Simplicité de SO 3 FGN 3 algèbre page 67
Pierre Lissy May 17, 2010
On considère un sous-groupeG deSO3 distingué non trivial. Pour montrer que Gest égal à SO(3) tout entier, il est susant de montrer qu'il contient un demi-tour (ie une rotation d'angle Π), car tous les demis-tours sont conjugués dansSO3 et ils engendrent SO3.
On considère pourg∈Gla composante connexe par arcs deg, notéeG(g). On considère la composante connexe par arcs de l'identité dansG, noté G0. Lemme 1. LEs composantes connexes sont stables par conjugaison.
Proof. Considérons un élément quelconque deSo3, notéh. C'est une rotation d'angleθ. Alors on fabrique explicitement un chemin reliantIdet h: la rotation d'angletθ et de même axe, notéht, ce qui forme bien un chemin continu. Le cheminhtgh−1t jointg à hgh−1. Donc g et hgh−1 sont dans la même composante cpa.
Lemme 2. G(Id) :=G0 est un sous-groupe (distingué) deG.
Proof. On considère deux élémentsgethdeG0, et on considère deux cheminsγetγ0qui joignent getId,hetIddansG. Considérons le cheminγ00=γγ0−1. Alors ce chemin est trivialement inclus dansG(qui lui est un sous-groupe). De plus, on rappelle que l'application g7→g−1 est continue surGL. Doncγ00est un chemin continu, et on voit qu'il relie Id à gh−1
Lemme 3. G0 est non trivial.
Proof. Supposons queG0 est trivial et montrons queGest trivial. Dans ce cas, toutes les autres composantes cpa sont aussi ponctuelles. En eet, Si l'on considère deux pointsg et hdans une meme cpa etγ un chemin les rejoignant, alorsγ(t)h−1 est un chemin continu qui joint gh−1 à Id et doncg=h. Prenons un élément non trivial deG, notég. Considérons un élément quelconque de So3, noté h. g et hgh−1 sont dans la même composante cpa. Autrement dit g = hgh−1, ie gh=hg. Mais le centre deSO3 étan trivial, on a nécessairementg=Id, ce qui est supposé faux par hypothèse.
On en déduit maintenant ce u'on veut. Pour montrer queG=So3 il sut de montrer queG0
contient un demi-tour.
On rappelle que siθest l'angle d'une rotation alorscos(θ) = (tr(g)−1)/2. Donc l'application qui àg associe son angle est continue. Supposons qu'on prouve que cette application prenne la valeur 0. Alors cela signie que Gcontient une rotation d'angle plus ou moins π/2, notéer. Le carrér2est encore un élément du groupe d'ordreπ. Pour cela, il sut par le théorème des valeurs intermédiaires (carId est d'angle 0, donc le cosinus est1) de montrer que le cosinus atteint une valeur négative ou nulle. On a supposé que G était non trivial. Donc soit il contient déjà une rotation d'angle+−π/2et c'est gagné, soit il contient une rotation telel que le cosinus est négatif et c'est gagné, soit c'est une rotation d'angle non nul, donc de cosinus strictement plus petit que 1, et en itérant cette rotation un certain nombre de fois, on nit par tomber sur un angle à cosinus négatif.
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