :

M

= 0, M

= ξ

M

= ξ

+ ξ

et M

= ξ

+ ξ

+ ξ

.

Par construction, M est adapté à la …ltration F .

Dé…nition Exemple Processus arrêté Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Exemple III

M = f ^M

^{: t} 2 f ^{0, 1, 2, 3} gg est une martingale sur ( Ω , F ^{, F , P} ) .

En e¤et, la condition ( M 2 ) est déjà véri…ée car M est F adapté.

La condition ( M1 ) est aussi satisfaite car 8 ^t 2 f ^{0, 1, 2, 3} g ^, E

[ j ^M

j ] E

[ j ^ξ

j ] + E

[ j ^ξ

j ] + E

[ j ^ξ

j ] = 3.

Véri…ons la condition ( M3 ) .

Dé…nition Exemple Processus arrêté Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Exemple IV

E^P

[

jF

] =

[

] par (

4 )

= 0

=

8

2 f

g

[

jF

] (

) = ¹

2

2 1

8 2 1

8 + 0 1 8 + 0 1

8 = 1

M1

(

) = 1;

8

2 f

g

[

jF

] (

) = ¹

2

0 1

8 + 0 1

8 + 2 1 8 + 2 1

8 = 1

(

) = 1.

Dé…nition Exemple Processus arrêté Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Exemple V

8

2 f

g

[

jF

] (

) = ¹

4

3 1

8 1 1

8 = 2 et

(

) = 2;

8

2 f

g

[

jF

] (

) = ¹

4

1 1

8 + 1 1

8 = 0 et

(

) = 0;

8

2 f

g

[

jF

] (

) = ¹

4

1 1

8 + 1 1

8 = 0 et

(

) = 0;

8

2 f

g

[

jF

] (

) = ¹

4

1 1

8 + 3 1

8 = 2 et

(

) = 2.

Dé…nition Exemple Processus arrêté Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Exemple VI

Par contre M = f ^M

^{: t} 2 f ^{0, 1, 2, 3} gg n’est pas une martingale sur ( _Ω , F ^, F , Q ) . En e¤et,

E

[ M

jF

]

= E

[ M

] par ( EC 4 )

= ¹

2 + ¹

14 + ¹ 14 + ¹

14 + ¹ 14 + ¹

14 + ¹ 14 + ¹

14

= ⁶

14 6 = 0

= M

.

Dé…nition Exemple Processus arrêté Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Exemple VII

Conclusion. Le fait qu’un processus stochastique soit une

martingale dépend de la …ltration et de la mesure. C’est

pourquoi on voit parfois la notation ( _F , P ) martingale

Dé…nition Exemple Processus arrêté

Dé…nition Exemple Théorème Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Processus arrêté

Dé…nition

De…nition

Dé…nition. Le processus stochastique X et le temps d’arrêt τ sont construits sur le même espace probabilisable …ltré

( Ω , F ^{, F} ) . Le processus stochastique X

dé…ni par

X

( ω ) = X

( ω ) (1)

est appelé le processus arrêté par τ.

Dé…nition Exemple Processus arrêté

Dé…nition Exemple Théorème Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Processus arrêté I

Exemple

ω X

X

X

X

τ X

X

X

X

ω

1

1

0 1 1 1 1 ω

1

1

3 1

1

ω

1 2 1 1 1 1 2 2 2

ω

1 2 2 1 1 1 2 2 2

Dé…nition Exemple Processus arrêté

Dé…nition Exemple Théorème Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Martingale arrêtée I

Théorème

Theorem

Théorème. Si la martingale M et le temps d’arrêt τ sont

construits sur le même espace probabilisé …ltré ( Ω , F ^, F , P )

alors le processus arrêté M

est lui aussi une martingale sur cet

espace.

Dé…nition Exemple Processus arrêté

Dé…nition Exemple Théorème Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Martingale arrêtée II

Théorème

Preuve du théorème. La clef de la démonstration est d’exprimer M

en termes des composantes du processus M .

