Une partie de NIM au casino se déroule de la façon suivante :
- Le croupier lance un dé sur le tapis qui affiche le numéro d (1 ≤ d ≤ 6) puis une bille sur le plateau de la roulette qui donne le numéro r (0 ≤ r ≤ 36). Un jeton est alors placé sur la case n° r de la table de jeu. La partie se joue alors entre Zig et Puce.
- Zig puis Puce, à tour de rôle, laissent inchangée la face visible du dé ou bien font apparaître une face qui a une unité d’écart (*). Le choix de la face x du dé étant fait, le joueur fait passer le jeton de la case n° k de la table de jeu à la case n° (k – x). Si k < x, le joueur est empêché de jouer et il perd la partie.
Q1 Quelles sont les valeurs de r (numéro annoncé à la roulette par le croupier avant le début de la partie) pour lesquelles Puce est certain de gagner quel que soit le résultat d du lancer du dé ?
Q2 Pour quelle(s) valeur(s) de d, Puce a-t-il plus d’une chance sur deux de gagner la partie ? Q3 Calculer la probabilité de gain de Zig avant le début de la partie.
(*) Par exemple si la face 3 a été laissée par l’un des deux joueurs, l’autre joueur peut garder cette face ou faire apparaître ou bien la face 2 ou bien la face 4. Si c’est la face 6, ce joueur peut la garder ou faire apparaître la face 5.
Si c’est la face 1, ce joueur peut la garder ou faire apparaître la face 2.
La position est caractérisée par le couple (d,r), et l’on notera g(d,r) l’indicateur de gain qui vaut 1 si Zig a une stratégie gagnante, et 0 sinon. Nous avons g(d,d)=1, g(d,0)=0 pour tout d, et plus généralement, g(x,k)=0 si k<x. A partir de la position (d,r), on peut aller à l’une des positions (d-1,r-d+1), (d,r-d) et (d+1,r-d-1), sous réserve qu’elles existent ; la position initiale n’est perdante que si ces trois positions sont gagnantes : si nous notons par convention g(0,r)=g(7,r)=1 pour tout r
g(d,r)=1-g(d-1,r-d+1)*g(d,r-d)*g(d+1,r-d-1) , relation qui permet de construire ce tableau : (la somme de chaque ligne représente le nombre de cas favorables à Zig)
r d
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36∑
1 2 3 4 5 6
0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 22 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 28 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 27 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 25 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 25 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 18
