Modèles mathématiques en hydrogéologie Ledoux Emmanuel Centre d’Informatique Géologique Ecole Nationale Supérieure des Mines de Paris LHM-RD – 86/12

Modèles mathématiques en hydrogéologie

Ledoux Emmanuel Centre d’Informatique Géologique Ecole Nationale Supérieure des Mines de Paris LHM-RD – 86/12

SOMMAIRE

INTRODUCTION

1. LE MILIEU SOUTERRAIN

2. LES MODELES "BOITE NOIRE" ET A "RESERVOIRS"

2.1. Principe des modèles "boite noire"

2.2. Hypothèses concernant la relation entrée-sortie: convolution 2.3. Assouplissement des hypothèses concernant la linéarité

2.4. Traitement mathématique de l'identification

2.5. Domaine d'application des modèles "boite noire" en hydrogéologie 2.6. Exemples d'application des modèles "boite noire"

3. LE MODELE MACROSCOPIQUE ET SES LIMITES

4. APPLICATION DU MODELE MACROSCOPIQUE AU CAS DE L’ECOULEMENT 4.1. Relations phénoménologiques régissant l'écoulement

4.2. Synthèse des relations phénoménologiques: équation de diffusivité 5. APPLICATION DU MODELE MACROSCOPIQUE AU TRANSFERT DE MATIERE

5.1. Relations phénoménologiques régissant le transfert de matière 5.2. Synthèse des relations phénoménologiques définissant le transfert de matière: équation de dispersion

5.3. Cas du transfert de chaleur

6. LES STRUCTURES MODELISABLES AU MOYEN DU MODELE MACROSCOPIQUE 6.1. Les modèles de ressources en eau

6.2. Les modèles de génie civil

6.3. Cas particulier des systèmes aquifères: écoulement en nappe 6.4. Les conditions aux limites

6.5. Cas du milieu fissuré

7. TRAITEMENT MATHEMATIQUE DES EQUATIONS DU MODELE MACROSCOPIQUE

7.1. Principes généraux des méthodes numériques appliquées à l'hydrogéologie 7.2. Traitement des systèmes aquifères monocouches par la méthode des différences finies

7.3. Traitement des systèmes aquifères multicouches

7.4. Quelques perfectionnements utiles de la méthode des différences finies

7.5. Application de la méthode des différences finies à la résolution de l'équation de la dispersion

7.6. Les problèmes d'écoulement local: méthode des éléments finis 8. LA PRATIQUE DE L'EMPLOI DES MODELES EN HYDROGEOLOGIE

8.1. Etude du soutien du débit d'étiage d'une rivière par pompage en nappe 8.2. Exploitation d'un aquifère côtier

8.3. Evolution à long terme de la qualité de l'eau souterraine dans un aquifère provoquée par l'activité humaine

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

INTRODUCTION

Le domaine de l'eau souterraine est représenté par les formations géologiques dont les interstices sont en permanence complètement saturés par l'eau. Ce domaine constitue un des maillons importants de l'ensemble du cycle de l'eau, objet de longue date des préoccupations de l'hydrogéologie, et ceci pour deux raisons majeures.

En premier lieu, le domaine souterrain est un organe de transfert capable de permettre, dans certaines conditions, la mobilisation de la ressource en eau, le plus souvent sur les lieux mêmes de son utilisation.

En second lieu, le domaine souterrain constitue un organe de stockage naturel capable d'amortir les irrégularités des autres composantes du cycle de l'eau et présentant une vulnérabilité relativement faible aux altérations de sa qualité.

De nombreux efforts de recherche ont ainsi été consacrés à une bonne compréhension et à une bonne description de cet élément essentiel de la ressource en eau. Tout d'abord entreprise pour les besoins de l'exploitation pétrolière, l'étude scientifique des rapports entre les fluides et les roches s'est étendue à l’hydrogéologie, science qui, à l'heure actuelle, combine :

- un aspect naturaliste: la description des circulations souterraines;

- un aspect pratique: la quantification des écoulements.

Plutôt que de décrire de manière détaillée la mise en oeuvre des méthodes de l'hydrogéologie quantitative, l'objectif de ce mémoire vise à définir les rapports entre les besoins et les méthodes, c'est à dire la manière dont il convient d'aborder la modélisation du milieu souterrain en fonction de la question posée.

Un modèle est une représentation plus ou moins conceptuelle d'un système; il s'agira, dans notre cas particulier, d'un système hydrogéologique. Nous distinguerons ultérieurement les différents modèles selon leur degré de conceptualisation.

Une remarque importante s'impose dès à présent. A un besoin donné correspond un niveau de conceptualisation du domaine souterrain, donc un type de modèle, mais également un ou plusieurs types de méthodes de mise en oeuvre de ce modèle. Par exemple, un modèle basé sur la représentation phénoménologique des écoulements en milieu poreux conviendra à la fois pour l'étude des ressources en eau dans un aquifère et pour la recherche de la surface libre à l'intérieur d'une digue en terre. Par contre, l'utilisateur sera vraisemblablement amené à choisir la méthode des différences finies dans le premier cas, celle des éléments finis dans le second, pour la résolution des équations du problème. Ainsi pour les deux questions, le modèle est identique, seules les méthodes de mise en oeuvre diffèrent.

Le niveau de conceptualisation nécessaire varie avec le problème posé. L'étude fine des écoulements en milieu poreux requiert un modèle très détaillé basé sur les relations phénoménologiques entre des grandeurs physiques définissant le milieu. La simulation du débit à l'exutoire d'un bassin versant peut, par contre, n'exiger qu'une représentation plus globale du domaine souterrain pour laquelle un modèle à réservoirs conviendra parfaitement. Enfin, la méconnaissance de la structure du système étudié peut rendre obligatoire une approche entièrement paramétrique au moyen d'un modèle du type "boite noire".

1. LE MILIEU SOUTERRAIN

Les problèmes pratiques qui se posent sont très différents selon la nature du milieu qui constitue le domaine souterrain. On distingue habituellement:

- le milieu finement divisé, - le milieu discontinu.

Nous entendons par milieu finement divisé tout milieu où la distinction entre les pleins et les vides ne peut se faire qu'à l'échelle microscopique. Entrent ainsi dans cette catégorie le milieu poreux constituant une très grande partie des aquifères, mais également le milieu finement fissuré qui renferme également une part non négligeable des disponibilités en eau.

A l'opposé, la description du milieu discontinu tendra à opérer une distinction nette entre la matrice rocheuse et les vides éventuellement occupés par l'eau; ce sera le cas du milieu peu fissuré et des systèmes karstiques.

Une grosse difficulté s'élève dès à présent à la limite entre les deux domaines finement divisé et discontinu. En effet, si l'on peut dire que l'hydrogéologie quantitative offre, à l'heure actuelle, -des méthodes opérationnelles pour l'étude des milieux poreux ou des systèmes karstiques, il n'en est pas de même pour le milieu fissuré où le modéliste se trouve relativement désarmé. La raison tient évidemment aux difficultés théoriques, mais également à la demande restée, jusqu'ici, assez faible à cause d'un moindre intérêt accordé jusqu'à présent à ce mode de gisement de l'eau souterraine. Des progrès devraient cependant être effectués dans un avenir proche grâce aux études sur les possibilités d'évacuation des déchets radioactifs dans les formations géologiques profondes imperméables où les problèmes de transfert à travers les éventuels réseaux de fractures se posent avec acuité.