M

= M

et 8 ^t 2 f ^{1, 2, ...} g ^{, M}

= M

t 1 k

∑

I

+ I

!

=

t 1 k

∑

I

M

+ _I

M

=

t 1 k

∑

I

M

+ _I

M

.

Dé…nition Exemple Processus arrêté

Dé…nition Exemple Théorème Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Martingale arrêtée III

Théorème

Véri…cation de la condition ( M 1 ) :

E

[ j ^M

j ] = E

[ j ^M

j ] < _∞ et 8 ^t 2 f ^{1, 2, ...} g ^,

E

[ j ^M

j ] = E

"

k

∑

I

M

+ I

M

#

t 1 k

∑

E

I

M

+ E

I

M

t 1 k

∑

E

[ j ^M

j ] + E

[ j ^M

j ] < _∞

car M étant une martingale, nous avons que

8 ^t 2 f ^{0, 1, 2, ...} g ^{, E}

[ j ^M

j ] < ∞ .

Dé…nition Exemple Processus arrêté

Dé…nition Exemple Théorème Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Martingale arrêtée IV

Théorème

Véri…cation de la condition ( M 2 ) :

M

= M

est F

^{mesurable. (2)} Maintenant, 8 ^t 2 f ^{1, 2, ...} g ^,

M

=

t 1 k

∑

I

| {z }

Fk mesurable carf^τ=kg2F^k

M

|{z}

F^{k mesurable} carM est adapté.

| {z }

F^t mesurable cark<t)F^k F^t

+ I

| {z }

F^{t 1 mesurable} car

f^{τ t}g=f^{τ t 1}g^c2F^{t 1}

M

|{z}

F^{t mesurable} carM est adapté.

est F

^mesurable.

Dé…nition Exemple Processus arrêté

Dé…nition Exemple Théorème Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Martingale arrêtée V

Théorème

Véri…cation de la condition ( M 3 ) : 8 ^t 2 f ^{1, 2, ...} g ^, M

M

=

t 1 k

∑

I

M

+ I

M

!

t 2 k

∑

I

M

+ I

M

!

= I

M

+ I

M

I

M

= _I

M

I

I

M

= _I

M

I

M

car f ^τ = t 1 g ^et f ^{τ t} g étant disjoints, I

+ I

= I

= I

.

= I

( M

M

) .

Dé…nition Exemple Processus arrêté

Dé…nition Exemple Théorème Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Martingale arrêtée VI

Théorème

Par conséquent, puisque I

est F

^mesurable E

[ M

jF

] M

= E

[ M

M

jF

]

= E

I

( M

M

) jF

= I

E

[ M

M

jF

]

= _I

E

[ M

jF

] E

[ M

jF

]

= I

( M

M

) = 0 d’où

E

[ M

jF

] = M

.

Dé…nition Exemple Processus arrêté Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Optional Stopping Theorem

Theorem

Théorème (Optional Stopping Theorem). Soit X = f ^X

^{: t} 2 f ^{0, 1, 2, ...} gg un processus construit sur l’espace probabilisé …ltré

( Ω , F ^{, F , P} ) , où F est la …ltration fF

^{: t} 2 f ^{0, 1, 2, ...} gg ^. Supposons que le processus stochastique X est F adapté et qu’il est intégrable, c’est-à-dire que E

[ j ^X

j ] < _∞ . Alors X est une martingale si et seulement si

E

[ X

] = E

[ X

]

pour tout temps d’arrêt τ borné, c’est-à-dire que pour chaque temps d’arrêt τ considéré, il existe une constante b telle que

8 ^ω 2 Ω , 0 τ ( ω ) b.

Dé…nition Exemple Processus arrêté Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Optional Stopping Theorem I

Preuve du théorème.

Première partie. Supposons que X est une martingale et montrons qu’alors, E

[ X

] = E

[ X

] pour tout temps d’arrêt borné.

