Activité 4 p 73.
Un point M se déplace sur un axe d, on étudie son mouvement sur l’intervalle de temps [0 ; 4], son abscisse à l’instant t est donnée par f(t) = −−−−t3 + t² + 8t + 1.
1. Etude de la fonction f.
a. Etudier les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 4].
f est une fonction polynôme donc elle est continue et dérivable sur IR donc sur [0 ; 4].
f’(t) = − 3t² + 2t + 8 ce trinôme a pour racines 2 et −4/3 qui n’est pas dans [0 ; 4]
le coefficient de t² est −3 donc : pour t ∈ [0 ; 2], f’(t) ≥ 0 donc f est de f(0) = 1 à f(2) = 13 pour t ∈ [2 ; 4], f’(t) ≤ 0 donc f est de f(2) = 13 à f(4) = −15 f(2) = 13 est le maximum de f(t)
b. Démontrer que l’équation f(t) = 0 admet une solution unique t0 dans l’intervalle [0 ; 4]. Donner un encadrement de t0 d’amplitude 10−−−−2.
Pour x ∈ [0 ; 2], f(t) ≥ 1 donc f(t) ≠ 0
Pour x ∈ [2 ; 4], f est continue et strictement décroissante de 13 à −15 or 0 ∈ [−15 ; 13]
donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel t0 de [2 ; 4] tel que f(t0) = 0.
De plus, f(3,42) > 0 et f(3,43) < 0 donc 3,42 < t0 < 3,43 Dans [0 ; 4], t0 est l’unique solution de l’équation f(t) = 0.
c. Tracer, dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction f.
2. Etude de la vitesse.
La vitesse du point M à l’instant t est donnée par v(t) = f’(t).
a. Etudier les variations de la fonction v sur l’intervalle [0 ; 4].
v(t) = f’(t) = −3t² + 2t + 8,
v est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur IR donc sur [0 ; 4].
v’(t) = −6t + 2
pour t ∈ [0 ; 1/3], v’(t) ≥ 0 donc v est de v(0) = 8 à v(1/3) ≈ 8,33 pour t ∈ [1/3 ; 4], v’(t) ≤ 0 donc v est de v(1/3) à v(4) = −32
v(1/3) ≈8,33 est le maximum de v(t)
b. Tracer, dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction v.
3. Etude de l’accélération.
L’accélération du point M à l’instant t est donnée par γγγγ(t) = v’(t) = f’’(t).
Tracer, dans un repère orthog., la courbe représentative de la fonction γγγγ.
γ(t) = v’(t) = −6t + 2
la courbe représentative de la fonction γ est la droite d’équation y = −6t + 2
elle coupe l’axe des abscisses en 1/3, est au dessus de cet axe pour t ∈ [0 ; 1/3[
et en dessous pour t ∈ ]1/3 ; 4]
4. Etude du mouvement du point M.
1. Décrire le déplacement du point M sur la droite d.
à l’instant t = 0, M est au point A d’abscisse 1
des instants t = 0 à t = 2, M se déplace du point A au point B d’abscisse 13 des instants t = 2 à t = 4, M se déplace du point B au point C d’abscisse −15
2. a. A quel instant, la vitesse de M est−−−−elle maximale ?
b. déterminer, à cet instant, la position du point M et son accélération.
La vitesse du point M est maximale à l’instant t = 1/3
le point M se trouve alors au point D d’abscisse 3,74 et son accélération est γ(1/3) = 0
vitesse
accélé ration
2 3 4
2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3
- 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 1 0 - 1 1 - 1 2 - 1 3 - 1 4 - 1 5 - 1 6 - 1 7 - 1 8 - 1 9 - 2 0 - 2 1 - 2 2 - 2 3 - 2 4 - 2 5 - 2 6 - 2 7 - 2 8 - 2 9 - 3 0 - 3 1 - 3 2
0 1
1
x y
1 / 3 to
3. A quel instant, le point M passe−−−−t−−−−il par l’origine du repère de l’axe d ? le point M passe par l’origine du repère de l’axe d quand f(t) = 0 donc à l’instant t0.