Le présent mémoire est consacré à l'étude des écoulements dans le milieu finement divisé. Nous nous efforcerons d'y définir d'une part les besoins en modélisation, d'autre part les différents types de modèles apportant une réponse aux questions posées. La mise en oeuvre des modèles, les problèmes rencontrés à cette occasion et

leurs limitations seront ensuite abordés à la faveur d'exemples. Les méthodes mathématiques ne seront cependant pas décrites en détail, mais seront seulement signalées en ce qui concerne leur adaptation particulière à telle ou telle catégorie de modèles. Le lecteur pourra se reporter aux ouvrages spécialisés pour les développements détaillés les concernant.

Le milieu finement divisé pour lequel la prospection de la ressource en eau est plus aisée a retenu tout d'abord l'attention des hydrogéologues. La division du milieu peut être due soit à une porosité d'interstices (sables, grès, dolomies, ...), soit à une porosité de fissure (calcaires compacts, roches cristallines, roches cristallophyl- liennes). Suivant l'aptitude que présente un tel milieu à la circulation des fluides.

Il est d'usage de classer les différents types de formations géologiques rencontrées en trois catégories:

- les formations dites perméables qui constituent les aquifères et qui autorisent une circulation aisée de l'eau de telle sorte qu'il soit envisageable de la mobiliser grâce à des captages;

- les formations dites imperméables qui, bien que pouvant contenir une grande quantité de fluide, n'en permettent pas la mobilisation;

- les formations de type intermédiaire, souvent qualifiées de semi-perméables, dans lesquelles l'eau n'est pas non plus mobilisable, mais à travers lesquelles des transferts sont possibles à l'échelle régionale entre les formations aquifères.

Il convient de noter que ces distinctions sont relatives et dépendent notablement de l'échelle du problème posé. Ainsi l'étude d'un champ de captage de la nappe de la Craie dans le Bassin parisien peut être faite en considérant que la formation sous-jacente de l'argile du Gault est imperméable; il n'en serait pas de même s'il s'agissait de considérer les écoulements de la nappe de l'Albien à l'échelle de l'ensemble du bassin, car c'est justement la drainance vers la craie à travers cette argile qui constitue l'exutoire des sables verts de l'Albien. Apparaît ainsi, dès à présent, l'importance de l'identification judicieuse de la structure qui doit être modélisée pour traiter un problème pratique, indépendamment de tout choix de modèle.

Parmi les problèmes qui se posent en matière d’hydrologie, certains sont d'ordre purement hydrodynamique et requièrent la mise en oeuvre de modèles dits quantitatifs, d'autres plus complexes font intervenir des variables de qualité de la ressource en eau et sont dits qualitatifs. La distinction entre ces deux catégories n'a pas en réalité de sens physique; seul les distingue le degré de conceptualisation auquel il est fait appel pour la représentation des phénomènes.

Les sujets d'étude se ramenant à un problème d'écoulement pur concernent habituellement les domaines suivants:

- l'étude quantitative des ressources en eau: quantification des écoulements dans un aquifère ou un système d'aquifères, simulation de l'impact de phénomènes naturels ou provoqués par l'activité humaine;

- les problèmes de génie civil: rabattement de nappe, dénoyage d'ouvrages, exhaure de mines, écoulement dans les digues et barrages, impact de l'écoulement sur les travaux souterrains.

Les modèles adaptés à ces types d'étude sont généralement très conceptuels et basés sur les relations phénoménologiques de la mécanique des fluides appliquées à des structures pouvant approcher la réalité de manière complexe. Dans d'autres cas, le modèle souterrain ne sera qu'un élément d'un modèle plus général et il sera approprié de sacrifier une partie de la conceptualisation au profit d'un allègement des calculs.

Tel sera le cas des modèles de bassin qui doivent considérer simultanément plusieurs maillons du cycle de l'eau comme le ruissellement de surface, l'écoulement en rivière, l'infiltration, l'évaporation et l'écoulement souterrain.

L'aspect qualitatif associe à l'écoulement la migration de substances accompagnant l'eau dans son mouvement. Ces phénomènes, souvent très délicats à modéliser car ils combinent les aspects hydrodynamiques et physico-chimiques, concernent les problèmes suivants:

- pollution des aquifères: question complémentaire de l'étude de la ressource en eau, évolution naturelle de la qualité de l'eau, impact des aménagements, protection des eaux souterraines contre la pollution des aquifères;

- stockage en milieu souterrain: stockage temporaire des hydrocarbures, évacuation définitive des déchets industriels ou radioactifs;

- transfert de chaleur en aquifère: exploitation des ressources géothermiques, stockage de la chaleur dans le sol.

Les modèles décrivant ces mécanismes de transfert auront a priori un niveau de conceptualisation élevé. Il convient cependant de noter que les relations phénoménologiques explicatives demeurent encore assez mal connues et que les paramètres sont, en général, d'une acquisition difficile. Un effort particulier est cependant actuellement entrepris dans cette voie.

Nous aborderons, dans cette étude, la description des modèles suivant un niveau de conceptualisation croissant en distinguant ainsi:

- les modèles de type « boite noire » et les modèles à « réservoirs »;

- les modèles phénoménologiques basés sur la mécanique des fluides en milieu poreux.

Nous en exposerons, dans chaque cas, les principes et donnerons un aperçu des méthodes mathématiques nécessaires à leur mise en oeuvre.

2. LES MODELES "BOITE NOIRE" ET LES MODELES A "RESERVOIRS"

Les modèles de type "boite noire" ou à "réservoirs" ne prennent en compte qu'un degré limité de conceptualisation du milieu souterrain.

Les modèles "boite noire" considèrent les écoulements de manière globale assimilant une structure hydrogéologique à un système physique mettant en relation des données d'entrée, en général un historique de précipitation, et des données de sortie, en général un historique débit.

Un tel modèle s'attachera à l'identification selon des critères mathématiques d'un opérateur reliant l'entrée à la sortie. Cet opérateur dépendra bien évidemment des caractéristiques internes du système, mais celles-ci ne seront pas identifiables d'après l'aspect de l'opérateur et de plus n'interviendront généralement pas dans la méthode d'identification. Ce procédé d'étude est généralisable à de nombreux systèmes physiques naturels, nous n'en discuterons ici que l'application aux phénomènes hydrologiques souterrains.

Les modèles paramétriques dits à « réservoirs » ne présentent que peu d'intérêt pour l’étude des ressources en eau souterraine qui fait l'objet de notre étude. Leur emploi est par contre fréquent dans la plupart des modèles hydrologiques appelés à représenter les relations entre les précipitations et le débit des cours d'eau.

Ces modèles prennent ainsi en compte une composante appelée débit de base traduisant la contribution des aquifères. Dans la mesure où ils ne considèrent pas toutes les variables d'état d'un système hydrogéologique, telle que le niveau piézométrique par exemple, leurs prévisions ne peuvent être calibrées sur des données expérimentales autres que globales (débit des principaux exutoires, quantité globale d'eau stockée), et leur utilisation ne peut donc être envisagée que comme élément constitutif d'un modèle plus général.

2.1. Principe des modèles "boite noire"

Considérons un système dont les caractéristiques sont mal connues et qui a pour effet de transformer une grandeur d'entrée E en une grandeur de sortie S. On cherche, en l'absence de connaissances sur la structure physique des phénomènes ou bien avec la volonté de les ignorer, à étudier la relation entre l'entrée et la sortie. On résout ce problème en recherchant un opérateur f dont l'application sur l'entrée soit une repré- sentation satisfaisante de la sortie:

f S E      →

Le problème à résoudre est donc une identification d'opérateur (Marsily, 1978).

2.2. Hypothèses concernant la relation entrée-sortie: convolution

Un certain nombre d'hypothèses doivent être imposées à l'opérateur pour tenir compte du comportement du système simulé. L'hypothèse de linéarité conduit à une application pratique intéressante.