Soit τ, un temps d’arrêt borné quelconque. Il existe donc une

constante b telle que 8 ^ω 2 Ω , 0 τ ( ω ) b. Par

Dé…nition Exemple Processus arrêté Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Optional Stopping Theorem II

Preuve du théorème.

conséquent,

E^P

[

] =

" _b

k=0

∑

X_kI_fτ=kg

#

=

"

∑

X_k I_{fτ kg} I_fτ k+1g

#

=

∑

E^Ph

X_kI_{fτ kg}i ^b

k

∑

E^Ph

X_kI_fτ k+1g

i

=

[

] +

∑

E^Ph

X_kI_{fτ kg}i ^{b 1}

k=0

∑

E^Ph

X_kI_{fτ k}+1g

i

car

=

= 1 et

=

= 0.

=

[

] +

∑

E^Ph

X_kI_fτ kg

i ^b

k=1

∑

E^Ph

X_{k 1}I_fτ kg

i

Dé…nition Exemple Processus arrêté Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Optional Stopping Theorem III

Preuve du théorème.

=

[

] +

∑

E^Ph

(

)

=

[

] +

∑

E^Ph E^Ph

(

)

jF

ii

par (

3 )

=

[

] +

∑

E^Ph

I_{fτ kg}E^P

[

jF

]

par (

6 )

=

[

]

car X étant une martingale,

E

[ X

X

jF

] = E

[ X

jF

] E

[ X

jF

]

= X

X

= 0.

Dé…nition Exemple Processus arrêté Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Optional Stopping Theorem IV

Preuve du théorème.

Deuxième partie. Supposons maintenant que pour tout temps d’arrêt τ borné, E

[ X

] = E

[ X

] et montrons qu’alors, le processus stochastique adapté et intégrable est une martingale.

Par hypothèse, X satisfait déjà aux conditions ( M 1 ) et ( M 2 ) . Il ne reste plus qu’à véri…er que 8 ^{s, t} 2 f ^{0, 1, 2, ...} g ^{tel que} s < t, E

[ X

jF

] = X

.

Fixons donc s et t 2 f ^{0, 1, 2, ...} g ^{tel que s} < t . Nous dénotons par P

= ⁿ A

, ..., A

o

la partition …nie

qu’engendre F

.

Dé…nition Exemple Processus arrêté Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Optional Stopping Theorem V

Preuve du théorème.

Pour tout i 2 f ^{1, ..., n}

g nous construisons un temps aléatoire :

S

( ω ) = 8 >

<

> :

s si ω 2 ^A

t si ω 2 / ^A

. S

est un temps d’arrêt (évidemment borné) puisque 8 ^u 2 f ^{0, 1, 2, ...} g ^,

f ^ω 2 Ω : S

( ω ) = u g = 8 >

> >

> >

<

> >

> >

> :

A

si u = s 2 F

A

si u = t 2 F

F

? ^sinon 2 F

F

.

Dé…nition Exemple Processus arrêté Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Optional Stopping Theorem VI

Preuve du théorème.

Ainsi, par hypothèse, nous avons que E

[ X

] = E

[ X

] .

Par ailleurs, comme le temps aléatoire τ

dé…ni par 8 ^ω 2 ^{Ω ,} τ

( ω ) = t est aussi un temps d’arrêt borné, nous avons, toujours par hypothèse, que

E

[ X

] = E

[ X

] = E

[ X

] d’où

E

[ X

] = E

[ X

] .

Dé…nition Exemple Processus arrêté Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Optional Stopping Theorem VII

Preuve du théorème.

Par conséquent, 8 ⁱ 2 f ^{1, ..., n}

g ^, 0 = E

[ X

] E

[ X

]

= E

[ X

X

]

= E

( X

X

) I

i

+ ( X

X

) I

c

= E

( X

X

) I

i

+ ( X

X

) I

c

= E

h

( X

X

) I

i

= ∑

ω2^A(i^s)

( X

( ω ) X

( ω )) P ( ω )

d’où ∑

ω2^A(i^s)

X

( ω ) _P ( ω ) = ∑

ω2^A(i^s)

X

( ω ) _P ( ω ) .

