Université Paris 13, Institut Galilée MACS 2 & M1 – Probabilités Année universitaire 2019–2020
Fiche 3 – Martingales
Exercice 1. Soit(Mn)n≥0une martingale, relativement à une filtration(Fn)n≥0. 1.Montrer queE[Mn] =E[M0]pour toutn∈N.
2.On suppose queMn est de carré intégrable pour toutn∈N. Montrer que E
(Mn+1−Mn)2 Fn
=E
Mn+12 −Mn2 Fn
.
Exercice 2 – Décomposition de Doob. Soit(Xn)n≥0 une sous-martingale, pour une filtration(Fn)n≥0. 1.Montrer qu’il existe un unique couple(M, A)tel que, pour toutn≥0,Xn =Mn+An, oùM = (Mn)n≥0 est une martingale etA= (An)n≥0 est un processus prévisible issu deA0= 0.
2.Que peut-on dire de plus deA?
3.Soit(ξn)n≥0 une suite de v.a. réelles centrées et de carré intégrable. On pose, pour toutn≥0,sn= Var(ξn).
On considère le processus S défini par Sn=ξ1+· · ·+ξn. Justifier queS est une martingale pour la filtration (Fn)n définie par Fn =σ(ξ1, . . . , ξn), puis queXn =Sn2 est une sous-martingale, et expliciter le processus A précédent dans le cas deX.
Exercice 3 – Urne de Polya. Dans une urne se trouvent une boule blanche et une boule rouge (instant0).
On tire alors une boule, que l’on remet dans l’urne accompagnée d’une nouvelle boule de la même couleur, et on répète cette opération indéfiniment. À l’instantn se trouvent doncn+ 2boules dans l’urne. On noteYn le nombre de boules blanches à cet instant etXn= Yn
n+ 2 la proportion de boules blanches dans l’urne. On pose Fn=σ(X1, . . . , Xn).
1.Montrer que(Xn)n≥0est une martingale par rapport à(Fn)n≥0.
2.En déduire que(Xn)n≥0 converge presque-sûrement vers une variable aléatoireU.
Exercice 4. Soit(an)n≥1 une suite de réels telle que X
n≥1
a2n<∞, et(ξn)n≥1une suite de variables aléatoires indépendantes telle que, pour toutn,E[ξn] = 0et Var(ξn) = 1(par exemple,ξn∼ N(0,1)).
1.Montrer que la suiteMn=
n
X
k=1
akξk est une martingale.
2.Montrer quesup
n E[Mn2]<∞et en déduire que, presque-sûrement, la série
∞
X
n=1
anξn converge.
Exercice 5 – Somme d’un nombre aléatoire de variables aléatoires. SoitX1, X2, . . .une suite de v.a.
indépendantes, de même loi, d’espérancem. On définit, pour toutn≥0, Sn=X1+· · ·+Xn.
Soit N une variable aléatoire à valeurs dans N, indépendante de (Xn)n≥1. On considère la somme des N premières variables de la suite(Xn)n≥1, c’est-à-dire la variable aléatoireSN =X1+· · ·+XN.
1.Montrer rigoureusement que, pour toutn∈N,E[SN|N =n] =E[Sn].
2.En déduireE[SN|N], puisE[SN].
3.Application.SoitZ une variable aléatoire à valeurs dansN, intégrable. On posem=E[Z]. Soit(Zm,n)m,n∈N une famille de v.a. i.i.d. de même loi queZ. On définitX0= 1et, pour tout n≥0,
Xn+1=
Xn
X
m=1
Zm,n+1.
Xn représente le nombre d’individus à la n-ième génération, dans un processus de branchement où chaque individu a un nombre d’enfants de même loi queZ, indépendant du nombre d’enfants des autres individus.
3.a)Justifier queE[Xn+1|Xn, Xn−1, . . . , X1, X0] =E[Xn+1|Xn]et en donner la valeur.
3.b)En déduire que Mn=m−nXn définit une martingale, et déterminer la valeur deE[Xn] pour toutn≥0.
3.c)Montrer que la suite (Mn)n admet presque sûrement une limiteM∞.
Exercice 6 – Marche aléatoire biaisée. Soit p ∈]0,12[. Soit (Sn)n≥0 une marche aléatoire biaisée sur Z partant dex∈N:S0=xet, pourn≥1,
Sn=x+X1+· · ·+Xn,
où les variables aléatoiresX1, X2, . . .sont indépendantes et de même loi, telles que P(Xi= 1) =p et P(Xi=−1) =q= 1−p.
SoitR∈N∗, R > x. On définit le temps (aléatoire)T = inf{n≥0|Sn ∈ {0, R}} et la filtrationF = (Fn)n = (σ(X1, . . . , Xn))n.
1.On poseZn= (q/p)Sn. Montrer queZ = (Zn)n≥0 est une martingale pour la filtrationF.
2.Montrer queT est un temps d’arrêt.