Cette hypothèse stipule les propriétés suivantes:

2 1 2

1 2

1

E ) f(E ) f(E ) S S

f(E + = + = +

S E

f E

f ( λ ) = λ ( ) = λ

Physiquement, l'hypothèse de linéarité signifie que les contributions séparées de deux entrées indépendantes, par exemples deux averses, se superposent par addition.

On notera alors que, dans ces conditions, l'opérateur f revêt la forme générale d'un produit de convolution faisant intervenir une fonction F caractéristique du système

−∞

∫

∞ +

−

= f τ E t τ d τ t

S ( ) ( ) ( )

Pour la majorité des applications aux phénomènes hydrologiques, la variable t représente le temps, ce qui implique que les composantes de F pour τ négatif sont nulles, la sortie ne pouvant dépendre d'un phénomène à venir.

L'expression précédente se met donc sous la forme:

∫ ∫

+∞

∞

−

−

=

−

=

0

t

d t

F E d

F t

E t

S ( ) ( τ ) ( τ ) τ ( τ ) ( τ ) τ

Pratiquement, cela revient à considérer que S(t) est une somme pondérée des valeurs de E comprises entre -∞ et t. La fonction F est appelée réponse impulsionnelle, car elle est la sortie du système quand l'entrée est une distribution de Dirac représentant une impulsion unitaire.

2.3. Assouplissement des hypothèses concernant la linéarité

Les hypothèses de linéarité sont assez restrictives quant au comportement du système, et il est bien rare qu'un phénomène naturel se prête d'emblée à une telle schématisation. Deux voies peuvent être explorées pour assouplir le modèle.

- Traitement préliminaire de l'entrée: les grandeurs directement accessibles à la mesure ne sont souvent que des représentations déformées de la véritable entrée du système. En hydrogéologie, il est clair que l'ensemble des précipitations ne participe pas à l'écoulement souterrain et qu'un traitement préliminaire devra au préalable aboutir au calcul de la pluie efficace à partir des précipitations brutes seules mesurables. Ce dernier modèle devra cependant être inclus dans le processus d'identification de l'opérateur dans la mesure où le seul calibrage possible porte sur la pluie brute et le débit de base.

- Traitement des systèmes non linéaires: Les solutions proposées précédemment ne permettent pas de tenir compte des modifications du système au cours de son évolution.

Ces modifications peuvent entraîner des déformations plus ou moins complexes da la réponse impulsionnelle. Le problème est donc de rechercher un opérateur qui tienne compte des variations des caractéristiques physiques du système à simuler en postulant seulement que la réponse impulsionnelle reste la même pour deux états identiques du système.

Trait continu: Débit observé et précipitation Trait interrompu: Débit calculé par reconvolution de la pluie avec la réponse impulsionnelle FIGURE 1 : BASSIN DE L'HALLUE (Somme, France) EXEMPLE DE DECONVOLUTION LINEAIRE

FIGURE 2 : BASSIN DE L'EYRE (Landes, France) EXEMPLE DE DECONVOLUTION NON-LINEAIRE REPONSES IMPULSIONNELLES OBTENUES POUR 4 CLASSES DE VALEURS DES DEBITS A L'EXUTOIRE

FIGURE 3 : BASSIN DE L'EYRE (Landes, France) EXEMPLE DE DECONVOLUTION NON-LINEAIRE RECONSTITUTION DU DEBIT A L'EXUTOIRE Débit observé: trait interrompu - débit calculé: trait continu

Dans cette approche, l'opérateur F est une fonction à deux variables telle que:

+∞

∫ ∫

−

=

0 0 pt

d d F

t E t

S() (

τ

π

τ

π τ

le paramètre pt, lui-même fonction du temps, servant à caractériser l'état du- système.

La sortie à l'instant t est donc une somme pondérée des valeurs de E comprises entre -∞

et t, les coefficients de pondération dépendant de l'état du système à l'instant t.

Il est ainsi possible de cerner de plus près la réalité physique, puisque les phénomènes de stockage et de transfert de l'eau dépendent des fluctuations des paramètres hydrodynamiques, ce qui modifie les temps de transfert. Les variations du paramètre pt doivent donc être représentatives de l'évolution de paramètres physiques tels que le niveau piézométrique, le stock en eau, l'historique des pluies. On peut souvent considérer que la sortie elle-même, par exemple le débit, est représentative de l'historique du bassin. On proposera alors comme valeur du paramètre p à l'instant t la valeur de cette sortie à l'instant t-∆t.

2.4. Traitement mathématique de l'identification

La recherche de l'opérateur F porte le nom de déconvolution. Un certain nombre de méthodes ont fait leur preuve à l'occasion d'application à des systèmes divers rencontrés dans le domaine de l'hydrologie. Nous renverrons le lecteur à la bibliographie pour la mise en oeuvre de ces méthodes (Marsily, 1978).

2.5. Domaine d'application des modèles "boite noire" en hydrogéologie

Dans la mesure où la connaissance des écoulements souterrains passe le plus souvent par l'étude des variations de l'état du système au moyen de mesures piézométriques, les modèles "boite noire", qui ignorent a priori les variables d'état, ne présentent qu'un intérêt modeste. Certains types de problèmes peuvent cependant se contenter de la recherche d'une relation pluie-débit, soit parce que la représentation phénoménologique des mécanismes est malaisée (cas des systèmes karstiques), soit parce que les objectifs à atteindre ne nécessitent pas la simulation détaillée de l'état du système.

La mise en oeuvre d'un modèle "boite noire" est en général rapide et son calage assez aisé pour peu que l'on dispose de données en quantité et qualité suffisantes.

Les inconvénients principaux de tels modèles sont les suivants:

- il est nécessaire de rassembler un historique continu d'entrées et de sortie (au moins pour les sorties);

- l'opérateur ainsi identifié caractérise un système donné pour un historique d'états donné. Le modèle n'est donc pas transposable à un autre système, même s'il est le siège de phénomènes identiques. Toute prévision ou extrapolation dans le temps au moyen du modèle ne peut être valable que sous l'hypothèse d'une invariance de la structure. Ce type de modèle n'autorise pas, en particulier, l'étude des conséquences d'un aménagement.

2.6. Exemples d'application des modèles "boite noire"

- Utilisation d'un procédé de simulation linéaire : exemple du bassin de l'Hallue (Marsily, 1978).

Ce bassin, situé en France, au nord d'Amiens, présente une superficie de 220 kM2.

Il est constitué de calcaire crayeux (Sénonien et Turonien) reposant sur des marnes.

Equipé par le Bureau de Recherches Géologiques et Minières, il a fait l'objet de l'étude expérimentale de la relation pluie-débit pendant les années 1967 à 1971.

L'identification de la réponse impulsionnelle reliant la pluie efficace au débit de base qui constitue la quasi totalité de l'écoulement sur un tel bassin, a été réalisée par une méthode mise au point au CIG (cf. Marsily, 1978).L'évapotranspiration potentielle évaluée par la formule de Thornthwaite conduit au calcul de la pluie efficace par calage d'un paramètre caractérisant le stock d'eau dans le sol ou "réserve facilement utilisable" supposé homogène sur l'ensemble du bassin, dans lequel l'évaporation peut puiser en l'absence de pluie. Les ajustements du modèle effectués au pas de temps de 10 jours ont montré que le meilleur calage était obtenu pour une valeur nulle de la réserve facilement utilisable et que la mémoire du phénomène d'écoulement (longueur du support de la réponse impulsionnelle) devait être supérieure à 320 jours.

De plus, il a été mis en évidence que la période de calage du modèle devait être supérieure à 2 ans, ce qui impliquait la disponibilité de séries de deux années de débits et de trois années de pluies. La figure 1 rend compte des résultats obtenus dans le meilleur cas.