Dé…nition Exemple Processus arrêté Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Optional Stopping Theorem VIII

Preuve du théorème.

Nous pouvons maintenant conclure la preuve puisque, E

[ X

jF

] =

ns

i

∑

I

i

P A

∑

ω2^A(i^s)

X

( ω ) _P ( ω )

=

ns

i

∑

I

i

P A

∑

ω2^A(i^s)

X

( ω ) P ( ω )

= E

[ X

jF

]

= X

.

Dé…nition Exemple Processus arrêté Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Processus Markovien I

Dé…nition

De…nition

Dé…nition. Un processus stochastique X = f ^X

^{: t} 2 T g ^{, où} T est un ensemble d’indices

, est dit markovien si, pour tout t

< t

< ... < t

2 T , la distribution conditionnelle de X

étant donné X

, ..., X

est égale à la distribution

conditionnelle de X

étant donné X

, c’est-à-dire que pour tout x

, ..., x

2 R ,

P [ X

x

j ^X

= x

, ..., X

= x

]

= P [ X

x

j ^X

= x

] .

a

Par exemples, T = f ^{0, 1, 2, ...} g ^, T = f ^{0, 1, 2, ...,}

g ^où

^{est un}

entier positif, T = [ 0,

] où

est un nombre réel positif, T = [ 0,

) , etc.

Dé…nition Exemple Processus arrêté Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Processus Markovien II

Dé…nition

Intuitivement, si nous supposons que les indices t sont temporels, le processus X est markovien si sa distribution dans le futur étant donné le présent et le passé ne dépend que du présent.

”Une chaîne de Markov est donc un phénomène aléatoire sans mémoire: la distribution d’une observation à venir, étant donné la connaissance actuelle du système et de toute son histoire, est la même lorsque nous n’avons accès qu’à la

connaissance de son état actuel.”

L’ensemble des valeurs pouvant être prises par le processus est appelé l’ espace d’états de X et nous le dénotons par E

^.

1

Jean Vaillancourt.

Dé…nition Exemple Processus arrêté Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Processus Markovien I

Exemple

Exemple. Nous lançons un dé à répétition.

La variable aléatoire ξ

représente le nombre de points obtenus au n ième lancer.

Le processus stochastique X représente le total des points obtenus à tout instant, c’est-à-dire que pour tout entier naturel t,

X

=

∑

ξ

.

Dé…nition Exemple Processus arrêté Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Processus Markovien II

Exemple

X est un processus markovien. En e¤et, X

=

∑

ξ

=

t 1 n

∑

ξ

+ ξ

= X

+ ξ

.

Or le résultat du t ième lancer de dé, ξ

, est indépendant

des résultats obtenus aux t 1 ièmes premiers lancers,

σ f ^ξ

: n 2 f ^{1, ..., t 1} gg . Par conséquent, la distribution

de X

ne dépend du passé du processus stochatique,

σ f ^ξ

: n 2 f ^{1, ..., t 1} gg ^, qu’à travers σ f ^X

g ^.

Dé…nition Exemple Processus arrêté Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Processus Markovien

Remarque

Question. Pourquoi avons-nous besoin d’un espace probabilisé? L’espace probabilisable n’aurait pas été su¢ sant?

Réponse. Nous avons besoin de la mesure de probabilité

pour nous assurer que la propriété d’indépendance est

satisfaite.

Dé…nition Exemple Processus arrêté Optional Stopping Theorem Processus Markovien

Processus Markovien

Marche aléatoire

De…nition

Dé…nition. Le processus stochastique X , construit sur l’espace probabilisé ( Ω , F ^{, P} ) , est une marche aléatoire s’il admet la représentation

X

= 0 et 8 ^t 2 f ^{1, 2, ...} g ^{, X}

=

∑

ξ

où la suite f ^ξ

: t 2 f ^{1, 2, ...} gg est composée de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées.

Les marches aléatoires sont des processus markoviens.