4. Sur un intervalle de temps tel que v(t) γγγγ(t) ≥≥≥≥ 0 (resp. v(t) γγγγ(t) ≤≤≤≤ 0), on dit que le mouvement de M est accéléré (resp. retardé).
Déterminer les intervalles sur lesquels le mouvement du point M est accéléré ou retardé.
v(t) γ(t) = (−3t² + 2t + 8)(−6t + 2) = (−3t − 4)(t − 2)(−6t + 2) = (3t + 4)(t − 2)(6t − 2)
sur [0 ; 4], 3t + 4 > 0 donc v(t) γ(t) a le signe du trinôme (t − 2)(6t − 2) dont les racines sont 2 et 1/3
et puisque le coefficient de t², 6 est positif : pour t ∈ [0 ; 1/3] ∪ [2 ; 4], v(t) γ(t) ≥ 0 donc le mouvement est accéléré pour t ∈ [1/3 ; 2], v(t) γ(t) ≤ donc le mouvement est retardé.
Activité 2 p 72.
f est la fonction définie sur IR par f(x) = sin x −−−− 0,5 sin 2x.
Cf est la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O ; i→→→→ ; j→→→→) 1. a. Montrer que f est périodique de période 2ππππ.
Df = IR donc si x ∈ Df alors x + 2π ∈ Df et f(x + 2π) = sin (x + 2π) − 0,5 sin [2(x + 2π)]
= sin (x + 2π) − 0,5 sin [2x + 2×2π]
= sin x − 0,5 sin 2x car la fonction sin est périodique de période 2π.
Donc f est 2π−périodique
Conséquence : il suffit de l’étudier sur un intervalle d’amplitude 2π : [0 ; 2π] ou [−π; π] par exemple.
b. Démontrer que la courbe admet le point O comme centre de symétrie.
cette question revient à montrer que f est impaire.
Df = IR donc si x ∈Df alors −x ∈Df et f(−x) = sin (−x) − 0,5sin(−2x)
= − sin x + 0,5 sin 2x car la fonction sin est impaire
= − f(x)
Donc f est impaire ce qui prouve que Cf est symétrique par rapport à O.
Conséquence : il suffit d’étudier f sur « la moitié positive » de son domaine
et avec la périodicité on en déduit qu’il suffit d’étudier f sur [0 ; π]
2. Démontrer que pour tout réel x, f’(x) = −−−− (cos x −−−− 1)(2 cos x + 1) Somme de deux fonctions dérivables sur IR, f est dérivable sur IR f’(x) = cos x − 0,5 (2x)’cos 2x
= cos x − cos 2x
= cos x − (2cos²x − 1)
= − 2cos²x + cos x + 1 = −2X² + X + 1 = (X − 1)(−2X − 1) = − (X − 1)(2X + 1)
−2X² + X + 1 a pour racine évidente 1, l’autre racine est donc −1/2
on en déduit que −2X² + X + 1 = −2(X − 1)(X + 1/2) = − (X − 1)(2X + 1) et donc que f’(x) = − (cos x − 1)(2 cos x + 1) 3. a. Etudier le signe de 2 cos x + 1 suivant les valeurs de x dans [0 ; ππππ]
2cos x + 1 = 0 ⇔ cos x = −1/2 ⇔ x = 2π/3 car x ∈ [0 ; π]
à l’aide d’un cercle trigonométrique, on obtient : cos x < −1/2 et donc 2cos x + 1 > 0 pour 0 < x < 2π/3 cos x < −1/2 et donc 2 cos x + 1 < 0 pour 2π/3 < x < π b. Dresser le tableau de variation de f sur l’intervalle [0 ; ππππ].
pour tout réel x, −1 ≤ cos x ≤ 1 donc −2 ≤ cos x − 1 ≤ 0 donc − (cos x − 1) ≥ 0 et dans [0 ; π], cos x = 1 quand x = 0
on en déduit que f’(x) a le signe de 2cos x + 1 étudié précédemment. 3
On trace Cf sur [0 ; π]. la symétrie par rapport à O nous permet d’obtenir Cf sur [−π; π]
puis des translations de vecteurs 2kπ→i (avec k entier relatif) nous donnent Cf sur IR.