- Utilisation d'un procédé de simulation non linéaire: exemple du bassin de l'Eyre (Marsily, 1978).

L'Eyre est un cours d'eau côtier du sud-ouest de la France débouchant dans le bassin d'Arcachon. Le bassin versant de 2258 km² est constitué par des sables dunaires recouverts en grande majorité par la forêt des Landes. L'identification d'un opérateur non linéaire a été réalisée au pas de temps de 7 jours par la méthode CIG en retenant quatre classes de valeurs du débit obtenues en divisant par 4 l'intervalle débit minimum-débit maximum évalué sur la période de calcul de l'opérateur. La figure 2 montre les réponses impulsionnelles calculées sur 225 jours pour ces quatre cas.

L'entrée est constituée par la pluie brute, ce qui explique les allures dissemblables des résultats, ceux-ci intégrant les effets de l'évapotranspiration. La figure 3 présente la comparaison entre la sortie mesurée et la sortie reconstituée.

3. LE MODELE MACROSCOPIQUE ET SES LIMITES

Ce type de modèle, très conceptuel, assimile le milieu finement divisé à un milieu continu à l'intérieur duquel l'ensemble des propriétés qui le caractérisent peut être représenté par des fonctions continues. Cette approche est maintenant classique en hydrogéologie et décrite par de nombreux auteurs (Bear, 1972, 1979; Marsily, 1981).

Nous en rappellerons seulement les principes.

Chaque propriété affectée en un point de milieu est définie de manière locale sur un élément de volume entourant ce point dit "volume élémentaire représentatif" (VER).

La taille du- VER est choisie de manière théorique en fonction de la division du milieu de telle sorte que:

- le VER soit suffisamment grand pour contenir un grand nombre de pores de manière à pouvoir y définir une propriété moyenne globale avec l'assurance que l'effet de fluctuation d'un interstice à un autre sera négligeable;

- le VER soit suffisamment petit pour que les variations des propriétés d'un domaine au domaine voisin puissent être approchées par des fonctions continues sans introduire d'erreur décelable par les instruments de mesure à l'échelle macroscopique.

La validité de cette représentation du milieu finement divisé qui découle de manière naturelle de la notion d'échantillon est donc liée au rapport entre l'échelle microscopique (le pas d'espace de la division du milieu) et l'échelle macroscopique (le pas d'espace de l'investigation par les instruments de mesure). On conçoit ainsi que le modèle puisse être valable dans le cas d'une roche poreuse ou très fissurée, mais perde toute signification lorsque la division du milieu augmente pour prendre par exemple des valeurs décamétriques ou même hectométriques.

La représentation du milieu poreux selon un milieu continu, parfois désignée sous le nom de modèle macroscopique n'est pas la seule conceptualisation possible. Des recherches sont actuellement menées pour une approche probabiliste du milieu poreux, elles n'ont cependant pas encore débouché sur des applications pratiques.

Le modèle macroscopique présente l'avantage de reposer sur une notion intuitive- la notion d'échantillon, qui permet de définir des grandeurs moyennes attachées au milieu. Plusieurs inconvénients en découlent cependant:

- La taille de l'échantillon reste assez arbitraire. Rien ne permet d'affirmer qu'il existe toujours un volume d'échantillon qui puisse assurer la continuité macroscopique du milieu. Dans l'état actuel des connaissances, on ne sait pas relier la taille du VER à la structure du milieu. De récents travaux (Robinson, 1982; Long, 1985; Charlaix, Guyon et al. 1984) tendent à montrer que dans le cas de milieux fissurés il n'existe pas nécessairement d'échantillon où l'on puisse définir un tenseur de perméabilité.

- Le modèle macroscopique est mal adapté au traitement des discontinuités du milieu, ce qui pose parfois des problèmes de représentation aux limites entre deux milieux.

- Les nombres qui mesurent les grandeurs attachées au milieu ne sont pas indépendants de la taille des échantillons; ce fait est connu sous le terme d'effet d'échelle. Cette question est particulièrement cruciale en pratique, où se pose constamment le problème de l'estimation de paramètres des modèles à partir d'observations in situ. L'effet d'échelle explique l'échec des tentatives de liaison de la perméabilité régionale à la structure fine du milieu et, en particulier, aux caractéristiques granulométriques. L'effet d'échelle est également en partie responsable du fait qu'il est la plupart du temps nécessaire de caler les modèles, même lorsque les données sont abondantes. En effet, au cours de ce calage, on est amené à identifier la distribution spatiale (éventuellement temporelle) d'une ou plusieurs grandeurs (par exemple, la perméabilité ou la transmissivité) qui permet la meilleure correspondance entre les résultats des calculs et les observations. Différents résultats seront obtenus suivant la discrétisation spatiale adoptée, sans que l'on sache les relier entre eux autrement que par le fait qu'ils constituent justement les paramètres d'un même modèle.

L'effet d'échelle prend toute son importance dans le transfert de matière où les expériences réalisées à ce jour montrent clairement que la valeur que l'on doit attribuer au coefficient de dispersion varie avec la distance parcourue par les

substances. Des travaux sont actuellement en cours pour tenter de relier l'existence d'une valeur limite de la dispersion qui serait obtenue après un parcours suffisamment long, aux propriétés structurales du milieu (Dieulin, 1980; Matheron et Marsily, 1980).

4. APPLICATION DU MODELE MACROSCOPIQUE AU CAS DE L'ECOULEMENT

4.1. Relations phénoménologiques régissant l'écoulement

Les relations phénoménologiques définissant l'écoulement mettent en oeuvre les variables macroscopiques décrivant le milieu poreux et le comportement de l'eau qui en sature les vides. Ces relations sont issues de la mécanique des fluides moyennant une adaptation empirique nécessitée par la description macroscopique du milieu (Marsily, 1981). Trois groupes de relations peuvent ainsi être dégagés:

a) Principe de continuité macroscopique

Ce principe traduit la conservation de la masse de fluide à l'intérieur de tout VER demeurant fixe dans l'espace. Il s'exprime par l'équation dite équation de continuité:

= 0

∂ +

+ ∂ q

V t

div ( ρ ) ⁽ ρε ⁾ ρ

qui met en jeu les grandeurs macroscopiques suivantes rapportées au VER,

- ρ : masse volumique de l'eau [M] [L^-3]

- ε : porosité du milieu poreux définie comme le rapport entre le volume des vides présents dans le VER et son volume total (sans dimension);

- q : débit volumique d'eau prélevé (ou injecté) par unité de volume de VER [T^-1]

- Vr: vitesse de filtration de l'écoulement (vitesse de Darcy) [L] [T^-1] exprimant la vitesse fictive d'un fluide qui percolerait à travers le milieu en occupant tout l'espace (pores + grains) au lieu de n’occuper que les vides.

Le flux du vecteur Vr

à travers une surface quelconque de milieu poreux représente ainsi le débit d'eau qui la traverse.

b) Equation du mouvement: loi de Darcy

La loi de Darcy issue de l'expérience (chevalier Henri Darcy, 1856) exprime, dans le cadre du modèle macroscopique, la relation fondamentale de la mécanique. La formulation la plus courante en hydrogéologie revêt la forme suivante:

h d gra K

V r r

− *

=

où h est la charge hydraulique macroscopique définie par la relation h=z+p/ρg.

Lorsque la masse volumique ρ peut être considérée comme constante, la charge s'identifie au niveau piézométrique. La charge attachée à un VER est alors matérialisée par la cote de la surface libre de l'eau dans un tube ouvert dont l'orifice inférieur pénètre ce VER (piézomètre). La cartographie du champ h au sein d'un aquifère constitue la carte piézométrique d'une nappe. La charge, ou niveau piézométrique, s'exprime habituellement en mètres d'eau.