3.En considérant la martingale arrêtéeZT, montrer que, pour toutn,E[Zn∧T] =E[Z0], et en déduireE[ZT] = E[Z0], puis la valeur deP(ST = 0).
Exercice 7 – Marche aléatoire symétrique. Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires i.i.d., de loi commune donnée par :
P(Xn= 1) = 1
2 =P(Xn =−1).
On note
Sn=X1+· · ·+Xn.
SoitR∈N∗. On considère le temps aléatoire
T = inf{n≥1 : |Sn|=R}.
1.Justifier queT est fini p.s., de deux façons : en voyant(Sn∧T)n≥0comme une chaîne de Markov (et en utilisant la transience), ou comme une martingale (et en utilisant le théorème de Doob : convergence p.s.).
2.Montrer queMn =S2n−nest une martingale pour la filtration(Fn)n oùFn=σ(X1, . . . , Xn).
3.Que vaut, pourn≥0,E[Sn∧T2 ]−E[n∧T]?
3.a)Par quel théorème peut-on justifier queE[n∧T]→E[T]?
3.b)Par quel théorème peut-on justifier queE[Sn∧T2 ]→E[ST2]? Que vaut la limite ? 3.c)En déduire la valeur deE[T].
4.Soitr, R∈N∗. On considère maintenant le temps aléatoire
T = inf{n≥1 : Sn∈ {−r, R}}.
4.a)Justifier (en reprenant le raisonnement précédent) queE[ST2] =E[T].
4.b)En utilisant la martingale(Sn)n≥0arrêtée au tempsT, déterminerE[ST](s’inspirer de la question 2 : que vautE[Sn∧T]? Peut-on passer à la limite ?) et en déduire la loi deST.
4.c)En déduire la valeur deE[T].
2
Exercice 8 – Identité de Wald. SoitX1, X2, . . . une suite de variables aléatoires réelles indépendantes et de même loi, intégrable. On notem=E[X1]. Pour toutn≥0, on note
Sn =X1+· · ·+Xn
et on définitFn =σ(X1, . . . , Xn). Soit τ un temps d’arrêt pour la filtration (Fn)n≥0, tel queτ <∞ p.s.. On souhaite, sous diverses hypothèses, prouver l’identité de Wald :
Sτ est intégrable etE[Sτ] =mE[τ].
1.En introduisant une martingale, montrer que, pour toutn≥0,
E[Sn∧τ] =mE[n∧τ]. (1) 2.Que dire de la convergence du membre de droite de (1) ?
3.On suppose queXk ≥0pour toutk. Que dire alors de la convergence du membre de gauche de (1) ? Conclure.
4.On ne suppose plus lesXk positifs, mais on supposeτ intégrable :E[τ]<∞.
4.a)Montrer que, pour toutn,
|Sn∧τ| ≤Z =|X1|+· · ·+|Xτ|.
4.b)Justifier que Z est intégrable (on pensera à la question 3...).
4.c)Conclure.
Exercice 9 – Théorème de Kakutani. Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans R+, telles queE[Xn] = 1pour tout n. Pour tout n≥0, on définit la tribuFn =σ(X1, . . . , Xn) (doncF0={∅,Ω}), etMn=X1· · ·Xn (doncM0= 1).
1.Justifier queM = (Mn)n≥1 est une martingale qui admet presque sûrement une limiteM∞. Pour toutn≥1, on notean=E[√
Xn]. Puis on définitN0= 1et, pour tout n≥0,Nn=
√X1· · ·Xn
a1· · ·an
. 2.Que dire du processus(Nn)n≥1? (nature, convergence)
3.On suppose que
∞
Y
n=1
an>0.
3.a)Justifier queNn converge p.s. et dansL2. 3.b)Montrer queE
h sup
n≥0
Nn2i
<∞.On majorera d’abord, pour toutm,E
h max
0≤n≤mNk2i
grâce au cours.
3.c)En déduire une majoration desupnMn par une variable aléatoire intégrable.
3.d)Conclure queMn converge versM∞ dansL1et que E[M∞] = 1.
4.On suppose que
∞
Y
n=1
an= 0. En utilisant ce que l’on sait deNn, montrer queM∞= 0p.s..
Exercice 10 – Théorème d’arrêt, cas uniformément intégrable. Soit (Fn)n une filtration, et notons F∞ =σ(S
n≥0Fn). SoitM = (Mn)n≥0 une martingale qui converge dans L1 vers une v.a. M∞. On rappelle qu’alors Mn =E[M∞| Fn]. Soit S, T deux temps d’arrêts, tels queS ≤T p.s.. On souhaite montrer qu’alors MS et MT sont intégrables, et
E[MT| FS] =MS. 1.Rappeler la définition deFT.
2.Montrer queE[M∞| FT] =MT.Vérifier la définition de l’espérance conditionnelle ((i) et (ii)) et décomposer selonT : pourA∈ FT,E[M∞1A] =P
nE[M∞1A1{T=n}] =· · ·
3.En déduire queMS est intégrable, et la formule.Prendre E[· · · | FS] dans la formule précédente
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