π/3 π/2 2π/3 5π/6 π 7π/6 4π/3 -π/6
-π/3 -π/2 -2π/ 3 - 5π/6 -π -7π/ 6 -4π/ 3
- 1
0 π/6
1
x y
x 0 2π/3 π f ’(x) 0 + 0 − f (x)
0
3 3/4 0
Activité 1. p 73
f est la fonction définie sur [0 ; ππππ] par f(x) = x −−−−x3/6
dans un repère orthogonal (O ; i→→→→ ; j→→→→) ΓΓΓΓ représente f et C représente la fonction sin sur [0 ; ππππ] 1. Une tangente commune.
Démontrer que les courbes ΓΓΓΓ et C admettent, au point O une même tangente T. Donner une équation de T.
f , fonction polynôme, est dérivable sur IR donc sur [0 ; π]
La tangente T à Γ au point O(0 ; 0) a pour équation y = f’(0)(x − 0) + f(0) or f’(x) = 1 − x/2 donc f’(0) = 1 et f(0) = 0
donc T a pour équation : y = x sin est dérivable sur IR donc sur [0 ; π]
La tangente T’ à C au point O(0 ; 0) a pour équation y = sin’(0)(x − 0) + sin(0) or sin’(x) = cos x donc sin’(0) = 1 et sin(0) = 0
donc T’ a pour équation : y = x
On a donc prouvé que Γ et C ont, au point O, la même tangente T d’équation y = x 2. Etude des positions relatives de ΓΓΓΓ, C et T.
1. u est la fonction définie sur [0 ; ππππ] par u(x) = sin x −−−− x. Etudier les variations de u. En déduire le signe de u.
u est dérivable sur [0 ; π] comme somme de fonctions dérivables
u’(x) = cos x − 1 pour tout x de [0 ; π], −1 ≤ cos x ≤ 1 donc −2 ≤ cos x − 1 ≤ 0 u’(x) ≤ 0 donc u est sur [0 ; π]
u(0) = 0 et u est sur [0 ; π] donc u(x) ≤ 0 2. v est la fonction définie sur [0 ; ππππ] par v(x) = sin x −−−− x + x3/6.
a. Déterminer les fonctions v’ et v’’.
v est dérivable sur [0 ; π] comme somme de fonctions dérivables et v’(x) = cos x − 1 + x²/2
v’ est dérivable sur [0 ; π] comme somme de fonctions dérivables et (v’)’(x) = v’’(x) = − sin x + x = − u(x).
b. Quel est le signe de v’’(x) ? En déduire le sens de variation de v’.
v’’(x) = − u(x) et u(x) ≤ 0 donc v’’(x) ≥ 0 donc v’est sur [0 ; π]
c. déterminer le signe de v’(x) puis le sens de variation de v. Donner alors le signe de v(x).
v’ est sur [0 ; π] et v’(0) = cos 0 − 1 + 0 = 0 donc v’(x) ≥ 0 v’(x) ≥ 0 donc v est sur [0 ; π]
et comme v(0) = sin 0 − 0 + 0 = 0, v(x) ≥ 0 3. a. Montrer que pour tout x de [0 ; ππππ], x −−−−x3/6 ≤≤≤≤ sin x ≤≤≤≤ x.
v(x) = sin x − x + x3/6 et v(x) ≥ 0 donc sin x ≥ x − x3/6 u(x) = sin x − x et u(x) ≤ 0 donc sin x ≤ x
on déduit des deux inégalités précédentes que, sur [0 ; π], x − x3/6 ≤ sin x ≤ x
b. Quelles sont les positions relatives de ΓΓΓΓ, C et T ?
sur [0 ; π], x − x3/6 ≤ sin x ≤ x c’est à dire f(x) ≤ sin x ≤ x
ce qui prouve que Γ est en dessous de C, elle−même étant en dessous de T.
c. Tracer dans le repère (O ; i→→→→ ; j→→→→) les courbes ΓΓΓΓ, C et la droite T.
2 3
2 3
- 1
- 2
0 1
1
x y