Et K est le coefficient de Darcy, ou perméabilité du milieu poreux [L] [T ^-1] relativement à l'écoulement d'un fluide donné (l'eau dans le cas qui nous occupe). Dans le but de rendre compte de l'anisotropie du milieu poreux, inhérente à la structure des formations géologiques, on est amené à considérer la perméabilité comme une propriété tensorielle.

On admet ainsi que K est un tenseur symétrique du 2^ème ordre, c'est à-dire une matrice à 9 coefficients dans l'espace à trois dimensions.

 







 







=

zz zy zx

yz yy yx

xz ky xx

K K K

K K K

K K K

K

zy yz

zx xz

yx xy

K K

K K

K K

=

=

=

Ce formalisme peut être allégé en utilisant pour décrire le milieu un repère d'axes orthogonaux tels que le tenseur K se réduise à ses composantes diagonales. Ces directions particulières de l'espace sont appelées directions principales d'anisotropie. Physiquement, ces directions sont celles pour lesquelles le vecteur

vitesse de Darcy Vr

est parallèle au gradient de la charge hydraulique gradrh

. Dans un milieu sédimentaire stratifié, il est évident que les directions parallèles et perpendiculaires à la stratification s'identifient à ces directions privilégiées de l'écoulement.

Le formalisme précédent de la loi de Darcy au moyen de la charge hydraulique n'est pas toujours possible. En effet, dans les applications où la masse volumique est susceptible de varier notablement dans l'espace, notamment dans le cas de transfert de matières dissoutes, la notion de charge devient malcommode et il est nécessaire de faire appel à une formulation plus générale de la loi de Darcy:

z d gra g

p d k gra

V r r r

*

( ρ

µ ⁺

−

=

où p représente la pression macroscopique de fluide dans le VER [M] [L^-1] [T²] :

- z est l'altitude [L]

- g est l'accélération de la pesanteur [L] [T^-2]

- µ est la viscosité dynamique du fluide [M] [L^-1] [T^-1] - k est la perméabilité intrinsèque de milieu poreux [L²]

Le coefficient k, grandeur tensorielle comme K, caractérise cette fois le milieu poreux indépendamment des propriétés du fluide qui y percole. Il s'exprime le plus souvent en darcy (1 darcy vaut 0,987xl0^-12 m²). La relation entre k et K est donnée par:

µ ρ g K = k

La notion de perméabilité intrinsèque est surtout utilisée~par les pétroliers qui considèrent simultanément plusieurs fluides.

c) Equations d'état

Les équations d'état traduisent le comportement mécanique de l'eau et de la matrice rocheuse en fonction de la pression. En hydrogéologie, on adopte habituellement un modèle élastique pour expliquer ce comportement, faisant intervenir les coefficients d'élasticité α et β définis par les relations suivantes:

d β dp ρ

ρ =

dp V d

dV = − α σ = α

dans lesquelles σ représente la contrainte effective (contrainte s'exerçant sur les grains) au sein du volume élémentaire représentatif de volume V. En l'absence de variation des forces extérieures s'exerçant sur le milieu poreux, la contrainte effective σ est liée à la pression interstitielle p de l'eau par la relation

= 0 + _dσ

dp dite relation de Terzaghi.

Dans ces conditions, on démontre la relation (Marsily, 1981) d(ρε) = ρdε + εdρ = ρg(α+εβ), dp ^≅ ρ²g(α+ εβ) dh reliant la variation d(ρε) du stock en eau dans un VER à la variation dh du niveau piézométrique.

On pose Ss = ρg(α+εβ), ce qui définit le coefficient d'emmagasinement spécifique du milieu poreux sur tout VER [L^-1].

4.2. Synthèse des relations phénoménologiques: équation de diffusivité

La combinaison des trois groupes de relations qui viennent d'être décrits, à savoir:

- équation de continuité :

+ = 0

∂

+ ∂ q

V t

div ( ρ r ) ⁽ ρε ⁾ ρ

- loi de Darcy :

V r K gra d r h

− *

=

- équation d’état : d(

ρε

ρ

conduit à l'équation aux dérivées partielles unique suivante, dite équation de diffusivité, en négligeant le gradient de la masse volumique dans l'espace:

t q S h h d gra K

div

+

∂

= ∂ )

*

( r

Cette équation définit entièrement l'écoulement en permettant la détermination du champ de charge hydraulique h. C'est cette équation que les modèles phénoménologiques d'écoulement en milieu poreux s'efforcent de résoudre.

5. APPLICATION DU MODELE MACROSCOPIQUE AU TRANSFERT DE MATIERE

L'usage du modèle macroscopique du milieu poreux peut être étendu, avec cependant quelques difficultés, au transfert des matières solubles accompagnant l'écoulement.

Cette extension est connue sous le nom de théorie de la dispersion.

Nous nous intéressons ici aux éléments transportés dits en solution, c'est-à-dire ne constituant pas une phase mobile différente de la phase fluide, mais s'intégrant à l'eau du milieu naturel en y modifiant éventuellement les propriétés physiques et

chimiques (notamment la masse volumique et la viscosité). Ces éléments pourront revêtir différentes formes chimiques: ions, agrégats de molécules ou d'ions, micelles et

colloïdes, dont l'interaction avec le milieu devrait pouvoir être envisagée de manière spécifique. Par opposition au transport en solution, on distingue les écoulements de fluides immiscibles tels que les écoulements d'huile et d'eau dont les lois de

migration sont très différentes. Ce point ne sera pas abordé dans ce mémoire, comme sortant du domaine habituel de l'hydrogéologie. L'exemple d'application concernant les relations eau douce-eau salée dans un aquifère côtier pourra s'y rattacher cependant d'une certaine façon.

5. 1. Relations phénoménologiques régissant le transfert de matière

La conceptualisation des transferts de solutés s'organise autour de trois niveaux de mécanismes: la convection, la dispersion et l'interaction entre la fraction mobile et la fraction immobile du milieu.

a) Mécanismes de convection

Il s'agit de l’entraînement avec le mouvement macroscopique moyen du fluide. Le flux convectif Qc de soluté i qui traverse l'unité de surface de milieu poreux s'exprime par la relation:

i

c

V n C

Q r r

= *

où : Vr est la vitesse de Darcy de l'écoulement,

nr est le vecteur normal à la surface unité,

Ci est la concentration en soluté i présente dans le fluide qui circule. Cette concentration s'exprime le plus souvent en gramme/litre [M] [L^-3].

De par la définition même du mécanisme de convection, il apparaît ainsi une distinction entre la fraction du milieu qui peut circuler et qui autorise donc le transfert avec l'écoulement moyen et la fraction composée de solide, mais également de fluide, qui reste immobile tout en pouvant contenir de la matière et donc jouer un rôle dans la migration.

On est amené à définir une porosité cinématique E c correspondant au domaine du milieu poreux occupé par l'eau en mouvement. Cette porosité cinématique est toujours inférieure à la porosité totale déjà introduite en hydrodynamique et dépend des

caractéristiques du milieu poreux, mais aussi vraisemblablement du gradient hydraulique de l'écoulement, bien que cette notion n'ait pas encore été nettement précisée

expérimentalement. Remarquons que cette distinction faite au sein d'un volume

élémentaire représentatif entre fraction mobile et fraction immobile est incompatible avec le modèle macroscopique dont le principe est justement d'homogénéiser les

propriétés à l'intérieur d'un VER dans le but de définir un milieu continu équivalent.

Il y a là une difficulté que nous ne saurons pas résoudre dans le cadre de la théorie de la dispersion.

b) Mécanismes de dispersion

On regroupe sous le terme général de dispersion l'ensemble des mécanismes qui tendent à réduire les contrastes de concentration en se superposant au mouvement convectif moyen.

Au moins deux causes peuvent être attribuées à la dispersion. En premier lieu,

l'agitation thermique des particules dans la solution tend à une homogénéisation de la concentration même en l'absence de mouvement convectif, c'est la diffusion moléculaire.

En second lieu, les hétérogénéités microscopiques de la vitesse des parcelles fluides circulant au sein du VER, qui sont négligées par la représentation macroscopique de l'écoulement selon la loi de Darcy, contribuent également au mélange, et ceci d'autant plus que le mouvement convectif est important. Ce phénomène porte le nom de dispersion cinématique. Remarquons que la dispersion cinématique est une conséquence du modèle

macroscopique du milieu poreux. Sa quantification dépendra donc de la finesse avec laquelle on sera capable de décrire les hétérogénéités de la vitesse macroscopique, c'est à dire finalement de la taille adoptée pour le VER.

La dispersion en milieu poreux est habituellement formulée d'après des travaux théoriques et expérimentaux, par une loi analogue à la loi de Fick.

n C d gra D

Q

r

r

*

− *

=

où : Qd représente le flux dispersif à travers la surface unité de milieu poreux, Ci est la concentration en élément i [M] [L^-3],

nr est le vecteur normal à la surface unité, D est le coefficient de dispersion [L²] [T^-1]

Le coefficient de dispersion D est un tenseur symétrique, du 2^ème ordre (matrice à 9 coefficients de l'espace à 3 dimensions). Il a comme directions principales la direction du vecteur vitesse de Darcy et deux autres directions généralement

quelconques quoique orthogonales à la première. Enfin, les coefficients du tenseur sont fonction du module de la vitesse convective. Dans le repère principal d'anisotropie, D se réduit à trois composantes:

















=

T T L

D D D D

0 0

0 0

0 0

DL étant le coefficient de dispersion longitudinal (dans le sens de l'écoulement), DT

le coefficient de dispersion transversal (orthogonalement à l'écoulement).

D'après les expériences menées en laboratoire par Pfankuch (1963), on admet pour le domaine des vitesses usuelles les relations:

V

D

= α

V D

= α

αL et αT, qui ont la dimension d'une longueur, étant les coefficients de dispersion intrinsèque ou dispersivités.

c) Interaction entre fraction mobile et fraction immobile

Les mécanismes élémentaires concernés par cette rubrique restent encore très mal connus et sont habituellement représentés de manière globale sans distinguer leurs différentes origines physiques. Quelques exemples de phénomènes se manifestant à différentes échelles convaincront de la difficulté de conceptualisation dans le cadre du modèle macroscopique

A l'échelle microscopique des grains du milieu poreux, un soluté peut se fixer sur la matrice rocheuse. Il peut s'agir d'un mécanisme d'échange d'ions ou encore d'un mécanisme d'ordre physico-chimique dû aux propriétés électriques des particules en solution. On désigne le phénomène global sous le nom de sorption. Le plus souvent, un équilibre s'établit dans la solution entre la fixation (adsorption) et la libération (désorption) des particules. Les constantes d'équilibre dépendent des propriétés chimi- ques de la solution et de la roche, de la température, et notamment des différents éléments dissous. Un même soluté pourra donc présenter des comportements très

différents suivant son environnement. Les mécanismes de sorption sont particulièrement importants dans les argiles dont la capacité d'adsorption peut atteindre le dixième de leur volume. Toujours à l'échelle microscopique, certaines particules de grandes

tailles (ions complexes, colloïdes, etc.) ne pourront pas pénétrer dans les pores les plus petits du milieu et se verront ainsi filtrées au cours de leur mouvement. Enfin, certaines espèces chimiques pourront s'engager de manière éventuellement irréversible avec les constituants de la matrice (réactions acide-base, oxydoréduction,

précipitation).

Dépassant l'échelle des grains et des pores, représentons -nous l'agencement des vides du milieu poreux comme des canaux plus ou moins tortueux parcourus par

l'écoulement et présentant des culs-de-sac. Globalement, les canaux ouverts assurent l'écoulement macroscopique et le mouvement convectif des solutés. Les particules en

solution, tant que leur taille le permet, pénètrent cependant dans les culs-de-sac soit sous l'effet de la diffusion moléculaire, soit encore sous l'effet des hétérogénéités microscopiques de la vitesse d'écoulement. Tout se passe comme si l'espace offert au soluté était plus grand que celui offert au fluide circulant.

Enfin, à l'échelle macroscopique, la répartition du soluté sera influencée par celle de la porosité et de la perméabilité. Par exemple, un massif de craie fissurée constitue habituellement un excellent aquifère possédant une porosité d'interstices dans la matrice crayeuse et une porosité de fissures qui constituent l'essentiel de la perméabilité du massif. Le mouvement convectif global du soluté parcourra donc

principalement les fissures, mais une pénétration des blocs se manifestera également avec un certain retard sous l'effet de circulations plus lentes et de la diffusion moléculaire. La persistance de la pollution dans un tel aquifère longtemps après que la cause en ait cessé atteste ce phénomène.

Reprenant la distinction déjà évoquée à propos des mécanismes de convection en deux fractions, l'une mobile, l'autre immobile, on représente classiquement

l'interaction par une relation globale paramétrique du type F=f(C) reliant la

concentration volumique C dans la fraction mobile à la concentration massique F dans la fraction immobile.

Différents types de lois ont été proposés, basés sur l'interprétation

d'expériences de traçage par diverses substances menées soit en laboratoire, soit in situ (Goblet, 1981). Remarquons que ces expériences sont encore peu nombreuses, et que l'approche globale qu'elles représentent rend hasardeuse, sinon sans fondement, toute tentative d'extrapolation des paramètres dans l'espace et dans le temps.

Dans le cadre de ce mémoire, nous retiendrons trois modes de description de l'interaction.

α) Interaction linéaire et instantanée: Il est postulé, pour ce cas, la relation F = KdC, où Kd est une constante dépendant éventuellement de la température appelée

coefficient de distribution [L³] [M^-1] . On suppose ainsi un partage immédiat à chaque instant dans une proportion fixe de la matière en mouvement entre la fraction mobile et

la fraction immobile. La valeur du coefficient Kd caractérise à la fois la roche constituant le milieu poreux et les substances en solution. Ce modèle est

habituellement retenu pour l'étude des transferts lents avec de faibles concentrations tels ceux qui sont susceptibles d'intervenir à la suite de l'enfouissement de déchets radioactifs dans le sous-sol.

β) Interaction linéaire non instantanée à cinétique linéaire: On admet, dans ce cas, la relation dF/dt = w*(C-F/Kd), où w, coefficient constant, caractérise la cinétique de l'interaction. Lors w tend vers +∞, l'état d'équilibre représenté par dF/dt = 0 est atteint instantanément et le modèle cinétique se confond avec le précédent. Des tentatives ont été faites à l'occasion d'expériences en laboratoire et in situ pour distinguer deux valeurs de w selon que le transfert s'effectue de la fraction mobile vers la fraction immobile (adsorption) ou l'inverse (désorption) (Goblet, 1981). Le modèle linéaire à cinétique linéaire semble particulièrement convenir pour traiter le cas des transferts rapides sur de courtes distances, ce qui correspond le plus souvent aux conditions des essais in situ.

γ) Diffusion entre fraction mobile et fraction immobile: Ce modèle admet le couplage de deux milieux communiquant l'un vers l'autre par un mécanisme de diffusion pure

obéissant à la loi de Fick. Il est alors nécessaire de définir la surface de contact entre les deux milieux rapportée à chaque VER et le coefficient de diffusion de chaque substance. Cette approche semble particulièrement convenir au cas du milieu fissuré où la fraction mobile est constituée par l'eau parcourant les fissures tandis que la matrice rocheuse et l'eau qui en sature les pores figurent la fraction immobile.

5.2. Synthèse des relations phénoménologiques définissant le transfert de matière:

équation de dispersion

La combinaison des trois groupes de relations décrivant les mécanismes de convection, de dispersion et d'interaction conduit à l'équation aux dérivées partielles, dite équation généralisée de la dispersion. Cette équation exprime la conservation pour tout VER de la masse d'un soluté au cours de son transfert:

t F t

C C V v di C

d gra D

div

∂

− ∂

∂ +

= ∂

− ( ) ε ( ε ) * ρ

)

*

( r r r 1

Cette équation fait ainsi intervenir:

- la vitesse de Darcy de l'écoulement Vr ,

- la porosité cinématique du milieu poreux εc, définie comme le rapport entre le volume de la fraction mobile et le volume total du VER,

- la masse volumique ρs de la fraction immobile, - le tenseur de dispersion D.

Il est, par ailleurs, nécessaire de la compléter par la relation liant F et C, suivant le modèle d'interaction retenu.

Dans un certain nombre de cas fréquents, la présence de soluté n'a pas d'influence sur l'écoulement et la vitesse V peut être obtenue indépendamment par résolution préalable de l'équation de diffusivité. On dit alors être dans l'hypothèse du "traceur". Dans le cas contraire, lorsque masse volumique et viscosité varient notablement avec la concentration, le transfert de l'eau et celui des solutés ne peuvent être découplés et le problème se complique beaucoup.

Cas particulier: Modèle d'interaction linéaire et instantanée.

La relation F = KdC adjointe à l’équation de diffusivité conduit à :

t K C C

V div C

d gra D

div

c c

c

∂

− ∂ +

=

− ( ) ( )

)

*

( ρ

ε ε 1 ¹ ε r r

soit en posant : _{s d}

c

c

K

R ρ

ε ε + −

= 1

1

et compte tenu de :

D = α V

et de :

t C C

R div V gradC

R div V

c

c ∂

= ∂

− ( * )

)

*

(

α ε ε

Ce résultat signifie que le soluté caractérisé par Kd se déplace dans le milieu poreux avec une vitesse apparente V* = V/(εcR) qui permet de classer ainsi

théoriquement différentes substances les unes par rapport aux autres. Les corps dont la migration peut être correctement approchée au moyen d'un tel modèle sont dits "bons traceurs". Un bon traceur sera d'autant meilleur que sa vitesse de transfert apparente sera plus grande.

5.3. Cas du transfert de chaleur

Un cas particulier intéressant de transfert en milieu poreux concerne la

migration de la chaleur. Les développements récents de la géothermie et les besoins en modélisation qui en découlent justifient clairement qu'il en soit fait mention dans le cadre de cet ouvrage traitant de la modélisation en hydrologie.

L'eau chaude peut être assimilée à une substance dissoute dans l'eau froide migrant sous l'effet de la convection, de la dispersion et donnant lieu à des échanges de chaleur avec la matrice rocheuse et l'eau ne participant pas à l'écoulement.

Dans ces conditions, le coefficient de dispersion devient un coefficient de

conductibilité thermique équivalente incluant le transfert de chaleur par conduction dans un milieu continu composé d'eau et de roche ainsi que l'effet du mélange dû aux hétérogénéités de vitesse des filets liquides non décrites par la vitesse de Darcy.

Considérant la finesse de division du milieu poreux et la lenteur relative du déplacement de l'eau, on admet généralement l'existence d'une température unique affectée à chaque Volume Elémentaire Représentatif (VER) résultant de l'échange irré- versible et instantané de chaleur entre fraction mobile et fraction immobile.

L'équation de dispersion généralisée appliquée au transfert de chaleur devient:

V t div grad

div

∂

= ∂

− γ θ γ θ

θ

λ * ) ( )

( r

où : λ représente le tenseur de conductibilité thermique apparente, γf est la capacité calorifique de l'eau,

γs est la capacité calorifique de la fraction immobile (roche + eau immobile), γ = εcγf = (1- εc)γs est la capacité calorifique équivalente du milieu poreux, θ est la température du volume élémentaire représentatif,

Vr

est la vitesse de Darcy.

Le formalisme mathématique qui rend ainsi compte du transfert de chaleur est donc identique à celui du transfert d'un soluté dans le cas d'une interaction linéaire et instantanée entre fraction mobile et fraction immobile. En particulier, la température migre avec une vitesse apparente égale à:

f

V r γ γ

Lorsque la vitesse de l'écoulement est suffisamment grande, l'effet de dispersion devient prédominant devant la conduction thermique, et l'on pose λ

= α ′ V

considérations théoriques basées sur une approche probabiliste du milieu poreux,

corroborées par l'expérience, permettent de penser que la dispersivité thermique α' est supérieure à la dispersivité α; en première approximation, on retiendra α' = 3α

(Marsily, 1978).

6. LES STRUCTURES MODELISABLES AU MOYEN DU MODELE MACROSCOPIQUE

Le domaine d'application des modèles phénoménologiques est relativement vaste et regroupe théoriquement l'ensemble des problèmes d'écoulement souterrain à différentes échelles. Il n'est pas concevable, dans un ouvrage de synthèse, de passer en revue les différents types de problèmes rencontrés. Nous nous bornerons donc à choisir deux exemples qui nous paraissent constituer deux pâles encadrant les autres cas. Ces deux exemples nous amèneront plus tard à introduire des nuances adaptées à chaque cas, dans le traitement mathématique.

Le premier exemple concerne l'étude des ressources en eau, le second répond aux besoins du génie civil.

6.1. Les modèles de ressources en eau

Ces modèles s’adressent aux structures hydrogéologiques à grande échelle, et plus particulièrement au cas des bassins sédimentaires comportant éventuellement plusieurs aquifères superposés. L'échelle du modèle peut varier dans d'assez larges proportions, disons, pour fixer les idées, de quelques km² (cas d'une nappe alluviale locale) à quelques centaines de milliers de km² (cas d'un grand bassin sédimentaire).

Dans de tels systèmes, la conceptualisation des écoulements fait généralement appel à la notion de structure multicouche. L'alternance de couches sédimentaires de lithologie variée amène à définir des aquifères où s'effectue l'essentiel des

circulations souterraines subhorizontales, et des semi-perméables séparant les aquifères où les circulations horizontales sont négligeables, mais qui assurent les transferts de l'eau entre aquifères, à l'échelle régionale.

L'idéalisation d'une telle structure conduit au modèle multicouche constitué par un empilement de couches subhorizontales où l'écoulement est bidimensionnel (écoulement en nappe), reliées entre elles par des écoulements sub-verticaux monodimensionnels.

Remarquons que la schématisation multicouche ne constitue qu'une simplification, en vue d'un allègement des calculs ultérieurs, d'une structure tridimensionnelle en mettant à profit les contrastes de perméabilité souvent rencontrés dans la nature.

FIGURE 4 : SCHEMA DE LA STRUCTURE MULTICOUCHE DES AQUIFERES TERTIAIRES, CRETACES ET JURASSIQUES DU BASSIN AQUITAIN

Lorsque ces contrastes n'existent pas, ou bien lorsqu'il s'avère nécessaire de décrire le comportement hydrodynamique d'un aquifère dans son épaisseur, on peut avoir recours à une modélisation tridimensionnelle complète, ce qui, en fait, revient à accroître le nombre de couches. Remarquons enfin que la schématisation multicouche constitue une première discrétisation spatiale du domaine d'étude.

La figure 4 illustre les différentes démarches pour parvenir à cette schématisation, sur l'exemple de la modélisation des aquifères tertiaires et jurassiques du bassin aquitain. Dans cet exemple, huit couches aquifères ont été retenues pour couvrir une superficie cumulée de 250.000 kM2 (Besbès, 1976).

Une bonne identification de la structure conditionne la représentativité du modèle. Le travail du modélisateur doit donc débuter par une étude hydrogéologique approfondie dont la conclusion amènera à proposer une ou parfois plusieurs

interprétations qui seront traduites à travers le modèle. Il convient cependant de noter que le choix de la bonne structure dépend du problème posé, comme nous l'avons déjà indiqué.

Les modèles de ressources en eau peuvent exiger la prise en compte d'un vaste domaine étendu. Cela est d'autant plus vrai que le modèle intéressera des aquifères plus profonds, dont les conditions aux limites physiques se situeront parfois à grande distance. Il n'est pas rare, dans ces conditions, de traiter des superficies de

plusieurs dizaines de milliers de kM2 (exemple du bassin aquitain, déjà cité).

Les nappes superficielles ou phréatiques sont en général, tout au moins sous les climats où les précipitations sont suffisantes, en relation avec le réseau

hydrographique pérenne qui constitue les limites hydrauliques, ce qui réduit l'extension du modèle.

Les conséquences de l'ampleur d'un modèle sont de deux ordres:

- En premier lieu, le problème posé peut ne concerner qu'une petite partie du domaine d'étude. Il en résultera vraisemblablement une hétérogénéité dans la connaissance des caractéristiques du système se traduisant par une

concentration des données sur quelques secteurs particuliers. Cette situation rend délicat l'emploi des techniques d'estimation, telles que le krigeage (Delhommne. 1976) auxquelles on pourrait avoir recours pour l'introduction des paramètres dans le modèle. Par ailleurs, la représentativité du modèle calé à l'aide d'une information hétérogène risque d'être compromise dans certains secteurs.

- En second lieu, comme nous le verrons au chapitre suivant, les techniques de calcul qui sont employées ne diffèrent pas selon l’étendue du domaine

modélisé. La mise en oeuvre de ces techniques, fondées sur la discrétisation spatiale, conduira ainsi à adopter un ordre de grandeur identique pour le nombre des éléments discrets ou mailles quel que soit le type de problème envisagé; ce nombre étant en fait déterminé plus par la capacité de traitement des ordinateurs et la quantité de données à saisir que par la question posée.

6.2. Les modèles de génie civil

Nous classerons, dans cette catégorie, les modèles destinés à traiter les

écoulements de manière souvent détaillée, sur des domaines d'extension modeste pouvant représenter, par exemple, la zone d'influence d'un aménagement. Tel sera, par exemple, le cas du rabattement de nappe autour d'une fouille, de la prévision du débit d'exhaure nécessaire à son assèchement, ou bien encore de la recherche de la surface libre de l'écoulement à l'intérieur d'une digue en terre en vue de l'étude de sa stabilité.

Les caractéristiques de tels modèles par rapport au cas précédent sont les suivantes:

- L'extension limitée du domaine d'étude permet une meilleure connaissance des grandeurs le concernant (plus grand nombre de mesures, répartition spatiale plus homogène). Parfois même, le milieu aura été créé artificiellement avec des matériaux de propriétés définies à l'avance; ce sera, par exemple, le cas pour une digue en terre.

- Les contours définissant les différents éléments des structures (noyaux imperméables d'une digue, drains de pied, drains de tête, etc.) auront

généralement une influence notable sur les résultats et devront donc pouvoir être représentés avec une précision suffisante.

- Les hypothèses simplificatrices utilisées à grande échelle pourront, dans certains cas, ne pas être valables. L'hypothèse de Dupuit qui, en assimilant l'écoulement en nappe à un écoulement à deux dimensions, amène à négliger la composante verticale de l'écoulement, est par exemple inacceptable à

l'intérieur d'une digue ou au voisinage d'un ouvrage de captage. En toute rigueur, le problème devra être traité de manière tridimensionnelle, ou bien ramené à deux dimensions dans un plan vertical si les structures de

l'écoulement le permettent (problème plan ou axisymétrique).

- La question des conditions aux limites est en général compliquée par rapport au cas précédent. Etant donné la taille réduite du domaine d'étude, certaines limites physiques réelles de l'écoulement risquent de se trouver hors de portée d'une extension raisonnable du modèle. Il en résulte que des limites artificielles sans signification physique nette devraient parfois être

adoptées, ce qui restreindra la validité du modèle à des conditions définies d'emploi.

Entre ces deux types de structures qui viennent d’être rapidement évoquées se placent un certain nombre de cas intermédiaires parfois difficiles à traiter. Il s'agit, en général, de problèmes qui associent la nécessité d'une représentation

détaillée de l'écoulement en quelques points particuliers localisés et celle d'avoir à prendre en compte un vaste domaine d'étude pour atteindre, par exemple, les limites hydrauliques du système. Il n'existe pas de méthodes pleinement satisfaisantes pour faire face à ce genre de question.

Une méthode souvent employée consiste à combiner les deux types de modèles, en réalisant d'abord l'étude à l'échelle régionale avec l'outil approprié, puis à en extraire une ou plusieurs portions que l'on modélise plus finement en réglant les conditions aux limites sur les résultats du modèle régional. Ce procédé est en général très lourd. Une autre méthode qui peut paraître meilleure considère une discrétisation de l'espace de taille variable permettant de raffiner localement l'information. Ceci ne peut malheureusement être fait, comme nous en verrons des exemples plus loin, qu'au

prix d'une complication appréciable de la structure du modèle et des outils informatiques.

6.3. Cas particulier des systèmes aquifères: écoulement en nappe

Les structures géologiques confèrent la plupart du temps aux systèmes aquifères des conditions qui privilégient l'extension horizontale devant l'extension verticale.

Ceci a pour conséquence que, à l'échelle régionale, la composante verticale de

l'écoulement peut être le plus souvent négligée au profit des composantes horizontales ou subhorizontales. Cette approximation, connue des hydrogéologues sous le nom

d'hypothèse de Dupuit, est justifiée par l'absence de variations significatives de la charge (ou cote piézométrique) le long de la verticale au sein d'un aquifère, ce qui permet de ramener à deux le nombre des variables d'espace dont dépend la fonction h. Il convient toutefois de noter qu'à une échelle plus locale, notamment au voisinage

d'ouvrages de captage, l'approche bidimensionnelle peut être tout à fait illicite et que seul un modèle tridimensionnel peut se révéler dans ce cas efficace.

Nous allons examiner comment il convient d'adapter les équations obtenues précédemment au cas de l'écoulement en nappe.

Cas de l'écoulement: équation de diffusivité à deux dimensions

Le Volume élémentaire Représentatif (VER) adapté à l'écoulement en nappe doit considérer le domaine d'écoulement sur toute sa hauteur mouillée entre les cotes z1, et z2 (fig. 5). Le niveau z1, représente le substratum imperméable de la nappe, le niveau z2, figurant soit le recouvrement imperméable d'une nappe captive, soit la surface piézométrique d'une nappe libre dont la cote s'identifie alors avec la charge h.

En exprimant, pour la clarté de l'exposé, l'équation de diffusivité à trois dimensions dans un repère cartésien. Ox, Oy, Oz supposé repère principal d'anisotropie pour la perméabilité et en intégrant selon la verticale Oz supposée elle-même direction principale d'anisotropie, il vient successivement: